关于均值不等式的探讨discussiononmeaninequality(附件)【字数：13398】
不等式理论是数学领域的重要理论，而均值不等式是不等式理论的核心内容，因此认真地对均值不等式进行探讨显得尤为重要。均值不等式不论在初等数学还是在高等数学都有着重要而广泛的应用，这需要对均值不等式有一个透彻的认识，因而有必要对均值不等式进行全面深入的研究。 均值不等式的探讨主要内容包括了均值不等式的形式与性质、均值不等式的推广与证明、均值不等式的应用与变式探究等。本文综述了探究均值不等式的各方面所取得的主要研究成果。 主要研究成果包括探析了均值不等式的来源，将均值不等式证明方法作了代数与几何的划分，并对比了两者各自的优劣，同时归纳了均值不等式在形式与性质上的推广。运用均值不等式时容易产生各种错误，本文结合例题作了细致的论述。 目前该研究存在的大部分问题都只是从某一方面对均值不等式作探讨，而没有较为全面地详细论述均值不等式，在读者查阅文献时往往不能全面地获取所需的知识。 均值不等式的起源悠久，应用广泛，在未来的学科发展应用中也有着广泛的前景，探索与研究均值不等式的意义不言而喻。关键词 均值不等式 ; 几何思想 ; 数学归纳法 ; 排序原理 ;恒等变形
目 录
第一章 均值不等式的基本概念 1
1.1均值不等式的来源与定义 1
1.1.1均值不等式的来源 1
1.1.2均值不等式的定义 1
1.2均值不等式的基本性质 2
1.2.1对均值不等式定理的理解及简单运用 4
1.2.2均值不等式中各个平均值的几个特征 6
1.2.3均值不等式与几何的关系 6
第二章 均值不等式的证明及相关证法的探析 8
2.1均值不等式证明的代数方法 8
2.1.1 均值不等式证明之数学归纳法 9
2.1.2 均值不等式证明之排序原理法 13
2.1.3 均值不等式证明之局部调整法 17
2.1.4均值不等式证明的其它代数方法 19
2.2 均值不等式证明之几何方法 19
2.2.1运用几何方法证明二维均值不等式 20
2.2.2运用几何方法证明三维均值不等式 21
第三章 均值不等式 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072*
的推广与应用 23
3.1 均值不等式的推广 23
3.1.1 均值不等式关于形式方面的推广 23
3.1.2 均值不等式关于性质方面的推广 25
3.2均值不等式的多方面应用 28
3.2.1 均值不等式用于求最值 28
3.2.2 均值不等式用于几何问题中 31
3.2.3 均值不等式用于证明其它不等式 32
3.2.4均值不等式用于高等数学中 34
3.2.5均值不等式用于综合应用题 36
第四章 均值不等式的运用错误原因例解 37
4.1忽略了“一正二定三相等”的前提条件 37
4.2均值不等式多次使用，前后的等号无法同时取得 40
第五章 二维均值不等式的一个变式 43
结论 44
谢辞 45
参考文献 46
前言
不等式理论是数学领域的重要内容，而均值不等式是不等式理论的核心内容，因此均值不等式在学科内具有十分重要的地位。均值不等式的起源悠久，应用广泛，在未来的学科发展中有着相当可观的前景，探索与研究均值不等式的意义显得尤为重大。本篇论文对均值不等式各方面都作了一定程度的调查研究，讨论了均值不等式的起源，简述了均值不等式的基本知识，探究了均值不等式的各类证明方法，继而在均值不等式的推广上作了形式与性质方面的多层次论述，同时，均值不等式的应用与错例分析也是本文的一个重要内容，在文末还简单的讨论了均值不等式的一个变式，启发读者对均值不等式的变式的探索。加深对均值不等式的了解与认识方便我们对相关学科知识的理解与应用，对均值不等式进行探讨能培养我们对数学的兴趣，及对于我们加深对数学的理解与热爱也具有非常重要的意义。 第一章 均值不等式的基本概念
1.1均值不等式的来源与定义
1.1.1均值不等式的来源
，均值不等式可以说是来源于这个等式的。其中，当且仅当时，的等号才成立，因此，也是等号成立的条件。现在在不等式中用x来代替，用y来代替，那么这个不等式变化为：，这即是所谓的均值不等式。这个均值不等式也有相关的限制条件，其等号成立的条件是，此外 ，x，y必须满足x﹥0, y﹥0的条件。
在数学理论中，不等式理论又有重要的地位，而均值不等式在不等式理论中居于核心地位，在现代分析数学中是应用最为广泛的不等式之一。因此，对均值不等式的研究有着重大的意义。
1.1.2均值不等式的定义
均值不等式，又名为平均值不等式，平均不等式，外文名为“mean inequality”，在数学中是一个重要的公式，公式内容：，即调和平均数不大于几何平均数，几何平均数不大于算术平均数，算术平均数不大于平方平均数，可简记为“调几算方”（这里我们先介绍它的通式）。
具体的，
，
这是调和平均数。
，
这是几何平均数。
，
这是算术平均数。
，
这是平方平均数。
上面所描述的内容是均值不等式的通式形式，而均值不等式在高中阶段引入我们教学内容时是以二维的形式，即上式中n=2。这样我们得到一般情况下我们所熟悉的均值不等式：，在高中阶段的学习中，及大学的高等数学学习中，二维的均值不等式仍是我们的主要学习与运用对象。因此在本篇论文中，二维均值不等式仍是主要的研究内容。
1.2均值不等式的基本性质
性质1. 对任意实数a，b，存在（当且仅当时，“=”号成立）， （当且仅当时，“=”号成立）；
性质2. 对任意非负实数a，b，存在,也就是；
例1：已知a、b、c（0，＋∞），且a + b + c = 1，求证++9．
解析：原式＝（++）（a + b + c）＝3＋()＋()＋()3＋2＋2＋2＝9当且仅当a = b = c =时取等号。
性质3. 对任意非负实数a，b，存在；
例2：已知a、b、c，且。求证：
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。
解：因为a、b、c，。。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
。
当且仅当时取等号。
性质4. 对任意实数a，b，存在；
目 录
第一章 均值不等式的基本概念 1
1.1均值不等式的来源与定义 1
1.1.1均值不等式的来源 1
1.1.2均值不等式的定义 1
1.2均值不等式的基本性质 2
1.2.1对均值不等式定理的理解及简单运用 4
1.2.2均值不等式中各个平均值的几个特征 6
1.2.3均值不等式与几何的关系 6
第二章 均值不等式的证明及相关证法的探析 8
2.1均值不等式证明的代数方法 8
2.1.1 均值不等式证明之数学归纳法 9
2.1.2 均值不等式证明之排序原理法 13
2.1.3 均值不等式证明之局部调整法 17
2.1.4均值不等式证明的其它代数方法 19
2.2 均值不等式证明之几何方法 19
2.2.1运用几何方法证明二维均值不等式 20
2.2.2运用几何方法证明三维均值不等式 21
第三章 均值不等式 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072*
的推广与应用 23
3.1 均值不等式的推广 23
3.1.1 均值不等式关于形式方面的推广 23
3.1.2 均值不等式关于性质方面的推广 25
3.2均值不等式的多方面应用 28
3.2.1 均值不等式用于求最值 28
3.2.2 均值不等式用于几何问题中 31
3.2.3 均值不等式用于证明其它不等式 32
3.2.4均值不等式用于高等数学中 34
3.2.5均值不等式用于综合应用题 36
第四章 均值不等式的运用错误原因例解 37
4.1忽略了“一正二定三相等”的前提条件 37
4.2均值不等式多次使用，前后的等号无法同时取得 40
第五章 二维均值不等式的一个变式 43
结论 44
谢辞 45
参考文献 46
前言
不等式理论是数学领域的重要内容，而均值不等式是不等式理论的核心内容，因此均值不等式在学科内具有十分重要的地位。均值不等式的起源悠久，应用广泛，在未来的学科发展中有着相当可观的前景，探索与研究均值不等式的意义显得尤为重大。本篇论文对均值不等式各方面都作了一定程度的调查研究，讨论了均值不等式的起源，简述了均值不等式的基本知识，探究了均值不等式的各类证明方法，继而在均值不等式的推广上作了形式与性质方面的多层次论述，同时，均值不等式的应用与错例分析也是本文的一个重要内容，在文末还简单的讨论了均值不等式的一个变式，启发读者对均值不等式的变式的探索。加深对均值不等式的了解与认识方便我们对相关学科知识的理解与应用，对均值不等式进行探讨能培养我们对数学的兴趣，及对于我们加深对数学的理解与热爱也具有非常重要的意义。 第一章 均值不等式的基本概念
1.1均值不等式的来源与定义
1.1.1均值不等式的来源
，均值不等式可以说是来源于这个等式的。其中，当且仅当时，的等号才成立，因此，也是等号成立的条件。现在在不等式中用x来代替，用y来代替，那么这个不等式变化为：，这即是所谓的均值不等式。这个均值不等式也有相关的限制条件，其等号成立的条件是，此外 ，x，y必须满足x﹥0, y﹥0的条件。
在数学理论中，不等式理论又有重要的地位，而均值不等式在不等式理论中居于核心地位，在现代分析数学中是应用最为广泛的不等式之一。因此，对均值不等式的研究有着重大的意义。
1.1.2均值不等式的定义
均值不等式，又名为平均值不等式，平均不等式，外文名为“mean inequality”，在数学中是一个重要的公式，公式内容：，即调和平均数不大于几何平均数，几何平均数不大于算术平均数，算术平均数不大于平方平均数，可简记为“调几算方”（这里我们先介绍它的通式）。
具体的，
，
这是调和平均数。
，
这是几何平均数。
，
这是算术平均数。
，
这是平方平均数。
上面所描述的内容是均值不等式的通式形式，而均值不等式在高中阶段引入我们教学内容时是以二维的形式，即上式中n=2。这样我们得到一般情况下我们所熟悉的均值不等式：，在高中阶段的学习中，及大学的高等数学学习中，二维的均值不等式仍是我们的主要学习与运用对象。因此在本篇论文中，二维均值不等式仍是主要的研究内容。
1.2均值不等式的基本性质
性质1. 对任意实数a，b，存在（当且仅当时，“=”号成立）， （当且仅当时，“=”号成立）；
性质2. 对任意非负实数a，b，存在,也就是；
例1：已知a、b、c（0，＋∞），且a + b + c = 1，求证++9．
解析：原式＝（++）（a + b + c）＝3＋()＋()＋()3＋2＋2＋2＝9当且仅当a = b = c =时取等号。
性质3. 对任意非负实数a，b，存在；
例2：已知a、b、c，且。求证：
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。
解：因为a、b、c，。。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
。
当且仅当时取等号。
性质4. 对任意实数a，b，存在；
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