构造法在高等代数中的应用(附件)【字数：4866】
摘 要摘 要在高等代数的学习过程中，经常会遇到一些无法直接明了得到解答的问题，比如一些计算题和证明题。在数学解题中有很多解题思维和方法，可以巧妙地运用到高等代数中，而构造法就是其中一种。本文先简要介绍了构造法的发展历程，然后挑选了一些实例来体现构造法在高等代数的应用，有理论证明和一些计算应用。在举例说明的过程中，通过简明的分析解释来体现构造法的无穷魅力。构造法不仅给我们提供了一种解题思路，使解答更加简明易懂，与此同时，培养了我们的逻辑思维能力和理论运用能力。这不仅有利于我们更好地学习数学这门学科，更有利于我们增强自身的理论与实践相结合的能力。关键词构造法，高等代数，数学应用
目 录
第一章 前言 1
第二章 构造法的概述 2
2.1 构造法的概念 2
2.2 构造法的历程 2
2.2.1构造法——直觉数学阶段 2
2.2.2构造法——算法数学阶段 3
2.2.3构造法——现代构造数学阶段 3
2.3 几种常用的构造法 4
构造法在高等代数中的应用 5
3.1 构造法在多项式中的应用 5
3.2 构造法在行列式中的应用 5
3.3 构造法在矩阵中的应用 9
3.3.1 构造法在矩阵证明中的应用 9
3.3.2 构造法在矩阵计算中的应用 11
3.4 构造法在二次型中的应用 12
3.5 构造法在线性空间中的应用 14
3.6 构造法在欧式空间中的应用 15
第四章 结束语 16
致谢 17
参考文献 18
第一章 前言
我们在学习高等代数时，时常会有一些证明存在性的问题，而通常命题的条件与结论之间没有明确的联系，我们没有办法直接看出条件与结论之间的关系，这时，就需要我们构造一个桥梁，将两者联系起来，打通它们的关系，这种方法就是数学中的构造法。因为会运用到构造的题目，中间要自己搭建桥梁，通常是比较难的题目。当遇到一些较难的问题，特别是证明题时，构造法更能体现它的优势。 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
本文就一些例子来展现构造法的应用。
第二章 构造法的概述
2.1 构造法的概念
对于某些数学问题，我们按照常规思维无法解答的，我们就要根据题目的条件和结论的性征、特点，另辟蹊径，用新的视角去解读对象，深度挖掘条件与结论之间的内在联系。根据条件的数据特征，结合结论的要求，运用已知的数学理论知识，构造出能够联系条件、理论和结论的辅助命题，从而使条件与结论露出原形，清晰地展现两者之间的关系，从而达到快速解决问题的目的。在数学中，我们称这种方法为构造法。
2.2 构造法的历程
2.2.1构造法——直觉数学阶段
克隆尼克，19世纪末出生在德国，作为直觉数学学派的创始人，他的主要观点是：只有在有了可行性的条件下，存在性才有可能被证实。
在定义中，步骤是有限的，步骤所定义的那些对象的计算方法应当包含在内。在证明存在性时，要证明存在性的量，它的计算精确度也应当精确到任意一位，克隆尼克是这样认为的。另外，他曾经还计划要算术化数学，并且将所有非构造性的成分和根源从数学领域中清除掉。
彭家勒是第二位有力的倡导者。最基本的直观是自然数，不要做多余的分析，就是可信的，这就是他的主张。
他们都认为：一切基本概念，都是构造的。
布劳威是近代构造法的创立人。他从数学和哲学两个不同的视角，全面而彻底地“存在必须被构造”这一观点进行了深化发展。海丁和威尔也是直觉学派的重要人物。
它们虽然观点有所不同，但它们的基本立场是一致的。首先，自然数论，而并非集合论，是数学的起始点。集合论概念是不允许进入数学的，一切数学，都可以由自然算术经过一系列的“展形”构造出来。接下来，在突破传统逻辑的普适性的基础上，创立直觉逻辑。进而在直觉逻辑的基础上，打开了构造性数学的新篇章——直觉数学。
从此，构造法的第一阶段——直觉数学阶段，就开始了。
2.2.2构造法——算法数学阶段
布劳威创立直觉数学的想法就是：剔除一切与集合论相关的概念，仅仅限于研究可行性的定义或者构造的对象。沿着他的思想，它必然就要舍弃很多通用的数学术语，并将很多“超数学原理”引入，这样的直觉数学就变得费解甚至读不懂。另外，直觉数学过于偏激，只要不是构造性数学，它都不接受；它拒绝一切传统逻辑，但是传统逻辑又不全是无效的。因此，绝大多数数学家对他的做法并不认同，甚至持反对意见。
布劳威理论，在数学家看来，更像古董一样稀奇，相反，倒是引起了不少逻辑学家的兴趣。就这样，几种构造性倾向应运而生了，它们没有直觉数学那么偏激极端，它们把可行性的范围限定在一定的类里，而不是对一切的否认或肯定。
其中尤为引人注目的要属“算法数学”——马尔科夫和他的伙伴一起创立的。
算法数学：一切数学概念都是由构造法衍生出来的。递归函数论是它的基础，他的概念因此就有十分严格的定义。
马尔科夫理论是一种“严格又穷主义”理论：一、对象的类受它限制；二、可容许证明方式的类也受限制。此后，沙宁对他的研究做了进一步深化。在沙宁的助推下，构造法步入了算法数学阶段。
这种构造法是以递归函数论为基础的，其中很多应用了递归函数理论的术语，因此，对于外行人，理解起来是非常困难的。除此以外，它的后继者们更倾向于研究一些复杂理论以及其在计算机学上的应用，而不是研究算法数学实践本身。没有合适的框架来进行数学实践，算法数学从此沉睡，就不难理解了。
2.2.3构造法——现代构造数学阶段
比肖泊对现代分析的一个重要部分进行了重组和构建，为构造法注入了新的血液。他的课题研究面很广，其中就有涉及到泛函微积、测度论和对偶理论。其中测度论是他和钦一起构造的，是基于丹尼尔积分创立的，不仅没有了这种疑虑——在实直线上构造可数可加测度的可能性，还证明了在一定的意义下，构造的连续式是不可数的。开启了现代构造数学。
比肖泊在布劳威的基础上，他冲破布劳威思想的禁锢，舍弃递归函数。没有了形式主义的束手束脚，为他的创新留下了新的空间。与此同时，对于人们熟悉的数学术语和符号，比肖泊并没有做什么变动，他的研究也因此更容易解读。
目 录
第一章 前言 1
第二章 构造法的概述 2
2.1 构造法的概念 2
2.2 构造法的历程 2
2.2.1构造法——直觉数学阶段 2
2.2.2构造法——算法数学阶段 3
2.2.3构造法——现代构造数学阶段 3
2.3 几种常用的构造法 4
构造法在高等代数中的应用 5
3.1 构造法在多项式中的应用 5
3.2 构造法在行列式中的应用 5
3.3 构造法在矩阵中的应用 9
3.3.1 构造法在矩阵证明中的应用 9
3.3.2 构造法在矩阵计算中的应用 11
3.4 构造法在二次型中的应用 12
3.5 构造法在线性空间中的应用 14
3.6 构造法在欧式空间中的应用 15
第四章 结束语 16
致谢 17
参考文献 18
第一章 前言
我们在学习高等代数时，时常会有一些证明存在性的问题，而通常命题的条件与结论之间没有明确的联系，我们没有办法直接看出条件与结论之间的关系，这时，就需要我们构造一个桥梁，将两者联系起来，打通它们的关系，这种方法就是数学中的构造法。因为会运用到构造的题目，中间要自己搭建桥梁，通常是比较难的题目。当遇到一些较难的问题，特别是证明题时，构造法更能体现它的优势。 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
本文就一些例子来展现构造法的应用。
第二章 构造法的概述
2.1 构造法的概念
对于某些数学问题，我们按照常规思维无法解答的，我们就要根据题目的条件和结论的性征、特点，另辟蹊径，用新的视角去解读对象，深度挖掘条件与结论之间的内在联系。根据条件的数据特征，结合结论的要求，运用已知的数学理论知识，构造出能够联系条件、理论和结论的辅助命题，从而使条件与结论露出原形，清晰地展现两者之间的关系，从而达到快速解决问题的目的。在数学中，我们称这种方法为构造法。
2.2 构造法的历程
2.2.1构造法——直觉数学阶段
克隆尼克，19世纪末出生在德国，作为直觉数学学派的创始人，他的主要观点是：只有在有了可行性的条件下，存在性才有可能被证实。
在定义中，步骤是有限的，步骤所定义的那些对象的计算方法应当包含在内。在证明存在性时，要证明存在性的量，它的计算精确度也应当精确到任意一位，克隆尼克是这样认为的。另外，他曾经还计划要算术化数学，并且将所有非构造性的成分和根源从数学领域中清除掉。
彭家勒是第二位有力的倡导者。最基本的直观是自然数，不要做多余的分析，就是可信的，这就是他的主张。
他们都认为：一切基本概念，都是构造的。
布劳威是近代构造法的创立人。他从数学和哲学两个不同的视角，全面而彻底地“存在必须被构造”这一观点进行了深化发展。海丁和威尔也是直觉学派的重要人物。
它们虽然观点有所不同，但它们的基本立场是一致的。首先，自然数论，而并非集合论，是数学的起始点。集合论概念是不允许进入数学的，一切数学，都可以由自然算术经过一系列的“展形”构造出来。接下来，在突破传统逻辑的普适性的基础上，创立直觉逻辑。进而在直觉逻辑的基础上，打开了构造性数学的新篇章——直觉数学。
从此，构造法的第一阶段——直觉数学阶段，就开始了。
2.2.2构造法——算法数学阶段
布劳威创立直觉数学的想法就是：剔除一切与集合论相关的概念，仅仅限于研究可行性的定义或者构造的对象。沿着他的思想，它必然就要舍弃很多通用的数学术语，并将很多“超数学原理”引入，这样的直觉数学就变得费解甚至读不懂。另外，直觉数学过于偏激，只要不是构造性数学，它都不接受；它拒绝一切传统逻辑，但是传统逻辑又不全是无效的。因此，绝大多数数学家对他的做法并不认同，甚至持反对意见。
布劳威理论，在数学家看来，更像古董一样稀奇，相反，倒是引起了不少逻辑学家的兴趣。就这样，几种构造性倾向应运而生了，它们没有直觉数学那么偏激极端，它们把可行性的范围限定在一定的类里，而不是对一切的否认或肯定。
其中尤为引人注目的要属“算法数学”——马尔科夫和他的伙伴一起创立的。
算法数学：一切数学概念都是由构造法衍生出来的。递归函数论是它的基础，他的概念因此就有十分严格的定义。
马尔科夫理论是一种“严格又穷主义”理论：一、对象的类受它限制；二、可容许证明方式的类也受限制。此后，沙宁对他的研究做了进一步深化。在沙宁的助推下，构造法步入了算法数学阶段。
这种构造法是以递归函数论为基础的，其中很多应用了递归函数理论的术语，因此，对于外行人，理解起来是非常困难的。除此以外，它的后继者们更倾向于研究一些复杂理论以及其在计算机学上的应用，而不是研究算法数学实践本身。没有合适的框架来进行数学实践，算法数学从此沉睡，就不难理解了。
2.2.3构造法——现代构造数学阶段
比肖泊对现代分析的一个重要部分进行了重组和构建，为构造法注入了新的血液。他的课题研究面很广，其中就有涉及到泛函微积、测度论和对偶理论。其中测度论是他和钦一起构造的，是基于丹尼尔积分创立的，不仅没有了这种疑虑——在实直线上构造可数可加测度的可能性，还证明了在一定的意义下，构造的连续式是不可数的。开启了现代构造数学。
比肖泊在布劳威的基础上，他冲破布劳威思想的禁锢，舍弃递归函数。没有了形式主义的束手束脚，为他的创新留下了新的空间。与此同时，对于人们熟悉的数学术语和符号，比肖泊并没有做什么变动，他的研究也因此更容易解读。
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