关于不变子空间的思考reflectionsontheinvariantsubspace(附件)【字数：5787】
摘 要摘 要在高等代数中，线性变换的不变子空间是其重要的理论之一，不变子空间问题，在线性算子理论中是一个著名问题，到目前为止未能解决。任何元素（在该线性空间中）通过映射后新的元素然还在这个空间里，这个空间叫做这个映射下的不变子空间。 本文学习了不变子空间的性质和运算，通过对线性变换的不变子空间做进一步的研究，进而讨论不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系。对于不变子空间的直和分解进行了解，学习和运用，求解线性方程组的不变子空间分解的方法。最后，文中对相关题目的计算和证明进行了思考。关键词不变子空间，直和分解，线性变换
目录
第一章 绪论 3
1.1 代数学的发展 3
1.2 不变子空间的研究现状 3
第二章 不变子空间的相关定义及引理 5
2.1 子空间 5
2.2 子空间的交与和 5
2.3 不变子空间 6
2.4 不变子空间直和的相关概念 8
第三章 不变子空间的计算和证明的思考 9
结语 16
致 谢 17
参考文献 18
第一章 绪论
代数的发展
纵观数学发展史，它已在科学世界中拥有很多个主要分支学科。总的说来，数学中研究数的领域属于代数学的范围；研究形的部分，则属于几何学的范畴；沟通形与数并且涉及极限运算的话，则属于分析学的东西。这三大类的数学构成了数学的本体与核心。在这一中心的领域，因为数学通过数与形这两个理念，与其它科学互相渗透，从而产生了许多边缘学科和交叉学科。在此简单介绍代数学的历史发展情况。
从代数学总的问题出发，又开展成包含许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研讨的对象，也已不仅是数，矩阵，还有向量、向量空间的变换等，对于这些对象，可以进行相关的运算。尽管也叫做加法或乘法，然而关于数的基本运算定律，有时却不再保持有效。因而代数学的内容能够概括为研究带有运算的一些集合，把这样的一些集合在数学中我们称为代数系统，比如群、环、域等。高等代数是大学数学专业的主要基础课程，线性空间结构理论和线性算子理论是高等代数的核心内容。
在1859年期间 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072*
，我国数学家李善兰第一次把“algebra”翻译成“代数”。再后来华蘅芳（清代学者）和英国人傅兰雅合作翻译了英国瓦里斯著作《代数学》，书的开头有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，它的意思是：通过运用文字符号来替代数字的一种数学的方法就是代数。?
古希腊数学家丢番图用文字缩写来表示未知量，在公元250年前后丢番图写了一本数学巨著《算术》，其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程序的思想。故有“代数学之父”（Father?of?algebra）的称号。
代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人等一棒接一棒地不断向前而实现的伟大数学成就。
1.2 不变子空间的研究现状
不变子空间问题，在线性算子理论中是一个著名问题，到目前为止未能解决。任何元素（在该空间中）通过映射后新的元素然还在这个空间里，这个空间叫做这个映射下的不变子空间。不变子空间是原空间的一个子集，并且对原空间运算也为其空间并且封闭，所以我们可以在子空间上考虑原空间的相关的代数性质，而不必回到原来的空间，从而简化问题。
半个多世纪来，数学家们在这方面做除了很大的努力，虽然也获得了一些重要的成绩，但至今仍未完全解决。
不变子空间问题指的是复可分的希尔伯特空间H上的每个有界线性算子都具有非平凡不变子空间吗？问题描述起来很简单，但解决却相当困难。目前也只是部分解决了在某些特定的有界线性算子，并且对于巴拿赫空间我们已有了否定答案。
谁先提出关于不变子空间的问题我们无从考证。但从J.Von Neumann 证明了复可分无限维希尔伯特空间的每一个紧的算子都具有非平凡不变子空间，亦或是在beurling于1949年发表了他在移位算子方面所作的文章之后，算子理论学家们才渐渐对着个问题产生了兴趣，算子理论界从此便出现了关于这方向的大量文章。不变子空间的发展有着无常的历史，其中交结着期望和失望，主要可归纳为以下几个阶段。1.N.AromnszajnK.smith定理及其推广
2.Lomonosov定理及其推广
3.次正常算子，亚算子和对偶代数
4.极向量的方法
5.光滑变分原理及其应用
6.可传递算子的例子
在现代的算子理论中，取得最大成就的当属Per.enflo.他于70年代与80年代期间，举出了关于不变子空间问题反例，从负面的思路解决了该问题，开拓了这个方向的新思想。而他所引进的思想，后来B.Beauzamy对PerEnflo所举的例子进行了化简和加强，并举了一个具有超循环性质的例子。
第二章 不变子空间的相关定义及引理
2.1 子空间
定义2.1.1如果W对于V的两种运算（即加法和数乘运算）也构成域P上的线性空间，线性空间V在数域p上的一个非空子集W称为V的一个线性子空间（或简称子空间）[2]。
定义2.1.2如果在线性空间中，这样的子集合叫做零子空间，如果该集合由单个的0向量所组成的[11]。
定义2.1.3 线性空间称为平凡子空间，如果线性空间为其本身和零子空间。在齐次线性方程组中，全部解向量组成的一个子空间，叫做齐次线性方程组的解空间，不难看出，解空间的基就是要求的方程组的基础解系[2]。
2.2子空间的交与和
定理2.2.1 子空间的交1也是V的子空间，如果V1，V2是线性空间V中的两个子空间[2]。
性质2.2.2 如果V1 ,V2 是V的子空间那么它们的和V1 +V2 也是V的子空间[2]。
定义2.2.3设V1 ,V2 是线性空间V的子空间，如果和V1 +V2中每个向量的分解式是唯一的，这个和就称为直和，记为V1 V2 [2]。
性质2.2.4 如果V1 ,V2 是线性空间V的两个子空间，那么维（V1 ）+维（V2）=维（V1 +V2 ）+维（）[11]。
推论2.2.5如果n维线性空间V中两个子空间V1 ,V2 的维数大于n，那么V1 ,V2 必包含非零的公共向量[2]。
目录
第一章 绪论 3
1.1 代数学的发展 3
1.2 不变子空间的研究现状 3
第二章 不变子空间的相关定义及引理 5
2.1 子空间 5
2.2 子空间的交与和 5
2.3 不变子空间 6
2.4 不变子空间直和的相关概念 8
第三章 不变子空间的计算和证明的思考 9
结语 16
致 谢 17
参考文献 18
第一章 绪论
代数的发展
纵观数学发展史，它已在科学世界中拥有很多个主要分支学科。总的说来，数学中研究数的领域属于代数学的范围；研究形的部分，则属于几何学的范畴；沟通形与数并且涉及极限运算的话，则属于分析学的东西。这三大类的数学构成了数学的本体与核心。在这一中心的领域，因为数学通过数与形这两个理念，与其它科学互相渗透，从而产生了许多边缘学科和交叉学科。在此简单介绍代数学的历史发展情况。
从代数学总的问题出发，又开展成包含许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研讨的对象，也已不仅是数，矩阵，还有向量、向量空间的变换等，对于这些对象，可以进行相关的运算。尽管也叫做加法或乘法，然而关于数的基本运算定律，有时却不再保持有效。因而代数学的内容能够概括为研究带有运算的一些集合，把这样的一些集合在数学中我们称为代数系统，比如群、环、域等。高等代数是大学数学专业的主要基础课程，线性空间结构理论和线性算子理论是高等代数的核心内容。
在1859年期间 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072*
，我国数学家李善兰第一次把“algebra”翻译成“代数”。再后来华蘅芳（清代学者）和英国人傅兰雅合作翻译了英国瓦里斯著作《代数学》，书的开头有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，它的意思是：通过运用文字符号来替代数字的一种数学的方法就是代数。?
古希腊数学家丢番图用文字缩写来表示未知量，在公元250年前后丢番图写了一本数学巨著《算术》，其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建立方程序的思想。故有“代数学之父”（Father?of?algebra）的称号。
代数是巴比伦人、希腊人、阿拉伯人、中国人、印度人和西欧人等一棒接一棒地不断向前而实现的伟大数学成就。
1.2 不变子空间的研究现状
不变子空间问题，在线性算子理论中是一个著名问题，到目前为止未能解决。任何元素（在该空间中）通过映射后新的元素然还在这个空间里，这个空间叫做这个映射下的不变子空间。不变子空间是原空间的一个子集，并且对原空间运算也为其空间并且封闭，所以我们可以在子空间上考虑原空间的相关的代数性质，而不必回到原来的空间，从而简化问题。
半个多世纪来，数学家们在这方面做除了很大的努力，虽然也获得了一些重要的成绩，但至今仍未完全解决。
不变子空间问题指的是复可分的希尔伯特空间H上的每个有界线性算子都具有非平凡不变子空间吗？问题描述起来很简单，但解决却相当困难。目前也只是部分解决了在某些特定的有界线性算子，并且对于巴拿赫空间我们已有了否定答案。
谁先提出关于不变子空间的问题我们无从考证。但从J.Von Neumann 证明了复可分无限维希尔伯特空间的每一个紧的算子都具有非平凡不变子空间，亦或是在beurling于1949年发表了他在移位算子方面所作的文章之后，算子理论学家们才渐渐对着个问题产生了兴趣，算子理论界从此便出现了关于这方向的大量文章。不变子空间的发展有着无常的历史，其中交结着期望和失望，主要可归纳为以下几个阶段。1.N.AromnszajnK.smith定理及其推广
2.Lomonosov定理及其推广
3.次正常算子，亚算子和对偶代数
4.极向量的方法
5.光滑变分原理及其应用
6.可传递算子的例子
在现代的算子理论中，取得最大成就的当属Per.enflo.他于70年代与80年代期间，举出了关于不变子空间问题反例，从负面的思路解决了该问题，开拓了这个方向的新思想。而他所引进的思想，后来B.Beauzamy对PerEnflo所举的例子进行了化简和加强，并举了一个具有超循环性质的例子。
第二章 不变子空间的相关定义及引理
2.1 子空间
定义2.1.1如果W对于V的两种运算（即加法和数乘运算）也构成域P上的线性空间，线性空间V在数域p上的一个非空子集W称为V的一个线性子空间（或简称子空间）[2]。
定义2.1.2如果在线性空间中，这样的子集合叫做零子空间，如果该集合由单个的0向量所组成的[11]。
定义2.1.3 线性空间称为平凡子空间，如果线性空间为其本身和零子空间。在齐次线性方程组中，全部解向量组成的一个子空间，叫做齐次线性方程组的解空间，不难看出，解空间的基就是要求的方程组的基础解系[2]。
2.2子空间的交与和
定理2.2.1 子空间的交1也是V的子空间，如果V1，V2是线性空间V中的两个子空间[2]。
性质2.2.2 如果V1 ,V2 是V的子空间那么它们的和V1 +V2 也是V的子空间[2]。
定义2.2.3设V1 ,V2 是线性空间V的子空间，如果和V1 +V2中每个向量的分解式是唯一的，这个和就称为直和，记为V1 V2 [2]。
性质2.2.4 如果V1 ,V2 是线性空间V的两个子空间，那么维（V1 ）+维（V2）=维（V1 +V2 ）+维（）[11]。
推论2.2.5如果n维线性空间V中两个子空间V1 ,V2 的维数大于n，那么V1 ,V2 必包含非零的公共向量[2]。
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