条件数学期望及计算实例(附件)【字数：5497】
摘 要摘 要近年来，条件期望在很多领域比如计算科学、统计、物理、工程、经济管理和金融领域中得到了非常广泛地应用，并取得了良好的效果，特别是条件期望在统计推断中的应用。利用条件概率，并且可根据实际数据，从而判断或修正以往信息。因为利用测度论描述条件期望是鞅理论的基础，并且同时也是严格论述现代概率论与数理统计中必不可缺的基本概念，所以关于现代概率论与数理统计的讨论总是从条件期望开始的。鉴于此，本文研究了条件期望的性质及与Radon-Nikodym定理的关系，探讨了它在统计推断中的应用，并利用条件期望预测实际问题。关键词条件数学期望；可测；条件概率
目 录
第一章 绪论 1
1.1 研究背景 1
1.2条件数学期望的研究现状与发展 2
1.3本文的主要内容 2
第二章 条件概率和条件期望 3
第三章 关于随机变量的条件期望 5
第四章 关于条件期望的分解 10
4.1 对于样本空间的条件概率 10
4.2 对于由一个离散型随机变量引起的条件概率的分解 11
4.3 对条件期望的分解 13
第五章 关于代数的条件期望 17
第六章 条件数学期望的应用 22
6.1 计算实例 22
结 论 25
致 谢 26
参 考 文 献 27
第一章 绪论
1.1 研究背景
数学是一门应用十分广泛的学科，几乎在生活的方方面面，小到买东西计算价格，大到最新的科技进展，方方面面都有数学的踪影。我们今天研究的条件数学期望在概率论与数理统计中起着非常重要的作用，鞅，Markov过程等一些现代概率论最进本的对象就是用条件数学期望定义的。
我们研究条件数学期望是为了在我们的生活中更好地运用它，让条件数学期望成为我们未来发展的工具。现在很多理工科的许多专业（特别是通讯专业）在概率论、数理统计、随机过程课程中已不同层次地引进了条件期望的一般性定义。
近年来，伴随着人们不断地观察和研究随机现象，条件数学期望已经被十分广泛地运用到我们的日常生活中了。并且伴随着研究的深入，条件数学期望 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
已经在计算科学、生物学、统计学、物理学、工程学、运筹学、经济管理学以及金融学领悟中得到非常广泛的应用，而且都取得了非常好的效果，尤其值得我们注意到是条件数学期望在最优预测中的应用。现在概率论总是从条件数学期望开始的，条件期望是现代概率论的基础，同时这是因为以测度论为基础的条件期望是鞅论的基础，并且也是严格陈述现代概率论必不可少的基本概念。
概率论作为数学的一个十分重要的分支有着十分悠久的发展历史和极其丰富的内容,它的思想已广泛运用于很多学科，用概率论的方法解决其他学科的一些问题是一个十分重要并且有趣的过程。而且数学不等式的证明是非常常见的、重要的数学问题。代数方法也是一种我们常见的方法，可是有的数学不等式的证明并不能用代数的方法来解决。这个时候我们则需要寻找其他的证明方法。那么这个时候我们可以采用概率模型法，利用概率论中有限离散型随机变量的数学期望理论，概率模型法是证明数学不等式的一个十分简单快捷且有效的方法。我们通过概率模型法来证明数学不等式不论对于初等数学还是高等数学，都很有意义以及实际的应用价值；我们用研究随机现象的概率模型法去处理非随机数学问题对于我们的创造性虽未的训练也是十分有益的，并且它还沟通了不同数学分支之间的联系。
充分研究条件数学期望对于概率论、数理统计、随机过程等课题的更深入的研究都十分有帮助。例如，充分统计量是点估计中的一个重要概念，利用它及条件数学期望可以构造出很好的点估计。找到参数的充分统计量及无偏估计，就可以用条件数学期望构造出方差更小的无偏估计，若能更进一步，统计量不仅充分而且完备，便可构造出唯一的最小方差无偏估计。
1.2条件数学期望的研究现状与发展
翻阅了过去学者的学术论文之后发现，目前关于条件数学期望的研究非常广泛，物理学、统计学、经济管理学等学科都有运用条件数学期望来进行有关的研究。例如在研究Markov过程的理论与应用中，对条件数学期望的运用技巧是最基本、最重要的技巧，因为随机过程的Markov性就是用条件数学期望定义的。又如在经济管理学方面，利用条件数学期望研究欧式看涨期权的动态定价模型求出模型的显示表达式。再如，对于条件数学期望的平滑性质的研究，讨厌平滑性质的推广与应用，利用测度论中的基本方法来给出命题及证明。
1.3本文的主要内容
本文主要通过参考《现代概率论基础》来研究条件数学期望的定义以及应用实例。
利用条件概率，并且可以根据实际数据，从而判断或修正以往信息。因为利用测度论描述条件期望是鞅理论的基础，并且同时也是严格论述现代概率论与数理统计中必不可缺的基本概念，所以关于现代概率论与数理统计的讨论总是从条件期望开始的。鉴于此，本文研究了条件期望的性质及与RadonNikodym定理的关系，探讨了它在统计推断中的应用，并利用条件期望预测实际问题。
第二章 条件概率和条件期望
2.1 定义
如果集合并且，关于的条件概率的定义为
2.2 定义
函数集合 ，是一个概率测度。用表示一个随机变量的条件期望，它的定义为关于条件概率的期望。
2.3 例子
假设有一个概率空间
,
,,,,
设，则
这意味着
,
,
,
,
设，然后
与此同时,我们可以用图形的意义来解释期望值与条件期望值:期望值指的是的平均值除以平均高度;而条件期望值则指的是在某个限定范围上的平均高度,例如,期望值是学生所有学科成绩的平均分数;而条件期望值是某些固定科目的平均。
第三章 关于随机变量的条件期望
3.1 定义
设和是离散型随机变量,假设。假设为的联合质量函数，为的概率密度函数，
目 录
第一章 绪论 1
1.1 研究背景 1
1.2条件数学期望的研究现状与发展 2
1.3本文的主要内容 2
第二章 条件概率和条件期望 3
第三章 关于随机变量的条件期望 5
第四章 关于条件期望的分解 10
4.1 对于样本空间的条件概率 10
4.2 对于由一个离散型随机变量引起的条件概率的分解 11
4.3 对条件期望的分解 13
第五章 关于代数的条件期望 17
第六章 条件数学期望的应用 22
6.1 计算实例 22
结 论 25
致 谢 26
参 考 文 献 27
第一章 绪论
1.1 研究背景
数学是一门应用十分广泛的学科，几乎在生活的方方面面，小到买东西计算价格，大到最新的科技进展，方方面面都有数学的踪影。我们今天研究的条件数学期望在概率论与数理统计中起着非常重要的作用，鞅，Markov过程等一些现代概率论最进本的对象就是用条件数学期望定义的。
我们研究条件数学期望是为了在我们的生活中更好地运用它，让条件数学期望成为我们未来发展的工具。现在很多理工科的许多专业（特别是通讯专业）在概率论、数理统计、随机过程课程中已不同层次地引进了条件期望的一般性定义。
近年来，伴随着人们不断地观察和研究随机现象，条件数学期望已经被十分广泛地运用到我们的日常生活中了。并且伴随着研究的深入，条件数学期望 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
已经在计算科学、生物学、统计学、物理学、工程学、运筹学、经济管理学以及金融学领悟中得到非常广泛的应用，而且都取得了非常好的效果，尤其值得我们注意到是条件数学期望在最优预测中的应用。现在概率论总是从条件数学期望开始的，条件期望是现代概率论的基础，同时这是因为以测度论为基础的条件期望是鞅论的基础，并且也是严格陈述现代概率论必不可少的基本概念。
概率论作为数学的一个十分重要的分支有着十分悠久的发展历史和极其丰富的内容,它的思想已广泛运用于很多学科，用概率论的方法解决其他学科的一些问题是一个十分重要并且有趣的过程。而且数学不等式的证明是非常常见的、重要的数学问题。代数方法也是一种我们常见的方法，可是有的数学不等式的证明并不能用代数的方法来解决。这个时候我们则需要寻找其他的证明方法。那么这个时候我们可以采用概率模型法，利用概率论中有限离散型随机变量的数学期望理论，概率模型法是证明数学不等式的一个十分简单快捷且有效的方法。我们通过概率模型法来证明数学不等式不论对于初等数学还是高等数学，都很有意义以及实际的应用价值；我们用研究随机现象的概率模型法去处理非随机数学问题对于我们的创造性虽未的训练也是十分有益的，并且它还沟通了不同数学分支之间的联系。
充分研究条件数学期望对于概率论、数理统计、随机过程等课题的更深入的研究都十分有帮助。例如，充分统计量是点估计中的一个重要概念，利用它及条件数学期望可以构造出很好的点估计。找到参数的充分统计量及无偏估计，就可以用条件数学期望构造出方差更小的无偏估计，若能更进一步，统计量不仅充分而且完备，便可构造出唯一的最小方差无偏估计。
1.2条件数学期望的研究现状与发展
翻阅了过去学者的学术论文之后发现，目前关于条件数学期望的研究非常广泛，物理学、统计学、经济管理学等学科都有运用条件数学期望来进行有关的研究。例如在研究Markov过程的理论与应用中，对条件数学期望的运用技巧是最基本、最重要的技巧，因为随机过程的Markov性就是用条件数学期望定义的。又如在经济管理学方面，利用条件数学期望研究欧式看涨期权的动态定价模型求出模型的显示表达式。再如，对于条件数学期望的平滑性质的研究，讨厌平滑性质的推广与应用，利用测度论中的基本方法来给出命题及证明。
1.3本文的主要内容
本文主要通过参考《现代概率论基础》来研究条件数学期望的定义以及应用实例。
利用条件概率，并且可以根据实际数据，从而判断或修正以往信息。因为利用测度论描述条件期望是鞅理论的基础，并且同时也是严格论述现代概率论与数理统计中必不可缺的基本概念，所以关于现代概率论与数理统计的讨论总是从条件期望开始的。鉴于此，本文研究了条件期望的性质及与RadonNikodym定理的关系，探讨了它在统计推断中的应用，并利用条件期望预测实际问题。
第二章 条件概率和条件期望
2.1 定义
如果集合并且，关于的条件概率的定义为
2.2 定义
函数集合 ，是一个概率测度。用表示一个随机变量的条件期望，它的定义为关于条件概率的期望。
2.3 例子
假设有一个概率空间
,
,,,,
设，则
这意味着
,
,
,
,
设，然后
与此同时,我们可以用图形的意义来解释期望值与条件期望值:期望值指的是的平均值除以平均高度;而条件期望值则指的是在某个限定范围上的平均高度,例如,期望值是学生所有学科成绩的平均分数;而条件期望值是某些固定科目的平均。
第三章 关于随机变量的条件期望
3.1 定义
设和是离散型随机变量,假设。假设为的联合质量函数，为的概率密度函数，
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