线性空间与欧氏空间的比较(附件)【字数：6061】
摘 要摘 要在高等代数中，线性空间与欧氏空间是十分重要的两章节内容。在一般线性空间中，向量是抽象的，涵义也十分广泛，它可以是矢量、数、函数和矩阵，也可以是函数向量、线性变换等，且在线性空间中元素之间的相互联系往往通过映射来实现。欧氏空间则在线性空间的基础上提出了内积，即在线性空间中引入了距离、向量夹角及向量长度等概念，将线性空间中的向量的一些度量性质进行了推广。可以说，欧氏空间是线性空间的一种特例，它们之间既存在区别又相互联系。因此，全面、系统地比较分析线性空间和欧氏空间的异同，对认识和学习线性空间和欧氏空间是十分重要，也是十分必要的。本文从线性空间和欧氏空间的历史演变及定义入手，将理论与例题相结合，通过对线性空间和欧氏空间在运算、基础域、基、矩阵、向量坐标、线性变换、子空间和同构方面的比较讨论，阐述了线性空间与欧氏空间的区别和联系。在此基础上，更进一步的提出对两个空间的理解和认识，最后得出结论。关键词线性空间；欧氏空间；区别和联系
目 录
第一章 绪论 1
1.1 研究背景 1
1.2 研究意义和目的 1
1.3 研究方法 1
第二章 线性空间与欧氏空间的发展历史 3
2.1 关于线性空间 3
2.2 关于欧几里得空间 3
第三章 线性空间与欧氏空间的定义及预备知识 5
3.1 线性空间的定义 5
3.2 欧氏空间的定义 5
3.3 预备知识 6
第四章 线性空间与欧氏空间的比较 8
4.1 基础域的比较 8
4.2 运算的比较 8
4.3 基的比较 8
4.4 向量坐标的比较 8
4.5 过渡阵的比较 9
4.6 线性变换的比较 11
4.7 子空间的比较 12
4.8 同构 15
第五章 欧氏空间中的推广 17
结 论 20
致 谢 21
参 考 文 献 22
第一章 绪论
1.1 研究背景
n维几何向量空间/可拓广到一般的线性空间（ *好棒文|www.hbsrm.com +Q: #351916072#
向量空间），它们所含的向量是抽象的向量，比几何中的向量涵义更为抽象和广泛，它可以是数、矢量、矩阵、函数、函数向量、线性变换等等。故而，线性空间是一类非常广泛的、不同研究对象的数学抽象，它同时也是高等代数中最基本的概念之一。
在线性空间中，元素之间的相互联系是通过映射来实现的，通常我们称之为线性空间的一个变换，而线性变换是其中一类最基本、最重要的变换，它无疑是高等代数中一个主要的研究对象。
在线性空间中引入向量间的夹角、向量的长度、内积等概念后，线性空间具有了度量性质，发展成为欧氏空间。
由于线性空间和欧氏空间都属于抽象代数，加之国内对线性空间和欧氏空间的整体性研究的较少，有的只是对理论部分的简要论述，故缺乏更直观、更全面的讨论分析。
1.2 研究意义和目的
在我们的学习过程中可以发现，线性空间和欧氏空间在高等代数中是十分重要的两部分内容。线性空间使向量更加抽象化，并将向量进一步地展开，而欧氏空间在线性空间的基础上提出了内积概念，将向量的长度，夹角等度量性质引入到了线性空间中。总的来说，线性空间和欧氏空间之间既有区别又有联系。而且，线性空间理论广泛渗透于各项工程技术、自然科学、经济管理科学中，应用十分有效。
本论文的主要目的是通过对二者进行系统性的对比分析，使我们更全面、更深刻的认识和学习线性空间和欧氏空间。
1.3 研究方法
本论文采用了模块化分析与对比分析、理论分析与实例分析相结合的研究方法。
在《线性代数》和《高等代数》等相关书籍中，通常将“线性空间”和“欧氏空间”作为两章节内容分开讨论并加以讨论，这样往往不便于学习和理解。本论文则把这两部分内容系统地整合在一起，将研究讨论的内容划分为几个模块，在模块中对比分析和讨论线性空间和欧氏空间的联系与区别。
在对比分析过程中，除了理论部分的比较分析外，还适度的引入例题，在分析解决例题过程中，更清晰、更直观的了解线性空间和欧氏空间的区别和联系。
第二章 线性空间与欧氏空间的发展历史
2.1 关于线性空间
线性空间（向量空间）理论是高等代数理论中的重要内容，它不仅蕴含着深厚的数学思想方法，还包含着丰富的数学内容。
1844年以前，关于“向量空间”的概念解释一直是模糊的，而格拉斯曼则是给出“维向量空间”概念的第一位数学家，格拉斯曼用纯几何的方法来定义维向量空间中的向量，并将其逐步发展成为向量演算的通用方法。格拉斯曼指出，“只要对微分方程进行深入研究，无限维数的向量空间就必然会出现，甚至是未知并且无限的行列式，也是对无限维数空间的体现”[1]。但由于向量空间理论过于抽象，致使格拉斯曼的向量空间理论和扩展代数理论被长期忽视。
直到1888年，皮亚诺给出了“向量空间”的明确定义，即空间由元的向量构成；克罗内克则指出在有理数范围内的线性组合其实是对代数空间的扩展，并且他在这个线性组合中也运用到了向量空间的定义，在高斯理论中也有对有限维向量空间定义的详细介绍。
1894年，希尔伯特将域和向量空间的概念应用到了数论的研究中。希尔伯特认为，无限维的向量空间其实并没有那么丰富和复杂。后来，希尔伯特拥有了属于他自己的希尔伯特空间，推动了线性空间的发展。
2.2 关于欧几里得空间
欧几里德(Euclid，拉丁文为Euclides)，被世人称之为“几何之父”，是古希腊数学家。他生活在被誉为古希腊文化中心的亚历山大，其著作传播广泛，是公认的世界历史上最成功的教科书，其著作《几何原本》更是欧洲数学的基础。
欧几里德的很多公理都被划分到了二维或三维欧几里德抽象数学空间中，其研究的几何问题往往涉及平面几何以及三维空间上的立体几何。随着代数理论的发展，这类数学空间又被推广到了任意的有限维中，并且把欧几里德二维和三维空间中向量的长度、角度等度量性质转换成任意空间维数的坐标系，这些空间后被称为维欧几里德空间。
线性空间在定义了内积之后成为欧氏空间，空间的维数也变成了任意维的。由于我们生活在三维的空间中，我们的感官只能感知三维及以下的空间，故对高维空间的描述便显得十分抽象和难以理解，欧几里得空间为我们认识和探索高维度空间提供了可能，也让我们更加清晰、更加准确地认识到了空间的本质。
目 录
第一章 绪论 1
1.1 研究背景 1
1.2 研究意义和目的 1
1.3 研究方法 1
第二章 线性空间与欧氏空间的发展历史 3
2.1 关于线性空间 3
2.2 关于欧几里得空间 3
第三章 线性空间与欧氏空间的定义及预备知识 5
3.1 线性空间的定义 5
3.2 欧氏空间的定义 5
3.3 预备知识 6
第四章 线性空间与欧氏空间的比较 8
4.1 基础域的比较 8
4.2 运算的比较 8
4.3 基的比较 8
4.4 向量坐标的比较 8
4.5 过渡阵的比较 9
4.6 线性变换的比较 11
4.7 子空间的比较 12
4.8 同构 15
第五章 欧氏空间中的推广 17
结 论 20
致 谢 21
参 考 文 献 22
第一章 绪论
1.1 研究背景
n维几何向量空间/可拓广到一般的线性空间（ *好棒文|www.hbsrm.com +Q: #351916072#
向量空间），它们所含的向量是抽象的向量，比几何中的向量涵义更为抽象和广泛，它可以是数、矢量、矩阵、函数、函数向量、线性变换等等。故而，线性空间是一类非常广泛的、不同研究对象的数学抽象，它同时也是高等代数中最基本的概念之一。
在线性空间中，元素之间的相互联系是通过映射来实现的，通常我们称之为线性空间的一个变换，而线性变换是其中一类最基本、最重要的变换，它无疑是高等代数中一个主要的研究对象。
在线性空间中引入向量间的夹角、向量的长度、内积等概念后，线性空间具有了度量性质，发展成为欧氏空间。
由于线性空间和欧氏空间都属于抽象代数，加之国内对线性空间和欧氏空间的整体性研究的较少，有的只是对理论部分的简要论述，故缺乏更直观、更全面的讨论分析。
1.2 研究意义和目的
在我们的学习过程中可以发现，线性空间和欧氏空间在高等代数中是十分重要的两部分内容。线性空间使向量更加抽象化，并将向量进一步地展开，而欧氏空间在线性空间的基础上提出了内积概念，将向量的长度，夹角等度量性质引入到了线性空间中。总的来说，线性空间和欧氏空间之间既有区别又有联系。而且，线性空间理论广泛渗透于各项工程技术、自然科学、经济管理科学中，应用十分有效。
本论文的主要目的是通过对二者进行系统性的对比分析，使我们更全面、更深刻的认识和学习线性空间和欧氏空间。
1.3 研究方法
本论文采用了模块化分析与对比分析、理论分析与实例分析相结合的研究方法。
在《线性代数》和《高等代数》等相关书籍中，通常将“线性空间”和“欧氏空间”作为两章节内容分开讨论并加以讨论，这样往往不便于学习和理解。本论文则把这两部分内容系统地整合在一起，将研究讨论的内容划分为几个模块，在模块中对比分析和讨论线性空间和欧氏空间的联系与区别。
在对比分析过程中，除了理论部分的比较分析外，还适度的引入例题，在分析解决例题过程中，更清晰、更直观的了解线性空间和欧氏空间的区别和联系。
第二章 线性空间与欧氏空间的发展历史
2.1 关于线性空间
线性空间（向量空间）理论是高等代数理论中的重要内容，它不仅蕴含着深厚的数学思想方法，还包含着丰富的数学内容。
1844年以前，关于“向量空间”的概念解释一直是模糊的，而格拉斯曼则是给出“维向量空间”概念的第一位数学家，格拉斯曼用纯几何的方法来定义维向量空间中的向量，并将其逐步发展成为向量演算的通用方法。格拉斯曼指出，“只要对微分方程进行深入研究，无限维数的向量空间就必然会出现，甚至是未知并且无限的行列式，也是对无限维数空间的体现”[1]。但由于向量空间理论过于抽象，致使格拉斯曼的向量空间理论和扩展代数理论被长期忽视。
直到1888年，皮亚诺给出了“向量空间”的明确定义，即空间由元的向量构成；克罗内克则指出在有理数范围内的线性组合其实是对代数空间的扩展，并且他在这个线性组合中也运用到了向量空间的定义，在高斯理论中也有对有限维向量空间定义的详细介绍。
1894年，希尔伯特将域和向量空间的概念应用到了数论的研究中。希尔伯特认为，无限维的向量空间其实并没有那么丰富和复杂。后来，希尔伯特拥有了属于他自己的希尔伯特空间，推动了线性空间的发展。
2.2 关于欧几里得空间
欧几里德(Euclid，拉丁文为Euclides)，被世人称之为“几何之父”，是古希腊数学家。他生活在被誉为古希腊文化中心的亚历山大，其著作传播广泛，是公认的世界历史上最成功的教科书，其著作《几何原本》更是欧洲数学的基础。
欧几里德的很多公理都被划分到了二维或三维欧几里德抽象数学空间中，其研究的几何问题往往涉及平面几何以及三维空间上的立体几何。随着代数理论的发展，这类数学空间又被推广到了任意的有限维中，并且把欧几里德二维和三维空间中向量的长度、角度等度量性质转换成任意空间维数的坐标系，这些空间后被称为维欧几里德空间。
线性空间在定义了内积之后成为欧氏空间，空间的维数也变成了任意维的。由于我们生活在三维的空间中，我们的感官只能感知三维及以下的空间，故对高维空间的描述便显得十分抽象和难以理解，欧几里得空间为我们认识和探索高维度空间提供了可能，也让我们更加清晰、更加准确地认识到了空间的本质。
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