积分的数值计算(附件)【字数：8083】
定积分对所有的数学初学者来说，是必须要熟练掌握的数学知识，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用。定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题.本文从定积分的定义出发，将数学中出现的定积分类型进行了总结，并给出典型例题，这样可以进一步帮助我们理解积分的概念掌握积分的计算。关键词: 牛顿科特斯公式，复化，外推，自适应
目录
第一章 绪 论 1
第二章 定积分的基本内容 2
2.1定积分的概念 2
2.2定积分概念的应用及推广 2
2.3定积分的意义 4
2.3.1几何意义 4
2.3.2物理意义 4
2.4定积分的性质 4
2.4.1定积分的基本性质 4
2.4.2积分中值定理 5
2.5数值积分概论 5
第三章 积分的计算方法 7
3.1定义法 7
3.2牛顿莱布尼茨公式 8
3.3定积分的分部积分法 9
3.4定积分的换元积分法 10
3.5牛顿－柯特斯求积公式 12
3.6复合求积公式 16
3.6.1 复合梯形公式及其误差 16
3.6.2 复合抛物线公式及其误差 17
3.6.3变步长的梯形公式 19
3.7龙贝格求积法 21
3.8高斯积分法 24
3.8.1 高斯积分公式 24
第四章 应用（数值实验） 31
结语 35
致谢 36
参考文献 37
第一章 绪 论
17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分。
本文通过举例分析定积分的几种计算方法，来体现定积分的计算.定积分的计算类型很多，要熟练地进行定积分的各种运算，就要对定积分的运算技巧不断熟悉和掌握.其实，在实际计算中 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: &351916072&
，遇到的题目不一样，用的计算方法也不一样.定义法一般不常用，计算起来比较困难，所以在解题过程中，常用的计算法法主要有以下三种：微积分基本公式，分部积分法以及换元积分法。
在上述三种方法中，最常用的是方法是微积分基本公式，其原理是通过连续把定积分转换成为不定积分再进行计算即可.但是转换成为不定积分后，有的被积函数不能直接用现成的公式计算，那么就要用不定积分的分部积分或者换元积分法求出一个原函数再代入上下限进行计算，就复杂化了.因此，如果被积函数连续且可以用公式直接求出原函数，那么就借助微积分基本公式直接进行下一步计算。假若不可以直接使用公式计算，那么为了方便计算，一般采用换元法或者分部积分法来进行计算。
第二章 定积分的基本内容
2.1定积分的概念
假设函数f(x)在闭区间[a,b]上是有界函数，将定义域[a,b]等分为无限个小区域，具体表示如下：
a=x0
对S取极限，则可以得到一个值A，则我们称A是函数在区间[a,b]上的定积分，一般记作
.
具体表达式为：
.
2.2定积分概念的应用及推广
随着时代的发展，微积分理论逐渐变得完善，并衍生出了很多新的理论，其概念也逐渐向严谨化以及逻辑化的方向发展.在定积分的概念中出现了很多新的名词，例如近似、分割、求和以及极限等，极大地丰富了积分理论.其中分割的意思就是指把积分区域[a,b]，任意划分为n个小区间,一般用,,?,,?,来表示每一个小区间，例如一般是指第i个小区间的长度,然后，在每一个小区间上任意选取一点，同时记作，接下来对此部分进行求和，假若当最大的区间长度趋于0时,上述式子的极限存在，则此极限为函数在区间[a,b]上的定积分.定积分在实际生活中有着非常广泛的应用。比如计算出曲线所构成的面积；曲面立体体积；不规则图形的面积等等。不仅如此，在一定条件下，的积分形式能够进行延伸:
(1)在一定情况下，可以将[a,b]的某一方向推广到无限区间上,例如（∞，b)，（a，+∞）等,不仅如此，还可以将积分区间延伸到无界函数领域，此时就构成了常见的广义积分。
(2)可以将区间[a,b]推广到平面坐标轴上,此时被积函数就不再是一元函数，而是二元函数,此时积分就变成了二重积分;以此类推，当把区间[a,b]推广到空间坐标轴上时,当被积函数变成了三元函数、此时积分就变为了三重积分。
(3) 可以将区间[a,b]推广到一定面积的曲面这时，积分就变为了曲面积分。
然而不管积分区域如何变化，最核心的思想就是分割极限思想,具体如下表示：
(1)分割:将积分区间任意划分为n个小区间,一般用,,?,,?,来表示每一个小区间；
(2)近似: 在每一个小区间上任意选取一点，同时记作；
(3)求和取极限: 对上述部分进行求和，假若当最大的区间长度趋于0时,上述式子的极限存在，则此极限为函数在区间[a,b]上的定积分.其实，通过积分的计算步骤可知，定积分和重积分本质上是一样的。同样的，三重积分也具有相同的性质。除此之外,定积分和不定积分之间存在这样的关系：具体可以用下面公式来表示：,这是微积分基本公式.此公式说明了函数在积分区域[a,b]上的定积分等于它的原函数在相同积分区域的增量。凭借两者之间的关系，我们又多了一种计算定积分的方法。
目录
第一章 绪 论 1
第二章 定积分的基本内容 2
2.1定积分的概念 2
2.2定积分概念的应用及推广 2
2.3定积分的意义 4
2.3.1几何意义 4
2.3.2物理意义 4
2.4定积分的性质 4
2.4.1定积分的基本性质 4
2.4.2积分中值定理 5
2.5数值积分概论 5
第三章 积分的计算方法 7
3.1定义法 7
3.2牛顿莱布尼茨公式 8
3.3定积分的分部积分法 9
3.4定积分的换元积分法 10
3.5牛顿－柯特斯求积公式 12
3.6复合求积公式 16
3.6.1 复合梯形公式及其误差 16
3.6.2 复合抛物线公式及其误差 17
3.6.3变步长的梯形公式 19
3.7龙贝格求积法 21
3.8高斯积分法 24
3.8.1 高斯积分公式 24
第四章 应用（数值实验） 31
结语 35
致谢 36
参考文献 37
第一章 绪 论
17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分。
本文通过举例分析定积分的几种计算方法，来体现定积分的计算.定积分的计算类型很多，要熟练地进行定积分的各种运算，就要对定积分的运算技巧不断熟悉和掌握.其实，在实际计算中 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: &351916072&
，遇到的题目不一样，用的计算方法也不一样.定义法一般不常用，计算起来比较困难，所以在解题过程中，常用的计算法法主要有以下三种：微积分基本公式，分部积分法以及换元积分法。
在上述三种方法中，最常用的是方法是微积分基本公式，其原理是通过连续把定积分转换成为不定积分再进行计算即可.但是转换成为不定积分后，有的被积函数不能直接用现成的公式计算，那么就要用不定积分的分部积分或者换元积分法求出一个原函数再代入上下限进行计算，就复杂化了.因此，如果被积函数连续且可以用公式直接求出原函数，那么就借助微积分基本公式直接进行下一步计算。假若不可以直接使用公式计算，那么为了方便计算，一般采用换元法或者分部积分法来进行计算。
第二章 定积分的基本内容
2.1定积分的概念
假设函数f(x)在闭区间[a,b]上是有界函数，将定义域[a,b]等分为无限个小区域，具体表示如下：
a=x0
对S取极限，则可以得到一个值A，则我们称A是函数在区间[a,b]上的定积分，一般记作
.
具体表达式为：
.
2.2定积分概念的应用及推广
随着时代的发展，微积分理论逐渐变得完善，并衍生出了很多新的理论，其概念也逐渐向严谨化以及逻辑化的方向发展.在定积分的概念中出现了很多新的名词，例如近似、分割、求和以及极限等，极大地丰富了积分理论.其中分割的意思就是指把积分区域[a,b]，任意划分为n个小区间,一般用,,?,,?,来表示每一个小区间，例如一般是指第i个小区间的长度,然后，在每一个小区间上任意选取一点，同时记作，接下来对此部分进行求和，假若当最大的区间长度趋于0时,上述式子的极限存在，则此极限为函数在区间[a,b]上的定积分.定积分在实际生活中有着非常广泛的应用。比如计算出曲线所构成的面积；曲面立体体积；不规则图形的面积等等。不仅如此，在一定条件下，的积分形式能够进行延伸:
(1)在一定情况下，可以将[a,b]的某一方向推广到无限区间上,例如（∞，b)，（a，+∞）等,不仅如此，还可以将积分区间延伸到无界函数领域，此时就构成了常见的广义积分。
(2)可以将区间[a,b]推广到平面坐标轴上,此时被积函数就不再是一元函数，而是二元函数,此时积分就变成了二重积分;以此类推，当把区间[a,b]推广到空间坐标轴上时,当被积函数变成了三元函数、此时积分就变为了三重积分。
(3) 可以将区间[a,b]推广到一定面积的曲面这时，积分就变为了曲面积分。
然而不管积分区域如何变化，最核心的思想就是分割极限思想,具体如下表示：
(1)分割:将积分区间任意划分为n个小区间,一般用,,?,,?,来表示每一个小区间；
(2)近似: 在每一个小区间上任意选取一点，同时记作；
(3)求和取极限: 对上述部分进行求和，假若当最大的区间长度趋于0时,上述式子的极限存在，则此极限为函数在区间[a,b]上的定积分.其实，通过积分的计算步骤可知，定积分和重积分本质上是一样的。同样的，三重积分也具有相同的性质。除此之外,定积分和不定积分之间存在这样的关系：具体可以用下面公式来表示：,这是微积分基本公式.此公式说明了函数在积分区域[a,b]上的定积分等于它的原函数在相同积分区域的增量。凭借两者之间的关系，我们又多了一种计算定积分的方法。
版权保护: 本文由 hbsrm.com编辑，转载请保留链接: www.hbsrm.com/jsj/sxtj/202.html
