大型稀疏线性方程组的迭代求解
大型稀疏线性方程组的迭代求解[20200209201411]
摘 要:求解线性方程组的问题多见于大量科学与工程的计算领域。关于求解线性方
程组一般提供两种方法，一种是用直接方法，另一个则是迭代方法。而对于方程
组的系数矩阵是稀疏矩阵，如果采用直接法求解会浪费许多工作量，因此我们采
用迭代法。用迭代求解大型稀疏线性方程组是求解实际问题的重要方法。本文首
先对稀疏矩阵的有关概念和压缩存储方法以及其它几类特殊矩阵的压缩存储做一
下简单的介绍，并根据不同的稀疏矩阵选择合适的存储策略；然后重点对常见的
方程组一般常用的迭代方法（Jacobi Method、Gauss-Seidel Method）以及共轭
梯度法(CG)进行讨论，并给出具体算法，通过实例分析各种方法的计算速度、效
率等.
关键词：方程组 稀疏矩阵 迭代方法 共轭梯度法
目 录 *查看完整论文请+Q: 351916072
1. 引言…………………………………………………………………………1
2.稀疏矩阵概述……………………………………………………………3
2.1 稀疏矩阵的概念及压缩存储……………………………………………………3
2 . 2 几类特殊矩阵…………………………………………………………6
2.2.1 三角矩阵及其压缩存储…………………………………………………6
2.2.2 带状矩阵及其压缩存储…………………………………………………7
2.3 稀疏矩阵计算举例……………………………………………………………8
2.3.1 稀疏矩阵的转置算法…………………………………………………8
2.3.2 稀疏矩阵乘法算法………………………………………………………9
3.方程组迭代法概述……………………………………………………………10
3.1 基本的念………………………………………………………………………10
3.2 基本迭代法……………………………………………………………………12
3.2.1 雅可比迭代法(Jacobi)…………………………………………………13
3.2.2 高斯-赛德尔迭代法(Gauss-Seidel)…………………………………14
3.3 共轭梯度法(CG)………………………………………………………………16
3.4 迭代法举例……………………………………………………………………19
结语…………………………………………………………………………………22
参考文献……………………………………………………………………………24
致谢……………………………………………………………………………25
1. 引言
在很多实际的问题中，需要对大型、稀疏的线性方程组求解。在自然科学与
工程技术中，存在非常多的有关数学的问题，对线性方程组求解便显得格外重要，
例如用差分或者用有限元方法对偏微分方程边值的问题、电学中网络问题等进行
求解。然后，通过迭代的方法求解是最有效的，并且是可能的。而这些方程的系
数矩阵一般可以分为两种，一种是低阶稠密矩阵，另外一个是大型的稀疏矩阵。
线性方程组该怎么样有效地求解已经成为科学与工程计算的焦点。
大型稀疏线性方程组需要解决的科学与工程，其稀疏矩阵中只有一小量的元
素不是 0，为了节约计算机的存储空间，提高存取的速度，对合适的存储方法的选
择是最重要的。三元组存储法和十字链表法是稀疏矩阵中的常见的压缩方法。
在数值求解时，一般会相当于求解形如 Ax b ? 的大型线性方程组，一般常用
用矩阵三角分解法或者是利用高斯消元法等直接求解线性方程组。直接方法求解
方程组的最大优势在于求解步骤相对少、理论上直接得到真解。但是在许多项目
中，系数矩阵条件数相对会庞大一些，这时会出现的稳定性问题会严重。此外，
当系数矩阵中的非零元结构不规则或者带宽较大时，运算、存储量也是非常的大。
相反，采用迭代法相比于直接法，计算机存储单元相对少、只需要存储原来的系
数矩阵，程序设计相对会简单。随着计算机技术愈来愈快地发展，计算机的存储
量也逐步增大，计算速度快，科学与工程计算中用迭代法求解线性方程组也起着
愈来愈关键的作用。
本文主要涵盖下面一些内容，第一部分是引言；第二部分是对稀疏矩阵的概
述，包括一般矩阵，特殊矩阵（对角矩阵或带状矩阵）和稀疏矩阵，其中包含对
一些矩阵的存储方法的概述；第三部分是对线性方程组的迭代求解法的概述，主
要包括一般的比较常用的迭代方法(Jacobi、Gauss-Seidel)和共轭梯度法(CG)。
记号约定:
摘 要:求解线性方程组的问题多见于大量科学与工程的计算领域。关于求解线性方
程组一般提供两种方法，一种是用直接方法，另一个则是迭代方法。而对于方程
组的系数矩阵是稀疏矩阵，如果采用直接法求解会浪费许多工作量，因此我们采
用迭代法。用迭代求解大型稀疏线性方程组是求解实际问题的重要方法。本文首
先对稀疏矩阵的有关概念和压缩存储方法以及其它几类特殊矩阵的压缩存储做一
下简单的介绍，并根据不同的稀疏矩阵选择合适的存储策略；然后重点对常见的
方程组一般常用的迭代方法（Jacobi Method、Gauss-Seidel Method）以及共轭
梯度法(CG)进行讨论，并给出具体算法，通过实例分析各种方法的计算速度、效
率等.
关键词：方程组 稀疏矩阵 迭代方法 共轭梯度法
目 录 *查看完整论文请+Q: 351916072
1. 引言…………………………………………………………………………1
2.稀疏矩阵概述……………………………………………………………3
2.1 稀疏矩阵的概念及压缩存储……………………………………………………3
2 . 2 几类特殊矩阵…………………………………………………………6
2.2.1 三角矩阵及其压缩存储…………………………………………………6
2.2.2 带状矩阵及其压缩存储…………………………………………………7
2.3 稀疏矩阵计算举例……………………………………………………………8
2.3.1 稀疏矩阵的转置算法…………………………………………………8
2.3.2 稀疏矩阵乘法算法………………………………………………………9
3.方程组迭代法概述……………………………………………………………10
3.1 基本的念………………………………………………………………………10
3.2 基本迭代法……………………………………………………………………12
3.2.1 雅可比迭代法(Jacobi)…………………………………………………13
3.2.2 高斯-赛德尔迭代法(Gauss-Seidel)…………………………………14
3.3 共轭梯度法(CG)………………………………………………………………16
3.4 迭代法举例……………………………………………………………………19
结语…………………………………………………………………………………22
参考文献……………………………………………………………………………24
致谢……………………………………………………………………………25
1. 引言
在很多实际的问题中，需要对大型、稀疏的线性方程组求解。在自然科学与
工程技术中，存在非常多的有关数学的问题，对线性方程组求解便显得格外重要，
例如用差分或者用有限元方法对偏微分方程边值的问题、电学中网络问题等进行
求解。然后，通过迭代的方法求解是最有效的，并且是可能的。而这些方程的系
数矩阵一般可以分为两种，一种是低阶稠密矩阵，另外一个是大型的稀疏矩阵。
线性方程组该怎么样有效地求解已经成为科学与工程计算的焦点。
大型稀疏线性方程组需要解决的科学与工程，其稀疏矩阵中只有一小量的元
素不是 0，为了节约计算机的存储空间，提高存取的速度，对合适的存储方法的选
择是最重要的。三元组存储法和十字链表法是稀疏矩阵中的常见的压缩方法。
在数值求解时，一般会相当于求解形如 Ax b ? 的大型线性方程组，一般常用
用矩阵三角分解法或者是利用高斯消元法等直接求解线性方程组。直接方法求解
方程组的最大优势在于求解步骤相对少、理论上直接得到真解。但是在许多项目
中，系数矩阵条件数相对会庞大一些，这时会出现的稳定性问题会严重。此外，
当系数矩阵中的非零元结构不规则或者带宽较大时，运算、存储量也是非常的大。
相反，采用迭代法相比于直接法，计算机存储单元相对少、只需要存储原来的系
数矩阵，程序设计相对会简单。随着计算机技术愈来愈快地发展，计算机的存储
量也逐步增大，计算速度快，科学与工程计算中用迭代法求解线性方程组也起着
愈来愈关键的作用。
本文主要涵盖下面一些内容，第一部分是引言；第二部分是对稀疏矩阵的概
述，包括一般矩阵，特殊矩阵（对角矩阵或带状矩阵）和稀疏矩阵，其中包含对
一些矩阵的存储方法的概述；第三部分是对线性方程组的迭代求解法的概述，主
要包括一般的比较常用的迭代方法(Jacobi、Gauss-Seidel)和共轭梯度法(CG)。
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