对称正定矩阵一道习题的简单运用(附件)【字数：5257】
摘 要摘 要 在高等代数中我们的对称正定矩阵起着很大的作用，为了能让我们的对阵正定矩阵的性质，定理，以及许多证明结果能够得到直接运用，那么我们需要先把关于对称正定矩阵的这个习题分析，证明出结果，那么我们的证明结果就可以直接运用到其它习题中去，为了让大家更清楚了解我们对称正定矩阵的应用，那么在论文开始我们会先列出它的定义，性质，定理，便于大家明白什么是对称正定矩阵，然后分析出其习题的证明结论，然后我们就其怎样运用作出主要解释。我们引出关于这个习题的几个例题，让大家更清楚的知道这个习题的证明结论到底是怎样运用到我们的其它习题中的。分析结束后我们就其运用做出总结。关键词对称正定矩阵；可逆矩阵；实对称矩阵；对角形；正交矩阵
目录
第一章 绪论 1
1.1矩阵学习的意义 1
1.2 对称正定矩阵学习的意义 1
1.3.对称正定矩阵的引出 1
1.4对称正定矩阵的定义 2
1．5对称正定矩阵的定理 2
第二章相关定义 4
2.1顺序主子式定义 4
2.2正定矩阵定理 4
2.3相关矩阵定义 4
第三章习题的引入及应用 6
3.1习题的证明 6
3.2.例题的引入运用 8
结论 16
致谢 17
参考文献 18
第一章 绪论
1.1矩阵学习的意义
所谓矩阵学习的意义,其实在这里我想阐述的就是我们学习矩阵的用途,矩阵到底可以解决什么样的问题呢?在这里我给大家做个简单的介绍.
矩阵可以变换线性关系,以及对称线性变化,在这方面我们的应用最为广泛了,在我们的高等代数中,大部分是利用矩阵解决我们的线性问题,可以帮助我们解决多元线性方程的问题,求出其解.在高等代数这本书中我们先从多项式,行列式,线性方程组引出我们的矩阵,为其做好铺垫.而在线性方程组中,线性方程组的性质主要体现在线性方程组的系数矩阵和增广矩阵中,因此我们要解决线性方程组的一些实际问题就必须学习矩阵,而线性方程组的解的算法,它也是得根据矩阵的转换得来,除了线性方程组这样的问题需要矩阵,在现实生活中还有很多问题都需要用矩 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
阵来解决的,可能有的问题看起来和矩阵没有关系,但是如果转化为矩阵问题,通过矩阵的很多性质,问题就可以得到解决.而且利用我们正定矩阵的很多性质我们可以进行直接引用来解决解题问题和很多证明问题.
1.2 对称正定矩阵学习的意义
对称正定矩阵在我们高等代数中有着很重要的地位，我们的很多证明计算习题都是从对称正定矩阵入手的，那么我们只有从其证明结论入手，研究出其更多定理和性质，这样我们就可以直接引用它的证明性质，这样方便我们解决高等代数很多问题，作为解题的枢纽我们要更多了解和学习它的性质。
1.3.对称正定矩阵的引出
我们在此主要研究的是二次型的矩阵表示,主要是将二次奇次多项式通过线性替换转化为二次型的矩阵.
将其转化为二次型矩阵
(1)
则（1）为二次型矩阵，这样我们就引出了二次矩阵。接下来我们可以看出
，其中,因此我们有，这样的矩阵我们称为对称矩阵，我们有二次型矩阵都是对称的。
1.4对称正定矩阵的定义
在前面我们已经引出了对称矩阵，那么接下来我们引入正定矩阵。我们先看实二次型的正定性，如下定义：
定义1满足有一组不全为零的实数,有，那么我们的实二次型是正定的。
其中，我们的实二次型为,其中
而将其进行非退化实线性替换，令，得到二次型
，其中，这样变换后我们的实二次型依然为正定的，我们可以推断，非退化实线性替换保持正定性不变。
1．5对称正定矩阵的定理
定理1n元的实二次型是正定的，那么它的正惯性指数等于，反过来也是可以推出了的。
我们从上面的分析，通过对实二次型正定性的分析，我们可以进一步讨论有关矩阵正定性的要求。我们可以得到一个推断，如果为实对称矩阵, 是正定的，那么我们可以讲为正定对称矩阵。这样我们就可以引出我们的正定对称矩阵的定义
第二章相关定义
拓展
首先由上述定义可以写出对称正定矩阵，我们可以做个拓展。
因此我们可以得到一个推论如下：
推论只要是正定矩阵，那么它的行列式都大于零。
2.1顺序主子式定义
接下来我们引入一个顺序主子式的定义，
称为矩阵A的顺序主子式。
2.2正定矩阵定理
引入定理2我们的矩阵的顺序主子式全部都大于零，那末我们的实二次型是正定的，而反过来也使成立的，从我们的实二次型是正定的，也可以推断出，矩阵的顺序主子式全部都大于零。另外我们可以看出来我们的矩阵也是正定矩阵。
2.3相关矩阵定义
1.正定矩阵定义2我们的实二次型，而且不等于0，如果我们有,我们有实二次型为正定的，因此可以得到，为正定的矩阵，有如果时，我们有实二次型为负定的，我们也可以得到，为负定矩阵，有.
下面我们看相关的实对称矩阵的相关定义
2.实对称矩阵定义3如果我们的矩阵满足等于的转置,那我们称这样的矩阵为实对称矩阵.
3.可逆矩阵定义4如果有单位矩阵,使得这样的阶方阵和阶方阵我们有
,那么这样的方阵A和B都是可逆矩阵.
4.可逆矩阵定义推广我们在定义4中满足,那么成为的可逆矩阵.也可以称为的可逆矩阵.
5.成对角形定义5如果我们的矩阵满足这样一个条件,其中为任意一个阶矩阵,为一个阶正交矩阵,那么其成对角形.
6.正交矩阵定义6如果我们有,那么成为正交矩阵
目录
第一章 绪论 1
1.1矩阵学习的意义 1
1.2 对称正定矩阵学习的意义 1
1.3.对称正定矩阵的引出 1
1.4对称正定矩阵的定义 2
1．5对称正定矩阵的定理 2
第二章相关定义 4
2.1顺序主子式定义 4
2.2正定矩阵定理 4
2.3相关矩阵定义 4
第三章习题的引入及应用 6
3.1习题的证明 6
3.2.例题的引入运用 8
结论 16
致谢 17
参考文献 18
第一章 绪论
1.1矩阵学习的意义
所谓矩阵学习的意义,其实在这里我想阐述的就是我们学习矩阵的用途,矩阵到底可以解决什么样的问题呢?在这里我给大家做个简单的介绍.
矩阵可以变换线性关系,以及对称线性变化,在这方面我们的应用最为广泛了,在我们的高等代数中,大部分是利用矩阵解决我们的线性问题,可以帮助我们解决多元线性方程的问题,求出其解.在高等代数这本书中我们先从多项式,行列式,线性方程组引出我们的矩阵,为其做好铺垫.而在线性方程组中,线性方程组的性质主要体现在线性方程组的系数矩阵和增广矩阵中,因此我们要解决线性方程组的一些实际问题就必须学习矩阵,而线性方程组的解的算法,它也是得根据矩阵的转换得来,除了线性方程组这样的问题需要矩阵,在现实生活中还有很多问题都需要用矩 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
阵来解决的,可能有的问题看起来和矩阵没有关系,但是如果转化为矩阵问题,通过矩阵的很多性质,问题就可以得到解决.而且利用我们正定矩阵的很多性质我们可以进行直接引用来解决解题问题和很多证明问题.
1.2 对称正定矩阵学习的意义
对称正定矩阵在我们高等代数中有着很重要的地位，我们的很多证明计算习题都是从对称正定矩阵入手的，那么我们只有从其证明结论入手，研究出其更多定理和性质，这样我们就可以直接引用它的证明性质，这样方便我们解决高等代数很多问题，作为解题的枢纽我们要更多了解和学习它的性质。
1.3.对称正定矩阵的引出
我们在此主要研究的是二次型的矩阵表示,主要是将二次奇次多项式通过线性替换转化为二次型的矩阵.
将其转化为二次型矩阵
(1)
则（1）为二次型矩阵，这样我们就引出了二次矩阵。接下来我们可以看出
，其中,因此我们有，这样的矩阵我们称为对称矩阵，我们有二次型矩阵都是对称的。
1.4对称正定矩阵的定义
在前面我们已经引出了对称矩阵，那么接下来我们引入正定矩阵。我们先看实二次型的正定性，如下定义：
定义1满足有一组不全为零的实数,有，那么我们的实二次型是正定的。
其中，我们的实二次型为,其中
而将其进行非退化实线性替换，令，得到二次型
，其中，这样变换后我们的实二次型依然为正定的，我们可以推断，非退化实线性替换保持正定性不变。
1．5对称正定矩阵的定理
定理1n元的实二次型是正定的，那么它的正惯性指数等于，反过来也是可以推出了的。
我们从上面的分析，通过对实二次型正定性的分析，我们可以进一步讨论有关矩阵正定性的要求。我们可以得到一个推断，如果为实对称矩阵, 是正定的，那么我们可以讲为正定对称矩阵。这样我们就可以引出我们的正定对称矩阵的定义
第二章相关定义
拓展
首先由上述定义可以写出对称正定矩阵，我们可以做个拓展。
因此我们可以得到一个推论如下：
推论只要是正定矩阵，那么它的行列式都大于零。
2.1顺序主子式定义
接下来我们引入一个顺序主子式的定义，
称为矩阵A的顺序主子式。
2.2正定矩阵定理
引入定理2我们的矩阵的顺序主子式全部都大于零，那末我们的实二次型是正定的，而反过来也使成立的，从我们的实二次型是正定的，也可以推断出，矩阵的顺序主子式全部都大于零。另外我们可以看出来我们的矩阵也是正定矩阵。
2.3相关矩阵定义
1.正定矩阵定义2我们的实二次型，而且不等于0，如果我们有,我们有实二次型为正定的，因此可以得到，为正定的矩阵，有如果时，我们有实二次型为负定的，我们也可以得到，为负定矩阵，有.
下面我们看相关的实对称矩阵的相关定义
2.实对称矩阵定义3如果我们的矩阵满足等于的转置,那我们称这样的矩阵为实对称矩阵.
3.可逆矩阵定义4如果有单位矩阵,使得这样的阶方阵和阶方阵我们有
,那么这样的方阵A和B都是可逆矩阵.
4.可逆矩阵定义推广我们在定义4中满足,那么成为的可逆矩阵.也可以称为的可逆矩阵.
5.成对角形定义5如果我们的矩阵满足这样一个条件,其中为任意一个阶矩阵,为一个阶正交矩阵,那么其成对角形.
6.正交矩阵定义6如果我们有,那么成为正交矩阵
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