整系数多项式因式分解研究(附件)【字数：6959】
摘 要摘 要在给定的数域F上，把一个多项式表示成若干个不可约多项式的乘积的形式，叫做多项式的因式分解，对于整系数多项式的分解，必须根据所给多项式的特点采取相应方法。多项式的因式分解问题可以分为两类，一类是不可约的问题，另一类是可约的。在可约的条件下就要继续研究其如何进行因式分解的问题。在复数范围内用根研究多项式的因式分解是常见的，把其思想应用到有理数范围，用多项式的原根研究整系数多项式的因式分解，用其值研究整系数多项式的不可约。本文第一章简要说明了论文研究的背景和意义，并对论文的内容进行了简要的概括，第二章系统的介绍了整系数多项式因式分解的几种方法，有待定系数法、试除法、唯一性定理法、行列式法、轮换对称法、多元变换法。第三章则按变量个数介绍了整系数多项式的因式分解方法。关键词:数域；整系数多项式 ；不可约多项式
目 录
第一章 绪论 1
1.1论文研究的背景及意义 1
1.2整系数多项式因式分解研究国内外研究现状 1
1.3论文主要内容 2
第二章 整系数多项式因式分解方法归纳 5
2.1待定系数法 5
2.2 试除法 5
2.3 唯一性定理法 6
2.4行列式法 7
2.5 轮换对称法 8
2.6 多元变换法 8
第三章 按变量个数来进行整系数多项式因式分解 10
3.1一元多项式的因式分解 10
3.1.1 提公因式法 10
3.1.3 分组分解法 11
3.1.4 十字相乘法 12
3.2 二元多项式的因式分解 13
3.2.1 求根法 14
3.2.2 待定系数法 14
3.2.3 双十字相乘法 15
3.2.4 双零分解法 15
3.2.5 分析二次项、常数项法 16
3.3 多元多项式的因式分解 16
3.3.1 高次多项式的因式分解研究 17
结 语 19
参考文献 20
第一章 绪论
1.1论文研究的背景及意义< *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
br /> 多元多项式的因式分解是代数学中基本的内容之一，也是数学研究的重要内容之一，它不仅是数学学科中相当困难的问题之一还是计算中最基本的算法。
整系数多项式因式分解理论是高等代数与解析几何的重要内容，是学习其它数学分支的基础。多项式理论是整个高等代数课程中的一个相对独立而自成体系的部分，它与高等代数与解析几何其他章节内容没太大关系，但却为高等代数的其他部分提供理论依据。
在高等代数中，一个整系数多项式可不可约已经有了系统的讨论，多项式在数域上的可约和不可约的定义，确定多项式分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的，给出了判断一个多项式有没有重因式的方法，多项式根与因式的关系，根据给定的值利用插值公式求出多项式的表达式。在复变函数论中用简单方法证明了代数基本定理，解决了在复数范围内多项式的次数与其根的个数关系。整系数多项式在有理数域上是否可约，可用Eisenstein判断法判断。
利用整系数多项式的因式分解可以帮助我们解决各种复杂繁琐的代数问题，为我们下一步的研究铺平道路，可以说得上是一个相当有用的工具
1.2整系数多项式因式分解研究国内外研究现状
对于整系数多项式因式分解这个课题，国内外很多人都进行了一些研究，并取得了可观的成果。Abbot用Kaltfen方法，利用Hensel中的二元映射准确的计算出首项系数，而Paul.s.Wang对于首项系数有他独创的方法，分解整系数多项式是他主要要解决的问题，算法开头是的首接下来对其他变元进行赋值，再次分解多项式，利用整数首系数就可以的首系数,接下来我们通过一些例题来更深入了解这种方法。
例1、设L=Q（），
=[y++1)x+1][y+1)x+1]
=(+2y6)+2(y+)x+1
l(f)=+2y6∈L(y)，对y赋值，得到Z[]的一个元，但Z[]不是唯一分解整环，在环GCDs不一定总是存在的，令y=0，则l（f）（y=0)=6=2×3=－(1－)(1+)
进行Hensel提升时必须对分母进行计算，我们的前辈想到了一个方法解决这个问题，就是掉一个素数，必须满足为f任一因式的整系数的两倍大，这样的话，多项式整系数的数位非常大，造成运算缓慢。
根据Hensel’s lemma,97年支丽红将提升技巧用于由不可约升列定义的代数扩域F（）上多元多项式的因式分解算法，其中不可约升列为
支丽红的算法主要就是将多元多项式化为一元多项式，代数函数域化为代数数域，经过代换多项式及不可约升列必须还要保持不可约性，这样的话不可约升列就可能变为可约的情况。
对于代数函数域上的因式分解，Barry M.Trager在1976年提出了一种算法，算法是将,他的算法主要是通过计算并分解norm（f），其中。如果是的一个不可约因式，我们可以设，其次计算，直到计算出的完全分解为止。
1.3论文主要内容
1、Eisenstein判断法
设 是一个整系数多项式，若是能够找到一个素数p，使
最高次项系数不能被p整除
其余各项的系数都能被p整除
常数项不能被整除
那么多项式在有理数域上不可约。
这方法可帮助我们判断多项式可约性和对无理数作判断
Eisenstein判断法给我们提供了一个判断多项式不可约的手段，但它并非是不可约的必要条件，不过可以用Eisenstein判断法来判断多项式的不可约性，对多项式进行适当变换，比如线性变换或反函数变换，使其满足Eisenstein判断法的条件。
命题1 若没有有理根，并能找到一个素数p，使
p至少不能整除中的一个；
P| ， ；
P| ，
那么在有理数上不可约
命题2 整系数多项式
若没有有理根，且能找到一个素数p，使
目 录
第一章 绪论 1
1.1论文研究的背景及意义 1
1.2整系数多项式因式分解研究国内外研究现状 1
1.3论文主要内容 2
第二章 整系数多项式因式分解方法归纳 5
2.1待定系数法 5
2.2 试除法 5
2.3 唯一性定理法 6
2.4行列式法 7
2.5 轮换对称法 8
2.6 多元变换法 8
第三章 按变量个数来进行整系数多项式因式分解 10
3.1一元多项式的因式分解 10
3.1.1 提公因式法 10
3.1.3 分组分解法 11
3.1.4 十字相乘法 12
3.2 二元多项式的因式分解 13
3.2.1 求根法 14
3.2.2 待定系数法 14
3.2.3 双十字相乘法 15
3.2.4 双零分解法 15
3.2.5 分析二次项、常数项法 16
3.3 多元多项式的因式分解 16
3.3.1 高次多项式的因式分解研究 17
结 语 19
参考文献 20
第一章 绪论
1.1论文研究的背景及意义< *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
br /> 多元多项式的因式分解是代数学中基本的内容之一，也是数学研究的重要内容之一，它不仅是数学学科中相当困难的问题之一还是计算中最基本的算法。
整系数多项式因式分解理论是高等代数与解析几何的重要内容，是学习其它数学分支的基础。多项式理论是整个高等代数课程中的一个相对独立而自成体系的部分，它与高等代数与解析几何其他章节内容没太大关系，但却为高等代数的其他部分提供理论依据。
在高等代数中，一个整系数多项式可不可约已经有了系统的讨论，多项式在数域上的可约和不可约的定义，确定多项式分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的，给出了判断一个多项式有没有重因式的方法，多项式根与因式的关系，根据给定的值利用插值公式求出多项式的表达式。在复变函数论中用简单方法证明了代数基本定理，解决了在复数范围内多项式的次数与其根的个数关系。整系数多项式在有理数域上是否可约，可用Eisenstein判断法判断。
利用整系数多项式的因式分解可以帮助我们解决各种复杂繁琐的代数问题，为我们下一步的研究铺平道路，可以说得上是一个相当有用的工具
1.2整系数多项式因式分解研究国内外研究现状
对于整系数多项式因式分解这个课题，国内外很多人都进行了一些研究，并取得了可观的成果。Abbot用Kaltfen方法，利用Hensel中的二元映射准确的计算出首项系数，而Paul.s.Wang对于首项系数有他独创的方法，分解整系数多项式是他主要要解决的问题，算法开头是的首接下来对其他变元进行赋值，再次分解多项式，利用整数首系数就可以的首系数,接下来我们通过一些例题来更深入了解这种方法。
例1、设L=Q（），
=[y++1)x+1][y+1)x+1]
=(+2y6)+2(y+)x+1
l(f)=+2y6∈L(y)，对y赋值，得到Z[]的一个元，但Z[]不是唯一分解整环，在环GCDs不一定总是存在的，令y=0，则l（f）（y=0)=6=2×3=－(1－)(1+)
进行Hensel提升时必须对分母进行计算，我们的前辈想到了一个方法解决这个问题，就是掉一个素数，必须满足为f任一因式的整系数的两倍大，这样的话，多项式整系数的数位非常大，造成运算缓慢。
根据Hensel’s lemma,97年支丽红将提升技巧用于由不可约升列定义的代数扩域F（）上多元多项式的因式分解算法，其中不可约升列为
支丽红的算法主要就是将多元多项式化为一元多项式，代数函数域化为代数数域，经过代换多项式及不可约升列必须还要保持不可约性，这样的话不可约升列就可能变为可约的情况。
对于代数函数域上的因式分解，Barry M.Trager在1976年提出了一种算法，算法是将,他的算法主要是通过计算并分解norm（f），其中。如果是的一个不可约因式，我们可以设，其次计算，直到计算出的完全分解为止。
1.3论文主要内容
1、Eisenstein判断法
设 是一个整系数多项式，若是能够找到一个素数p，使
最高次项系数不能被p整除
其余各项的系数都能被p整除
常数项不能被整除
那么多项式在有理数域上不可约。
这方法可帮助我们判断多项式可约性和对无理数作判断
Eisenstein判断法给我们提供了一个判断多项式不可约的手段，但它并非是不可约的必要条件，不过可以用Eisenstein判断法来判断多项式的不可约性，对多项式进行适当变换，比如线性变换或反函数变换，使其满足Eisenstein判断法的条件。
命题1 若没有有理根，并能找到一个素数p，使
p至少不能整除中的一个；
P| ， ；
P| ，
那么在有理数上不可约
命题2 整系数多项式
若没有有理根，且能找到一个素数p，使
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