数形结合在小学分数教学中应用的研究
数形结合在小学分数教学中应用的研究[20191217130506]
摘要：由于小学生主要处于具体运算阶段，其思维的类型主要是由形象思维向抽象逻辑思维过渡。因此，对于抽象的数学问题，离开具体实物而仅仅依靠抽象逻辑思维学生往往并不能很好解答。本研究发现，在分数教学中，小学生因受语言理解能力的影响，离开了数学问题的图像表征，仅仅依靠符号表征，使得他们在理解数学问题时很难理解到位。他们往往只依靠某些简单的关键词理解和解决问题，而这并不能帮助他们完全理解并有效解决抽象的数学问题。因此，在小学数学分数教学过程中，教师应理解与重视小学生的认知特点，特别强调将抽象的符号表征的数学表达模式与形象具体的图象表征模式相结合，将数形结合思想与方法作为有效促进小学生分数学习的重要方法之一，将抽象问题转化为形象问题，能更加生动地引起小学生对分数这类抽象数学问题的浓烈兴趣与爱好，还原抽象数学的具体现实意义，真正提升分数教学的效果。
关 键 词：数形结合 小学数学 分数教学
Study on?the?Application?of?Symbolic-graphic?Combination?
in?Primary?Fractions?Instruction
Abstract: The pupils are mainly in the concrete operational stage whose thinking types are in the transition period from imaginal thinking to the abstract logical thinking. Therefore, for the abstract mathematical problems, they cannot be fully competent if they rely solely on abstract logical thinking without using imaginal thinking. Since the limitation of pupils’ language comprehension skills, meanwhile, it is difficult for them to fully understand the mathematical problems only depending on symbolic representations but ignoring pictorial representations. They tend to rely on some simple words to understand or solve the problems, which cannot help them to fully understand and solve abstract mathematical problems effectively. Hence, in the teaching process of fractions in primary mathematics, teachers should understand and attach importance to cognitive features of students with special emphasis on the combination of abstract symbolic representation mode and specific pictorial representation mode. Using the theory and method of symbolic-graphic combination as one of the significant methods to facilitate pupils’ learning of fractions as well as making use of teaching aids and learning materials to transform abstract problems into imaginal problems can even more arouse pupils’ strong interests vividly on abstract mathematical problems like fractions, exhibit the specific realistic significance of abstract mathematics and truly improve teaching effects of fractions.
一、问题的提出 1
（一）选题缘由 1
（二）研究目的与意义 2
二、国内外研究现状及分析 3
（一）国内研究 3
（二）国外研究 4
三、研究过程 5
（一）研究对象 5
（二）研究方法 5
四、数形结合思想在小学分数教学中的应用现状 6
（一）课标对数形结合的要求与建议 6
（二）教材中关于分数部分数形结合的知识表征 7
（三）教师关于数形结合的理念与态度 10
（四）课堂分数教学中“数形结合”的体现 13
（五）分数数形结合的教学效果 16
五、存在的问题 17
（一）教材处理中关于分数数形结合的体现不足 17
（二）教师关于分数数形结合的重视不够 18
（三）数形结合的效果亟待提高 19
六、对策与建议 20
（一）教材：尊重儿童认知规律，呈现多样化知识表征 20
（二）教师：正确理解数形结合教学意义，重视学生数形结合能力的培养 20
（三）学生：加强应用，养成数形结合的习惯 21
参考文献 23
附 录 24
致 谢 28
一、问题的提出
（一）选题缘由
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。《义务教育数学课程标准》在前言中也明确提出“数学是研究数量关系和空间形式的科学”，这两者并不是相互独立和割裂的，而是一个紧密联系、彼此交融的有机整体。于是“数形结合”作为一种数学思想就此应运而生。
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既表达其代数意义，又分析几何直观，使数量关系的精确性与空间形式的直观性精妙、融洽地结合在一起。充分利用两者结合的优势，寻找解题的思路，使复杂问题简单化和清晰化，从而帮助思维，最终使问题得到解决。简而言之，数形结合就是在研究问题时把数和形结合考虑：考虑数量问题时，把数量关系转化为图形表述，考虑其形的空间状态；在研究图形时又把图形表述转化为物体间的数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具象化。
“数形结合”是贯穿中小学数学教学始终的基本思想方法之一，很早便引起专家学者与一线教师的关注。“数”与“形”可以认为是数学知识的表征形式，对“数”的理解可泛化为：数学文字表征，即数字、文字、式子、数学概念、数学结构、数学性质、数学定理等概念和命题；相应地，“形”也泛化为：图形表征，即实物、图像、图形、符号等。华罗庚对数形结合方法做过这样的概括：数与形，本是相倚依，焉能分作两边分；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！由此也说明学生可以通过图形作为工具来帮助他们解决实际数学问题，数形结合的思想在数学教学中有着至关重要的地位。
在小学中，数形结合的“数与代数”部分主要运用则是“由数想形”，把形作为一种辅助，把数的图形表征作为一种工具来帮助他们理解概念、算理，从而更形象化地解决实际数学问题。就分数教学而言，分数本身作为一种符号表征，由分子、分母和分数线所组成。这些对于抽象思维发展成熟的成年人来说并不难理解，但对于小学生来说，由于他们主要处于具体运算阶段，抽象思维的发展尚不成熟，所以对符号表征的理解仍有一定的困难。所以我们发现小学数学教材的分数部分和小学分数教学课堂中往往会穿插大量的实物、图像等，帮助学生借助图像充分理解概念，利用图像表征使学生更好的理解“分数”的符号表征，其内容贯穿小学三年级到六年级的数学教学中。见表1。
小学分数知识在苏教版教材中的具体教学内容包括如下：
三年级上册 《认识分数》（把一个物体平均分）
三年级下册 《认识分数》（多个物体组成的一个整体平均分）
《分数加减法》（同分母分数加减法）
五年级下册 《认识分数》（单位1的平均分）
《分数的基本性质》
《分数加法和减法》（异分母分数加减法）
六年级上册 《分数乘法》
《分数除法》
《分数四则混合运算》
表 1
在以上分数教学中，图像表征的运用对于分数这样一个符号表征的理解来说是否充分、是否合理、是否能发挥预期的效果，将直接决定小学生分数部分的学习效果， 基于此 ，探究“数形结合”在小学分数教学中的应用不仅必要，而且极为重要。
（二）研究目的与意义
此次研究的目的在于更好的了解当前小学数学教学中“数形结合”思想在分数教学中的实际操作和应用情况。并根据调查分析的实际情况进行相应分析和反思，提出有效的建议和对策，从而使教师提高数学课堂教学质量和效果，使学生能够更好的理解和内化分数部分知识。
研究分数教学中数形结合的应用现状对于小学数学分数教学具有极为重大的现实意义：
首先，对教师来说，进行相关研究可以敦促教师重视“数形结合”思想；引导教师在课堂教学中合理运用相关实例，优化教师对于教学材料的处理；便于学生更好的理解有关教学内容；扭转个别教师因缺乏相应理念的行为。
其次，对教材编定者来说，进行数形结合相关研究可以对小学数学教材的优化和完善提出相应建议，从而使得教师能更好的利用教材进行课堂教学，并且也使得编写者的编写思路更为清晰更好的便于大众理解。
此外，对学生而言，进行数形结合相关研究可以为学生解决问题提供和寻找途径，可以帮助学生思维能力的提高，可以使学生的数学知识结构不断拓展和完善，可以帮助学生形成和谐完整的数学概念认知。此外，还能在数学美的追求等方面让学生有更深的体会和感悟。
二、国内外研究现状及分析
（一）国内研究
算盘是一个具有悠久历史的计数工具，同时也是一个广义的“数形结合”的实物，是古代勤劳中国人善于思考和创造的最好例证。算盘的使用有效将复杂的算术问题图形化、形象化。但此类数形结合的意识仅出现在人们的头脑和实际生活劳作中，并无专门著作对此记载。
近些年，国内有关“数形结合"的研究也非常多。主要有以下三类：第一类是对数形结合其知识表征和思维模式的作用机制研究；此外还有更贴近中小学学科教育的现状分析和对提高教学效果和学生能力的作用研究；第三类是以具体教学实录和课堂片段为典型案例的教学设计的分析探讨。
对数形结合其知识表征和思维模式的作用机制中，罗新兵发表了《数形结合的解题研究：表征的视角》一文从以数形结合的表征方式为视角，从图形表征和符号表征在解决代数与几何问题中的建构与作用出发，研究了图形表征的不同具体类型对解题的不同影响，同时也归纳出数形结合在思维品质、信息产生、信息结合、信息加工方式等方面的具体特点。沈超发表的《数形结合，从“方法”到“思想”的飞跃》从教学论的角度对“数形结合”作为一种数学方法和数学思想的具体表现形式和形成途径进行分析。
而在现状分析和数形结合作用分析方面，汪渭芳的《“数形结合天地宽”——数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用》一文则归纳描述了数形结合在应用中的三种常见类型：①以“形”思“数”，帮助学生建立数感；②以“数”想“形”，培养学生空间观念；③“数”“形”互译，提升学生思维能力。郑大明发表了《数形结合的迷失与崛起一小学生数形结合能力调查研究活动掠影》一文提出的四条教学建议：①数与形有机结合，重视由数到形的教学；②循序渐进，把好数形结合的“度” ；③多样化呈现，加大从图形中获取信息解决问题能力的培养；③教师自身要提高数形结合的能力。丁杭缨的《给学生一个立体的“教学”——例谈“数形结合” 》一文中，用分析教学片段的形式讲述了“数形结合”在小学数学课堂教学中的具体应用。将数形结合分为四个纬度进行讨论：①数形分工：数与形分别以不同的方式存在于各自领域，但又因为其存在方式的不同得以互补；②数形对应：“数”与“形”虽是两个不同系统，但“数”系统中某一项的组成要素和“形”系统中某一项的要素在某种意义上有着一一对应的关系；③数形联系：在数与形独立、对应的基础上，互相关联、互相作用、互相影响，使学生的理解更为深刻，能更全面地提示知识的本质；④数形变换：通过数与形之间的变化、联系及自然的转化让学生体会到形的背后是数的支撑，数与形互相制约、互相影响。
王海鹞在《关于小学数学课堂中数形结合教学的调查研究》中以所制定的调查问卷结果分析了小学生对数形结合的认识与应用数形结合的能力现状，并通过问卷分析出教材和教师层面所存在的现实问题。进而提出相应的思考和建议，如建议教师更为重视数与形的有机结合；重视教学中的由数到形；提高教师自身的数形结合能力；注重对学生数形结合学习方式的应用指导等等。王彦伟的《数形结合思想在小学数学教学中的应用》一文从小学教师对数形结合含义和具体课堂中的表现为调查点，以发放和分析问卷为形式，从问卷的结果分析得出：数形结合的思想方法还没有真正地落实到小学数学教学中，老师们的重视程度远远不够，数学思想方法的教学也并不符合课标的具体要求；部分教师仍过分重视知识的死板传授和大量习题训练的题海战术，而忽视一些重要的数学思想的传授，或是将其理解为数学中较简单常见和普通内容，从而一带而过。
第三类也有大量的文献资料，如罗松明的《数形结合在小学数学教学中的应用研究》从对数形结合思想的认识、现实意义、在小学课堂中的具体应用为主线，从一位普通的小学教师的视角谈了对数形结合的理念和思考。
（二）国外研究
具有唯物主义倾向的笛卡儿以数标点的想法提出了了利用代数知识解决几何问题的思想，同时代的费尔码也思考了同样的问题，从而形成了一套数形结合的数学方法。某种意义上来说，由此建立的“解析几何”就是一部“几何—代数”的翻译词典。这种思想的产生不但使几何产生了全新形态，而且还促进了函数、集合、变量等数学思想的形成与完善。
1628年，笛卡尔发表《指导思维的规则》一书中他开始意识到为了使“数”“形”同质必须引进“单位数”，从而用代数把握几何的思想。而这一想法对当时的数学界产生了深远的影响，在代数和几何之间的鸿沟中架起了一座桥梁，为代数与几何的统一与不断发展奠定了重要基础。
德雷福斯和伊诗贝格在1982的一项研究中对440个6至9年级学生的“函数概念的直观基础”进行了调查分析，发放的问卷包括函数的具体和抽象情境下的原象、增长优选法、极值等问题。其研究表明：能力强的学生喜欢从图象分析和解决问题，能力弱的更喜欢从表格数据来分析。也通过调查得出原因可能是能力弱的学生从图形表征中获取关键信息的能力较弱，而从表格中则找出关键信息则相对更为容易。
此外，诺瓦克的研究表明，学生通过对“数形结合”实际运用能够更为深刻的理解不同概念之间的区别和联系，因为这同时也是将不同概念进行重新梳理、分类，从而产生新的认知，拓宽原有知识范围的这个过程。而这恰恰能使学生的创造性和创新性思维大大发挥作用。与此类似的，科维也指出“数形结合”在教学中的应用还是一个具有创造性的过程，学生必须努力通过确定重要概念和它们之间的关系来阐明意义，而这个过程正可以检测学生对知识的理解和掌握程度。
三、研究过程
（一）研究对象
本次研究选取苏州市C小学和S小学三、五、六年级各2个班作为研究对象。对S小学的六年级两个平行班的学生（共计98人）进行了问卷调查，对S小学和C小学的三、五、六年级大部分数学老师进行了教师问卷调查（共计18人）和个别访谈。
（二）研究方法
1.文献法。广泛收集和查阅国内外相关研究资料。旨在对数形结合内容进行更细致的了解与分析，并对相关文献资料进行梳理，以方便参考和使用。
2.访谈法。在本次调查中，通过与小学数学教师进行相关内容交谈获得相应资料，这样既保证资料的真实性，从而给调查提供更加充分的材料依据。
3.观察法。在此次调查中，研究者对相应教学内容进课堂旁听，实地观察教师在教授相应内容时所采取的教学材料、教学方法和教学手段等，同时，将观察学生在教师进行此种教学方法下的新知识接受情况，以及课后练习题的完成的正确率。
4.问卷法。研究者就教师对数形结合在小学数学分数教学中应用的具体情况拟以问卷，发放给C小学和S小学的数学老师，因有部分数学老师只负责低年级段的教学工作，不涉及分数部分内容的教学，故未对其发放，最后回收教师有效问卷18份。教师的问卷内容主要围绕小学分数教学中渗透分数教学的必要性和教师在实际教学中的实施情况，此外问卷还截取了两个典型的小题目，研究教师的教学指导倾向性。
四、数形结合思想在小学分数教学中的应用现状
（一）课标对数形结合的要求与建议
数学课程标准（以下简称 “新课标”）作为一个指导数学教材编订和数学课堂教学工作的权威文件，其理念和指导要求对教师的教学方式和课堂教学效果起到了尤为重要的作用。
数学课程标准在前言中首先提到了“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”从这一表述中我们不难提取出“数”与“形”两大知识的表征。当然“数”“形”两大块内容也不是相互割裂的，我们可以发现其实在很多方面他们都是相互关联，相互融合的。正如 在课标的“课程基本理念”部分中提到的：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。”以分数为例，对于刚刚接触分数概念的三年级小学生来说，一开始很难从字面来理解分数的含义，无法理解本来就是原有认知中最小的数“1”中还要进行分割，变为“1”的几分之几，更别提把几个物体看成“单位1”这样一个更为复杂的概念了。所以我们在此时有必要引入离学生生活实际更为紧密的“形”。初学时，老师往往会用“分大饼”或者是“折纸片”这样的活动来帮助学生理解平均分成若干份后的一份或者几份占整张饼或者整张纸片（即单位1）的几分之几这一新知识。而这正是新课标中所提到的“要重视直观，处理好直观和抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验和间接经验之间的关系”。
因此，把分数这样一个原来抽象的概念，变成直观的、学生所熟悉的分大饼，将概念清晰地呈现在学生面前，这样的活动既符合学生的认知特点，又体现了课标中所强调的“使学生体验从实际背景中抽象出数学问题，构建数学模型的过程”。也符合所崇尚的课堂教学三维目标中“过程与方法”这一维度的要求，不仅知其然，而且知其所以然。
同时，课程标准在不同的学段要求中对数形结合也有着不同程度的要求。例如，在第二学段（4-6年级）的“数学思考”方面的要求中，就明确写着“初步形成数感，感受符号和几何直观的作用。”要求学生在出现“数”时能够想到“形”，而出现“形”时则反之想到“数”。而这种数学思考方法同时也是课程标准在“问题解决”方面的目标要求——“能探索、分析解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。”
此外，在数学课程标准的第四部分“实施建议”中，也在多处文字的表述中有重视“数形结合”的意味。新课标认为，教师要注重学生对基础知识、基本技能的理解，体会数学知识之间的关联。掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础。教师应重视数学知识与学生的生活经验的联系、与学生学科知识之间的联系，引导学生进行观察、分析，抽象概括，运用知识进行判断。教师还应揭示知识的数学实质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系。
（二）教材中关于分数部分数形结合的知识表征
数形结合思想在小学数学教材的四个领域都有渗透，“数与代数”中的在分数教学部分也不例外。通过对教材的分析，能够帮助教师更深入的了解教材，挖掘更深层的思想，创造性的展开教学。以下将从分数部分结合的总体情况及各年级的具体情况分别加以分析：
1.总体情况
研究者通过对教材分数部分教学内容进行分析，发现结合分数的符号表征使用到的图像表征方式主要有以下几种：
（1）实物图。如三年级上册《认识分数》一课中，用于体现“平均分”的蛋糕一图（如图表2）。又如练习题中用以学生表示每个版块内容占整个黑板报的几分之一的“黑板报版面”（如图表3）。
图表 2 图表 3
（2）简笔画、剪贴画。如三年级下册《认识分数》一课中用以看成一个整体后平均分的桃子，又或是花朵、兔子、萝卜、灯笼等易引起学生兴趣的图片(如图表4)。而练习题中此类图也时常出现，特别是在三、五年级的教材中。
图表 4
（3）圆片、三角、正方体等学生易于圈出、分割或涂色的几何图形（如图表5）。此类几何图形的出现频率相比前两类更高。既可以将具体实物抽象化，但又能帮助学生理解，以免凭空思考。
图表 5
（4）长纸条、绸缎（彩带）等。（如图表6）通常出现的作用是让学生其中的某一部分或几部分涂色，从而理解某一部分占整体的几分之几的概念。
图表 6
（5）数轴、直尺、树状图、条形图等。（如图表7）此种出现方式相较之前几种，具有了一定的数学思维和数学涵义。往往高年级出现较多，多出现在练习题中，给学生一个具体的数，学生在数轴中找出相应的点的位置。而条形图的出现往往伴随着相对复杂的应用题（中低年级称解决问题），目的主要是帮助学生理清各个数之间的关系或是量的大小。
图表 7
此外，就苏教版教材分数部分内容各个表征方式的出现频率，研究者做了一个统计。在此以表格方式呈现。
苏教版教材分数部分各内容表征方式统计表
教材 内容 新授例题部分表征方式 练习题部分表征方式
含实物图、简笔画 含折纸、彩带、数轴 含几何图形、涂色 仅文字、数字 含实物图、简笔画 含纸条、绸缎、数轴、树状图 含几何图形涂色、折纸 仅文字、数字
三年级上册 《认识分数》 （把一个物体平均分） 1 3 - 0 3 1 7 0
《分数加减法》 （同分母分数加减法） 1 - - 0 - - 1 4
三年级下册 《认识分数》（多个物体组成一个整体平均分） 3 - 2 0 9 3 6 10
五年级下册 《认识分数》 （单位1的平均分） - 3 5 4 2 4 7 30
《分数的基本性质》 - - 4 1 - 1 3 25
《分数加法和减法》 （异分母分数加减法） - - 1 2 - 1 1 17
六年级上册 《分数乘法》 1 3 2 4 - 2 4 38
《分数除法》 3 1 5 - 1 1 34
《分数四则混合运算》 1 2 0 - - - 32
注：新授部分包括例题和例题后面的试一试；练习题部分包括想想做做（高年级称为练习），而整理和复习部分并未统计在内。仅有图片增加文本可读性而非为学生提供数形结合也不算在其中。
图表 8
从以上统计表我们不难看出，通过图像方式运用数形结合的比例还是很高的，有时甚至还会出现多种表征方式。有较为直观的实物图和简笔画等表述具体实物的，还有稍微抽象的纸条、几何图形等，既让学生明白它所表示的是一个具体的物体，但又从实物中进一步抽象化。当然，也有些例题和练习题并未用到图像，而是直接以数字的方式进行呈现，也考验了学生的形象思维能力和具体运算能力。
且从不同课时性质来看，在相对靠理解的课时（如认识分数、分数的基本性质等）中，数形结合的出现频率较高，而在学习计算方法、培养计算能力的课时（如分数乘除法、分数混合运算）中，出现的频率较低。此外，在新授课中数形结合出现的频率较高，而在练习课中出现的频率相对较低，大多是一开始为了唤起学生对旧知的记忆，会出现一些图示，帮助学生再现旧知，而在此之后，大多则均是文字、数字直接呈现的练习题。
2.各年级具体情况：
从以上表格中，我们也不难看出各年级之间的差异：
三年级教材中出现数形结合的比例最高，这一方面由三年级学生的认知和思维的特点所决定。此外，从图像表征的方式来说，以实物图或简笔画出现的频率最高，这一方面可以帮助学生用生活中出现的事物理解数学概念和数学思维，另外一方面也可以提高学生的兴趣，提高数学课堂的趣味性。
五年级教材中，图像表征出现的频率也十分高，但是相较于三年级教材中，已经有一部分例题和练习题以完全数字出示的方式所呈现了，但这些大多是出现在第二、三课时中，第一课时仍旧是以图像表征出现。此外，实物图和简笔画出现的频率较三年级时大大降低。此时的数形结合，大多是以相对抽象的几何图形（如小圆、三角形、正方体等）出现，用数形结合的方式，帮助学生理解相对抽象的原理。而在练习题中，由于在此之前有了一定的概念理解，所以在练习题中数形结合的出现频率也降低很多，除了个别应用题难度较大，会出现示意图帮助学生理解。
而六年级教材中则与之前区别较大，除了相应知识的概念理解会出现少量的数形结合的图帮助理解外，大多以文字直接出现的形式出示。当然，分数乘除法一开始的方法讲解部分仍有折纸、涂色等活动，但当学生理解其原理后，例题就很少出现图。体现教材由扶到放的过程。
（三）教师关于数形结合的理念与态度
以上新课标中关于数形结合的指导思想以及教材中关于数形结合的知识表征，为小学阶段分数的数形结合教学提供了必要的理论基础及极为可行的实施路径，然而最终分数教学中数形结合实施效果，在很大程度上却取决于教师关于数形结合的相关教育理念。
1.对数形结合必要性的理解
调查问卷的结果中，就教师关于分数教学中数形结合必要的理解来看，几乎所有老师都认为在分数部分教学中渗透数形结合思想是有必要的，从个别访谈中我们也能得出相应的结论。教师们大多都认为分数这样一个符号表征，对于中低年级的小学生来说较难理解，小学生对它的理解也仅停留在字面，所以更需要有相应的画面来“以形助数”帮助理解。但是从实际情况来看，只有20%不到的老师非常重视在教学设计中数形结合思想的渗透，而非常重视与重视两项加起来的也只有78%左右，还有超过20%的老师对此不够重视。具体见下表：
教师对分数部分数形结合思想重视程度统计表
非常重视 重视 一般 偶尔 没有
22% 56% 22% 0% 0%
图表 9
此外，从数形结合思想的运用范围来看，教师在教学中对“数形结合”运用范围也是不断拓宽。这是由于新课改的不断深入，教师逐渐意识到数形结合思想的作用及重要性，了解到这种方法更符合小学生的思维特点。实际操作中，有将近72.22%的老师会在自己的教学和备课中较多的进行数形结合思想的渗透和设计。但是仍有不少老师对于数形结合在课堂中的呈现和运用不以为然。
2.对不同内容中数形结合的作用的理解
而问及在哪一类型的课中，数形结合对学生的辅助作用更大，几乎所有老师都选择了“数与代数”和“空间与几何”两大部分。这主要是因为不同区块知识的呈现和表达方式的不同而决定的。就“空间和几何”部分知识而言，知识主要都是以图像表征为载体，通过图来说明概念说清定义，所以在此方面数形结合的大量运用并不难理解，并且这对学生知识理解的辅助功能也不小。而在数与代数部分，由于知识主要是以数字、字母、数学符号等简单易写的符号表征为载体，有时候学生并不能直观的理解和掌握相应知识，所以也会时常用到图像表征，帮助学生将数与其相对于的形结合起来，形成完整的思维，更好的理解符号表征。就分数部分知识而言，数形结合的使用能帮助学生更直观的理解分数这样一个较为抽象的概念，同时具有可操作性和直观性。
3.对数形结合的呈现方式的理解
从教师对数形结合的呈现方式来说，研究者提供了黑板画图、图片出示、投影、多媒体课件和实物展示等选项，老师的普遍反映为黑板画图和多媒体课件和实物展示更具有可操作性。而从能否帮助学生的理解掌握的角度来说，黑板画图、投影和多媒体课件等方式相较其他更加有效果。而在实际的教学中，多媒体的使用也为教师课堂组织和展示提供了极大的便利，因此利用率较高。
此外在个别访谈中，问及此问题，老师们说他们会在上课初期创设相应情境，让学生多动手，利用小棒、纸片等物体自己探索。而高年级的同学则更多用画出相应线段图、折纸片等方式将题意形象化、直观化。
就分数教学的课堂呈现方式来说，黑板画图、图片和课件出示显然更具有可操作性。在分数教学的课堂中，我们很多时候都会看到老师要求学生折纸，将规则图形的纸片对折或者是平均分成多少份，并且在其中的某几份中打上阴影。这样既可以让学生经历解决问题的过程，又通过主观的操作更加理解其数学意义。黑板上作图同时也具有以上优点，除此以外，老师的规范作图也能为学生起到良好的示范作用，帮助学生培养作图能力。
4.对数形结合倾向与态度
就教师数形结合倾向性来说，根据问卷调查反馈的信息，有超过三分之二的教师在平时教学中就提倡和强调学生运用画图等方式来解决问题，使其成为一种解决问题的方法和一种数学思想，而并非在碰到问题是才会运用。
然而，在真实的问题情景中，却发现不少教师关于数形结合有着不同的倾向性。如在下列题目中，发现教师关于数形结合的实际倾向并不像他们所说的那么明显：
题目1:
“在一个空量杯中倒入600克水，占到这个杯子的 ，如果把这个杯子倒满，还要倒入多少克水？”您会指导学生__________
A主张设X求方程 B先理解题目中各数的数量关系 C先画出符合题意的图 D动手实际操作 E其他_________
就教师的选择情况来看，其中有72.22%的老师会选择让学生想理解题目中各数的数量关系，然后再列式求解；而选择让学生先画出符合题意的图的只有3人，仅占16.67%（如下图）。而就其效果而言，有相应的示意图比没有图而言，学生答题的正确率会提高很多（这在之后学生调查问卷的结果中也会分析）。具体情况如下表所示：
教师具体例题教学指导倾向性统计表（1）
主张设X求方程 先理解题目中各数的数量关系 先画出符合题意的图 动手实际操作 其他
11.11% 72．22% 16.67% 0% 0%
图表 10
题目2:
“一篓苹果分给甲、乙、丙三人，甲分的全部苹果的 加5个苹果，乙分的全部苹果的 加7个苹果，丙分的其余苹果的 ，最后剩下的苹果正好等于一篓苹果的 ，这篓苹果有多少个？”您会指导学生_______
A先梳理各数之间的数量关系 B先画线段图表达数量关系 C设X求方程 D其他____
这是一道相对复杂步骤较多的分数加法题，对学生难度较大。从问卷结果来看，有4人仍旧认为应该先梳理各数之间的数量关系，而有11人则认为应该先画出线段图表达数量关系，这个数字较之前一题有了大幅提高，占到了将近三分之二。此外，还有3人认为此题可以设X列方程进行计算。数据如表所示：
教师具体例题教学指导倾向性统计表（2）
先梳理各数之间的数量关系 先画线段图表达数量关系 设X求方程 其他
11% 72% 17% 0%
图表 11
就本题来看，可以看出大多数老师碰到相对较难的题目时，仍倾向于先画出相应的图表达各个量，再进行计算，这样可以使原本抽象的各个量清晰化，帮助学生的理解进而解答。当然，有些题设X解方程也不失为一个好办法，能够轻松的解决难题。
以上两题分析结果来说，教师的画图意识还是不够的，这与之前他们关于数形结合的必要性的理解在比例上有一定的落差。由此我们可以看出，学生在老师数形结合上的倾向性和习惯性与他们的自我认识间还是有一定差距的。
（四）课堂分数教学中“数形结合”的体现
众所周知，数形结合作为一种常见的数学思想，在教师的新授、学生的解题、课后的复习归纳中都有着十分重要的作用。以下，研究者就分别以课时的进程为轴线，就一些典型的教学设计或配套的教师用书所提供的教学设计为范本，研究数形结合在数学课堂中的作用及意义。
1.新授课：掌握知识，理解算理。
我们知道，学生在初接触一个新事物时往往会因其与自己的生活有一定的距离而较难理解；在数学学习中，学生碰到之前未接触过的知识时也会有畏难情绪。此时，老师需要做的就是把新知糅合在学生能够理解的、与生活实际较为相关的事物中，使学生将新知同化；或是让学生动手操作，在实践中找到解决问题的策略。
以苏教版五年级下册《异分母分数加减法》一课为例：例题以在一块长方形试验田里种蔬菜为素材，引导学生根据要解决的问题列出一道异分母分数相加的算式并解答。选择这样的素材，有利于学生通过画图或折纸等方法理解实际问题中的数量关系，进而想到计算时需要把异分母分数转化成同分母分数。引导学生通过操作，思考和交流，联系已有的知识和经验自主探索计算方法，初步掌握异分母分数的加法计算。
教学片段1：
1.故事导入
同学们，先请大家看一个动画片（老师结合画面配音给学生讲解）
故事过程略（大意为孙悟空和八戒偷吃西瓜。）教师引误，引起学生兴趣。
2.小组协作，探究新知
下面我们用长方形纸代替西瓜，请大家折一折，画一画，做给八戒看看，异分母分数到底应该怎样进行计算。
学生动手操作：
（1）在纸上折出 和 ，并用水彩笔标出。
在实物展示台上展示学生的作品。
选择比较典型的，贴在黑板上，当作教具。
（2）谁能把涂有 和 这两张长方形纸折叠成折叠成同样多的份数呢？看看它们各占这张纸的几分之几？（小组分工，继续折叠）
实物展示台上出现第二组图形
（3）折叠之后，你有什么发现？
生1：我发现原来的 变成了 ，也就是2个 ，另一张纸仍是 。
师：现在它们能相加吗？为什么？
生2：现在这两个分数可以相加了。因为它们的分母相同了，也就是它们的分数单位一样了，所以可以直接相加了。
师：噢！同学们通过动手折叠，把分母分别是4和8的分数变成了分母是……(8)的分数，分母相同了，也就是……（生：分数单位）相同了，当分数单位相同了，这两个分数就可以直接……（生：相加了）。
师：请大家回想一下，刚才我们大家折叠的过程，实际上就是我们前面学过的什么？（通分）小组讨论一下。
师：通分的关键是什么？
生1：先要找出这两个分母的最小公倍数，再用这个最小公倍数作公分母。
生2：根据分数的基本性质，把这两个分数化成和原来分数相等，用公分母作分母的分数。
师：说的非常好!现在你能一眼看出这两个分数相加的结果是多少了吗？
生3：能，2个 加上1个 ，就是3个 ，等于 。
（4）归纳整理（略，整理后板书示范）
从这份教学实录来看，教师把分数放在一个具体的故事中，摇身一变成了“西瓜的几分之一”。这样，一个抽象化的数字就在学生脑海中具象成为了一个实际的事物，而两个实际的事物合在一起，远比两个抽象的数字相加学生更能理解。进而又把“西瓜的几分之一”变为学生手中的纸片，发挥学生的主动性，让学生自己折一折、涂一涂，让学生在实际的操作中理解算理。此部分也为本课的一个重点。学生在经历自己折、自己涂的过程之后，进而老师引导学生边不难说出其中的算理，理解两个异分母分数相加，其中所需要用到的“通分”步骤。之后再进行具体数的加减练习进行巩固，学生便能在理解算理、经历体验后真正掌握算法。这中间数形结合的使用将学生此前未接触的抽象数学相加算理进而转变为纸片中各涂色部分的组合，更加直观为学生所理解。以西瓜和纸片为载体的数形结合，也将原来脱离生活实际的数学知识又带回到生活中来。
2.授课后巩固与课后练习题：加深印象，巩固双基。
在数学课堂教学中，新授部分内容教师往往会设计多个学生实践活动，用实物图或者实物等方式让学生真正做到数形结合。而在例题后的巩固中，我们也往往用到数形结合的表征。
教学片段2：
（播放视频：多美滋1+1奶粉广告——东东把一块蛋糕平均分成四份，一看来了八人，如何分？刚解决这个问题后，又来了第九个人。）
看广告让你能联想到几分之一？
生：能想到1/4
师：从哪个画面中联想到1/4？
生：第一幅画面，蛋糕平均分成四份，每人吃到一份
生：能想到1/8
师：从哪个面画中联想到的1/8？
生：第三、四画面把一个蛋糕平均分成8份，每人吃到一份
生：能想到1/2
师：这里的1/2是整个蛋糕的1/2吗？
生：不是，是小男孩手上蛋糕的1/2
生：1/9
师：如果开始就有9个人，平均分成9份，每人就得到这块蛋糕的1/9。
师：生活中不缺少分数，只缺少发现分数的眼睛。
师：冬冬分了1/2，他收获了什么？
生：收获了友谊。
师：在蛋糕和友谊之间，哪个重要？
生：友谊。
以上教学片段是Z老师在一次展示课中的实录片段，所授内容为苏教版数学三年级下册的《认识分数》。本堂课的重点之一是使学生理解“平均分”、弄清楚“谁是谁的几分之一”等概念。而此前的教学中，学生已经大致理解了平均分，同时也通过了折纸、看视频等活动经历的自己动手的过程。此时，教学设计中再次出现切蛋糕，既是对学生掌握程度的一次检验，同时也有所拓展，而最后出现的情感态度价值观的渗透也是本堂课的一个亮点。
从这个教学片段中，Z老师的教学智慧，把课堂和我们平时看电视时出现的广告紧密的结合在了一起。从生活中发现问题，解决问题，也帮助学生能够更加深刻的理解本堂课的重点，突破难点于无形之中。而从数学课堂渗透德育知识，也是Z老师高明之处，从生活中发现素材，渗透知识，将课堂放回生活中，既学习知识，又使学生了解分享的快乐，渗透德育。
在此部分片段中，我们看得出Z老师又一次强调了“平均分”的概念，同时也强化了“八分之一”、“二分之一”的实际意义还辨析了“九分之一”的正误，再次强调出现几分之一的前提是所有部分“平均分”。所以，我们不难发现在巩固部分再次出现“数形结合”既是巩固提高，同时也是一个渗透升华的过程。
此外，通过对教材的研究，研究者发现在练习题中出现数形结合往往有一下两种原因：
（1）测试基本概念的掌握，如给出一张几何图形，里面平均分成几个部分，学生写出涂色部分占全部的几分之几，或反之，给出分数，学生在图中涂色。
（2）较难应用题的提醒，给学生台阶，帮助学生理解各个量之间的关系，帮助学生解答。
（五）分数数形结合的教学效果
前面提到数形结合的作用和老师对于数形结合的重视程度，但是最后落到实处的还是得看学生的掌握和应用程度。对此，研究者对C小学的两个平行班98名同学进行了问卷调查。值得一提的是两个班同学所填写的问卷只有一题略有不同， A班的问卷该应用题有简要的实物图（即数形结合组，下简称A组），为对照组；而B班则只有文字（即有数无图组，下简称B组）。
如图：在一个空量杯中倒入水600克，倒入的水占这个杯子的 ，如果把这个杯子倒满，还要倒入水多少克？
要求：你能用几种方法解决上面的问题，请分别写出来。(请你尽量可能写的详细一些，让老师能看懂你是怎样想的。)
从这题中，我们通过对比发现，A组（即有数形结合的问题情境）有36名同学能正确解题，并且大多数同学的解法都在两种以上，更有个别学生写出了三、四种解法。而答错的9名同学中，经过分析发现有6人是在解答第二、三种解法时才出现了错误。说明有图的辅助对于学生解决问题、拓展思维，有不小的作用。而在B组（即有数无图组）学生的答案中，我们发现正确率大大降低，仅有13人回答正确，答对十三人中也只有四五人写出了两种以上的解法。具体正确率情况如下表：
A、B两组正确率统计表
正确人数 正确人数比例 错误人数 错误人数比例
A组 36 80% 9 20%
B组 13 31% 29 69%
图表 12
通过对错误解法的分析，研究者发现学生大多错误集中在把600g看成了量杯的容积，直接拿600乘以一减八分之三的差，另一种典型错误是学生去求了量杯的体积，而非再倒入水的量，算到了1600没有再去减去600。而以上两种错误做法，如画图解答，非常容易避免。
之前我们提到在问卷中有53.06%的同学遇到难题是会画图进行分析，这个比例看似超过一半，但是当真正出现难题时，无图组的四十几名同学中仅有3人想到了先画出符合题意的图进行分析。这说明学生画图的意识还需要增强，使这种数学方法成为一种好的习惯能够灵活使用，而这也会使他们受益终身。
五、存在的问题
（一）教材处理中关于分数数形结合的体现不足
尽管在数学课程标准中，我们发现对于学生数感、几何直观、空间观念等的发展十分重视的，非常注重数形结合思想的渗透和学生的“数”与“形”结合意识的培养。而这些这些思想在教材中的体现却远远不够。
就苏教版数学教材而言，其编写主要以知识内容的难易作为框架体系建构的梯度，“数形结合”思想方法在教材中贯穿，但并未专题介绍。因此，老师对数形结合的教学具有一定的随意性，其教学效果也主要依赖于教师的理解程度。若个别老师更重视结果，而非解题的过程则数形结合思想的渗透相对较少。有些老师在实际教学中往往更重视运算能力和逻辑能力的培养，而弱化作图等数学思想，从而导致学生的作图能力较弱，对图形直观性理解概念的学习能力不强。
此外，在苏教版教材中部分例题中所出现的实物表征离学生的生活实际有一定的距离，从而导致学生不能完全理解。或者说未能拉近与学生的距离，做到“从生活中来，到生活中去”。
如五年级下册教材中有这样一道例题：
例1：明桥小学有一块长方形试验田，其中 种黄瓜， 种番茄。种黄瓜和种番茄的面积一共占这块地的几分之几？
该例题中提到了“长方形试验田”，研究者猜测该题出现的主要目的是让学生能联想到生活中的农田，让学生对它有大概的印象从而帮助学习并且产生兴趣。但是就当下大多城市、乡镇学生而言，大多数学生在日常生活中已经看不到农田了，所以在学生的脑海中并没有一个直观的表象。研究者就此专门做了一个小调查，被试五六年级的同学大多数表示仅在出游途中看到过农田，并未一直在在日常生活中出现。诚然，由于城市化和城镇化的进程不断加快，生活中农田越来越少，曾经的农田已经逐渐被高楼所取代，所以这就不得不提到教材的与时俱进了。或许，在数十年之前此例题还十分贴近小学生的日常生活，但是随着人们生活方式、生活习惯和生活场所的改变，很多东西已经很少出现。这就要求为了体现新课标中“贴近生活”的理念，教材也需要与时俱进。
（二）教师关于分数数形结合的重视不够
研究者通过查阅相关教学设计、文献和师生的调查中，反映出当下很多老师对“数形结合”的重视程度有待提高，也尚未能在教学中合理、适时穿插这一思想，这一结果从教师问卷的分析中也可以看出。很多教师仍旧是完全顺着书本顺序来，但又不能完全领会新课标和教材的精神，书上有什么便说什么，书上出示哪副图便就图而教，未能把脱离教材，使其成为教师教学的工具材料，更好的辅助教师的课堂教学。
总的来说，从调查中我们发现教师的数形结合意识、倾向性和习惯性较弱，不能很好的将这一思想为其所用，从而导致学生在向师性的引导下也数形结合能力也较弱。极少数老师的画图能力也不过关。
从教师的角度看，我们不难发现许多老师在教学中具有很大的随意性和盲目性，不能合理、适时的穿插数形结合的系统教育，提供合适的图例帮助学生理解数形结合的意义。很多老师只是按照书本的流程走，而非有自己的独立思考和理解，有效穿插分数中各种概念的几何意义。相关材料的处理也缺乏合理，使用不当，从而未达到相应的教学效果。
而个别访谈中，我们发现新老教师对于数形结合的态度和理解也有细微差异。经验丰富的老教师相对更加重视在课堂中穿插数形结合的例子，在教学中会设计一些让学生动手的经历数形结合的活动。而一些刚入职的新教师则更多的根据教材编排和教学参考用书中的教案安排教学过程，数形结合的自主性较差，教学效果也相较前者有所欠缺，在数形结合的运用上往往是为了活动而活动，并未真正明确数形结合在学生思维发展和能力培养上的重要作用。
而在课后的习题处理中，老教师往往会更倾向于学生在题目理解过程中画出相应的图，从而将文字转化为图，更好的理解文意，帮助学生解题。而新教师往往并不会特别重视这方面的引导，做题的目的仅仅是做出结果，而并未将该题作为一次数形结合能力培养的过程。
（三）数形结合的效果亟待提高
就数形结合的效果而言，通过观察和问卷结果的分析，发现虽然大多数学生都认为数形结合思想对理解题目、解答问题有帮助。但是，真正做起来，仅有个别学生会利用这一思想解答问题，使“数形结合”思想成为一种习惯。以学生调查问卷中无图组为例，在题目较为复杂但不提供图示的前提下，仅有两三位同学会想到将题意转述为相应的图表再进行解答，这说明他们尚未明了图像表征在较复杂题目的优势，并不能将“数形结合”思想为己所用。
此外，通过调查问卷其他作图题的观察分析，我们发现学生的作图能力有待提高。很多时候学生画图不能表达题目本意，我们很多次发现学生在作图时有反复修改的情况，最后还是没能做出理想的图，一气之下全部涂掉。很多做图的要求和注意点学生也并未做到，如画直线时需要用到直尺、在平均分时注意等距等。
而在测试学生是否了解分数相应概念的几何直观时，仅有小半同学能画出对应的图。这说明教师在教授知识时更加注重学生掌握知识的结果，而对于概念的演变过程和知识的获取过程鲜有说明，又或是老师并未强调，导致学生一带而过并未深究其过程，从而导致学生在实际运用中脑海中缺乏相应的直观的图像表征，从而在遇到相应问题时不能切中要点，而仅停留在文字层面。
六、对策与建议
（一）教材：尊重儿童认知规律，呈现多样化知识表征
教材是学生知识学习和技能掌握的主要来源，教材的倾向性和侧重点的不同往往会对学生的知识掌握起着十分重要的作用，所以教材的地位和重要性就不言而喻了。同时它也是教师备课的主要依据，它也能为教师的教学设计起着指引性的作用，所以，教材的取向也从间接影响着教师的理念和课堂的效果。
从总体来看，教材的编排和各部分知识的表征方式还是比较符合学生的认知特点和思维习惯的。而经过对低、中、高不同年级段进行内容分析，我们会发现中低年级中图像表征的使用较为广泛，而高年级由于学生的思维认知有所发展而相对较少。但是通过问卷测试，普遍发现六年级学生对分数除法的算理仅停留在符号表征，仅有少数同学能根据算式画出相应的图。这是由于六年级课本中图像表征急剧减少。所以，我们还是建议在高年级课本中对于重要的知识和关键的算理将其图像表征予以保留。既让学生对算理有更清晰的了解，同时也对后面的知识奠基，体现由扶到放的过程。
此外，纵观苏教版数学教材分数部分内容，有些内容的图像表征脱离了学生的生活实际，略显过时，学生也无法直接从图的表征中将其中算理和他们生活实际结合起来，从而为学生提供知识体验和学习知识的经历过程。所以再次教材修订的时候可对此类内容的去留予以商榷，并重新加入新的符合学生生活实际的相应表征，使学生在生活中学习数学，在学习数学中体会生活，而这同时也是新课程标准的理念之一。
我们发现在一节课中往往只出现一、两种图像表征方式，所以研究者认为对一道例题或一个概念的理解是否能进行多种表征的呈现。从多个角度理解题意、体会算理，帮助学生的思维发展。这既让学生感受找数学的解题方法并不唯一，从而启发他们在解题时能从多个角度思考问题；此外，这种做法对于注意力相对无法集中的小学生来说也是激发他们兴趣的有效途径。这样既帮助学生充分、全面、多角度的深刻理解，又能间接渗透数形结合思想的重要意义。
而这样的呈现方式同时也能在潜移默化中提高学生的数形结合能力，为学生的数形结合的表达提供素材，为他们日后自己利用数形结合解决问题起到了很好的示范作用。
（二）教师：正确理解数形结合教学意义，重视学生数形结合能力的培养
学生数形结合能力的强弱取决于他在学习的过程中接触的关于数形结合知识的数量和运用方式，而这些最终都是由教师本身的数形结合能力所决定。所以教师在平时课堂中对“数形结合”内容的渗透就尤为重要。教师可以从以下几个方面加深对数形结合内容的渗透：
1.重视课标的解读和领会，正确理解数形结合的重要性。
2.重视教学设计和课堂教学中的渗透。教师有目的进行数形结合的专项训练，并对相应题型进行总结分析从而概括出一般规律。
3.合理利用教学资源、善于发掘生活中的相关资源辅以教学。把数形结合作为培养学生形象思维、逻辑能力的方法之一。在形成知识的过程中，突出直观的辅助作用，创设合理的情境、设置有效的课堂活动和动手操作环节，让学生的多种感官融入到探究和学习过程中，使观察、操作、思考等的有机结合，从而激发学生多向思维。
4.重视教师的示范作用，合理利用学生的向师性渗透数形结合习惯。
5.重视做图的标准性和多样性，起到良好的示范作用。在运用数形结合理解概念和解决问题的过程中养成良好的学习习惯。从而加深对数形结合的理解。如果教师在教学中画图方式灵活多变，不仅能拓宽学生思维和眼界，而且能让学生从中选择自己喜欢的画图方式，使画图不仅是一种解题手段而且也是一种乐趣。这种做法可以使学生真正理解数与形的意义，而不是简单的复制模仿，而是能创造性的运用已有的知识解决问题。
由于，小学生获得知识的主要方式还是通过教师，教师在上述这些方面的教育对学生是否能养成数形结合习惯、培养数形结合能力有着尤为至关的作用，因此教师只有加强自身才能达到培养学生数形结合能力作用。
（三）学生：加强应用，养成数形结合的习惯
数形结合是一种典型的数学思想，但是落实到学生的实际应用中就是把这种脑海中的数形结合思想转化为实际的数学解题方法，即用画图的方法理清题意或算理，从而解决较复杂的代数问题。
此外，学生作为学习的主体，应发挥其主动性。不仅知其然，而且知其所以然。将教师所传授的内容慢慢咀嚼，切勿囫囵吞枣。对课堂中图像的表征并不仅限于好奇与兴趣，而更应具有探究精神。将课堂上老师所讲的方法不断质疑、不断反思、不断迁移、不断应用，并合理利用于平时解题和平时生活中。只有真正运用过之后才能更清楚各表征方式的不同特点和不同优势，总结出自己的心得和解题规律，这样才能在碰到此类问题时更加游刃有余，对数形结合也有更深的理解，从而具有与之前不同的倾向性。
在平时练习中，不应是做出了答案便大功告成，而是能够进一步思考是否能运用不同的方法解出答案，将画图也作为一个解题方法之一。通过不同解法之间的比较，学生在主观上会有更喜欢或更加适合自己的方法，而那时学生对于数形结合的理解也会更近一步，不仅限于老师们的口头表述。这也能帮助学生的知识迁移，在以后遇到类似问题时能第一时间联想到相应办法。
此外，学生也要注重自己好的学习方法和学习习惯的养成，及时归纳，定期总结。学生还应更加重视作图能力和图像解读能力的培养，进而提高了学生的数学思维能力和转化能力，达到数形统一，获得运用数形结合的好习惯。
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部：《数学课程标准》，北京师范大学出版社，2011年。
[2] 郭淑莉：《浅谈对中小学数学思想方法的认识》[D]，河南大学，2011。
[3] 葛梅芳：《关于高中生数形结合思想理解的研究》[D]，华东师范大学,2009。
[4] 罗新兵：《数形结合的解题研究：表征的视角》[D]，华东师范大学，2005。
[5] 丁杭缨：《给学生一个立体的“数学”——例谈“数形结合”》[J]，《人民教育》,2010年第7期第39到42页。
[6] 沈超：《数形结合，从“方法”到“思想"的飞跃》，《云南教育·小学教师》，2007年第10期。
[7] 王彦伟，丁雁玲:《数形结合思想在小学数学教学中的应用》[J]《中小学数学(小学版)》,2008年第11期第9到13页。
[8] 汪渭芳：《“数形结合”天地宽——数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用》[J]，《小学教学参考》,2010年第17期第30到31页。
[9] 刘爱众：《在小学数学教学中渗透数形结合思想》，《考试周刊》，2011年第9期。
[10] 鲁浩：《让数形结合也成为一种数学学习习惯》，《教育科学论坛》，2008年第2期第40到41页。
[11] 王道英:《浅谈数形结合思想教学》，《学知报》，2010年第11期第15页。
[12] 王海鹞：《关于小学数学课堂中数形结合教育的调查研究》[D]，浙江师范大学，2011年。
[13]雷子东,季迅群:《让“数”与“形”和谐交融―小学教师在“数与代数”领域中运用“数形结合”情况调查报告》，《全国小数会第十三届年会浙江省参评论文》2006年第11期。
[14] 邹坚：《对初中学生“数形结合”能力的调查研究》[D]，华东师范大学，2004。
[15]郑大明：《数形结合的迷失与崛起——小学生数形结合能力调查研究活动掠影》[J]，《教育科学论坛》,2008年第2期第39到40页。
附 录
数形结合在小学数学教学中的现状的问卷调查（A）
亲爱的同学们，你们好! 为了了解同学们运用数形结合的能力，请同学们
认真回答下面的问题。感谢你的支持和配合！
l、你觉得图形与文字相配合对于理解题目有帮助吗?( )
A有 B没有 C无所谓
2、你会借助图形来分析题目吗?( )
A经常 B偶尔 C没有
3、当你在解决问题的过程中遇到困难的时候，你会借助什么?( )
A请教老师或同学 B画图分析 C其他
4、如图：在一个空量杯中倒入600克水，占到这个杯子的 ，如果把这个杯子倒满，还要倒入多少克水？
要求：你能用几种方法解决上面的问题，请分别写出来。(请你尽量可能写的详细一些，让老师能看懂你是怎样想的。)
5、请说出下面图形所表达的意思：
15÷4=3…3
6、根据算式在下面的方框里画图：
数形结合在小学数学教学中的现状的问卷调查（B）
亲爱的同学们，你们好! 为了了解同学们运用数形结合的能力，请同学们
认真回答下面的问题。感谢你的支持和配合！
l、你觉得图形与文字相配合对于理解题目有帮助吗?( )
A有 B没有 C无所谓
2、你会借助图形来分析题目吗?( )
A经常 B偶尔 C没有
3、当你在解决问题的过程中遇到困难的时候，你会借助什么?( )
A请教老师或同学 B画图分析 C其他
4、如图：在一个空量杯中倒入600克水，占到这个杯子的 ，如果把这个杯子倒满，还要倒入多少克水？
要求：你能用几种方法解决上面的问题，请分别写出来。(请你尽量可能写的详细一些，让老师能看懂你是怎样想的。)
5、请说出下面图形所表达的意思：
15÷4=3…3
6、根据算式在下面的方框里画图：
数形结合在小学分数教学中应用研究调查问卷（师）
尊敬的老师：
您好！非常感谢您参与这次问卷调查。本调查问卷为匿名形式，旨在了解数形结合这一数学思想的课堂应用现状，以及数形结合的应用效果，从而完成相关毕业论文。请您根据教学的实际情况如实填写，每题只能选一个选项，（除标明多选的）若选项中没有符合您实际情况的，可将答案直接写在该题旁边。 真诚地感谢您的支持！
1、您觉得在分数教学部分中有必要渗透数形结合思想吗？
A很有必要 B有必要 C一般 D不太有必要 E没必要
2、您在分数部分教学中对数形结合思想的渗透________。
A 非常多 B比较多 C不确定 D 偶尔 E 没有
3、您在分数部分教学中重视数形结合思想的渗透吗？
A非常重视 B重视 C一般 D不太重视 E不重视
4、您在分数部分教学设计中是否有相关数形结合？
A非常多 B比较多 C一般 D不太多 E很少
5、在上课时您通常会采用何种方式数形结合？ （多选）
A.黑板画图 B. 图片出示???C. 投影 D多媒体课件 E实物展示 F其他______
6、您认为哪种方式的数形结合学生知识掌握的更好？（多选）
A.黑板画图 B. 图片出示???C. 投影 D多媒体课件 E实物展示 F其他______
7、在您的课上您是否运用数形结合帮助学生理解分数的意义、算法及算例等？
A.经常?? ?B.较常?? C一般 D.很少 E.从不
8、您觉得在上哪一类型的课时，数形结合对学生的辅助作用更大？
A.数与代数???B.空间与几何??C.概率与统计 D.综合与实践
9、在对学生课后作业辅导中，您是否时常强调运用画图来解决问题？
A 经常 B较常 C碰到相应问题时才会 D偶尔 E从不
10、如碰到此类题目:“在一个空量杯中倒入600克水，占到这个杯子的 ，如果把这个杯子倒满，还要倒入多少克水？”您会指导学生__________
A主张设X求方程 B先理解题目中各数的数量关系 C先画出符合题意的图 D动手实际操作 E其他_________
11、如碰到此类题目:“一篓苹果分给甲乙丙三人，甲分的全部苹果的 加5个苹果，乙分的全部苹果的 加7个苹果，丙分的其余苹果的 ，最后剩下的苹果正好等于一篓苹果的 ，这篓苹果有多少个？”您会指导学生_______
A先梳理各数之间的数量关系 B先画线段图表达数量关系 C设X求方程 D其他____
再次感谢您能认真填写该调查问卷，我们将认真仔细的记录您所填写的信息，祝您有愉快的一天！
教师访谈提纲
1、您认为在分数教学中渗透数形结合思想有必要吗？ 2、您在平时的教学活动中是否经常渗透数形结合？ 3、您觉得哪部分内容运用数形结合更有效果？ 4、您觉得学生运用画图方法解决问题掌握的如何？ 5、您是否经常强调学生运用画图解决问题？ 6、数形结合的运用对课堂的促进作用如何？ 7、您在平时的教学中通常习惯采用如何方法数形结合？ 8、您觉“数形结合在分数教学中应用的研究”这一课题有何意见和建议？
学生访谈提纲
1、说说你知道哪些数学思想？ 2、你知道数形结合吗？你觉得什么是数形结合？ 3、老师在平时的教学中是否经常强调要用画图来解决问题？ 3、你认为运用画图这种方式解决问题对你学习数学有促进作用吗？ 4、你在平时的做题中会想到用画图的方法吗？ 5、你希望老师在平时的上课中多呈现一些图象吗？ 6、你对接下来的数学学习有什么期望和建议？
致 谢
落笔于此，也意味着我大学四年求学生涯即将结束。一路走来不免磕磕碰碰，在论文完稿之际，回望自己四年的大学生活，也是点滴进步，点滴收获。在此，向所有曾经支持和帮助过我的家人、导师和小伙伴们表示最诚挚的感谢！
首先要感谢我的父母，没有他们也就没有如今的我。每一次在我最无助的时候，家永远是我最温馨的港湾。也是他们的坚持，才我的未来更趋明朗化。
其次，感谢我的导师华红艳。华老师无论是在论文和平时生活中都给我很大的帮助。在我选定论文题目后，华老师抽出宝贵的时间帮我理清脉络；在论文的修改过程中，更是以科学严谨的态度，指导我修改论文。而在平时生活中，我遇到挫折时她也会鼓励我，“仍要像热血青年一样，阳光明媚，积极向上。”至今犹记。在此谨向华老师表示我最衷心的感谢。
与此同时，我还要感谢这四年里教导过我的老师们，感谢他们的对我的培养与指导，在此谨向他们表示深深的敬意。
再次，我要感谢和我一起学习、生活的同学们，为我的大学四年编织了美好的回忆，谢谢他们对我的关心和帮助。在论文的完成过程中，也感谢他们能为我指出论文中的不足，让我能及时改进。
最后要感谢实习、实训学校的领导、老师以及学生的配合，感谢实习时师傅的帮助和指点，使得我的论文的资料收集工作得以顺利完成。
非常感谢四年的大学生活，感谢这个美丽的校园，感谢恩师们，感谢我的家人和那些永远也不能忘记的朋友，你们也将是我一辈子的财富。
由于我的学术水平有限，所写之论文难免有不足之处，恳请各位老师、同学批评和指正！
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:
Key Words：primary school mathematics; symbolic-graphic combination; ?fraction education; 目 录
摘要：由于小学生主要处于具体运算阶段，其思维的类型主要是由形象思维向抽象逻辑思维过渡。因此，对于抽象的数学问题，离开具体实物而仅仅依靠抽象逻辑思维学生往往并不能很好解答。本研究发现，在分数教学中，小学生因受语言理解能力的影响，离开了数学问题的图像表征，仅仅依靠符号表征，使得他们在理解数学问题时很难理解到位。他们往往只依靠某些简单的关键词理解和解决问题，而这并不能帮助他们完全理解并有效解决抽象的数学问题。因此，在小学数学分数教学过程中，教师应理解与重视小学生的认知特点，特别强调将抽象的符号表征的数学表达模式与形象具体的图象表征模式相结合，将数形结合思想与方法作为有效促进小学生分数学习的重要方法之一，将抽象问题转化为形象问题，能更加生动地引起小学生对分数这类抽象数学问题的浓烈兴趣与爱好，还原抽象数学的具体现实意义，真正提升分数教学的效果。
关 键 词：数形结合 小学数学 分数教学
Study on?the?Application?of?Symbolic-graphic?Combination?
in?Primary?Fractions?Instruction
Abstract: The pupils are mainly in the concrete operational stage whose thinking types are in the transition period from imaginal thinking to the abstract logical thinking. Therefore, for the abstract mathematical problems, they cannot be fully competent if they rely solely on abstract logical thinking without using imaginal thinking. Since the limitation of pupils’ language comprehension skills, meanwhile, it is difficult for them to fully understand the mathematical problems only depending on symbolic representations but ignoring pictorial representations. They tend to rely on some simple words to understand or solve the problems, which cannot help them to fully understand and solve abstract mathematical problems effectively. Hence, in the teaching process of fractions in primary mathematics, teachers should understand and attach importance to cognitive features of students with special emphasis on the combination of abstract symbolic representation mode and specific pictorial representation mode. Using the theory and method of symbolic-graphic combination as one of the significant methods to facilitate pupils’ learning of fractions as well as making use of teaching aids and learning materials to transform abstract problems into imaginal problems can even more arouse pupils’ strong interests vividly on abstract mathematical problems like fractions, exhibit the specific realistic significance of abstract mathematics and truly improve teaching effects of fractions.
一、问题的提出 1
（一）选题缘由 1
（二）研究目的与意义 2
二、国内外研究现状及分析 3
（一）国内研究 3
（二）国外研究 4
三、研究过程 5
（一）研究对象 5
（二）研究方法 5
四、数形结合思想在小学分数教学中的应用现状 6
（一）课标对数形结合的要求与建议 6
（二）教材中关于分数部分数形结合的知识表征 7
（三）教师关于数形结合的理念与态度 10
（四）课堂分数教学中“数形结合”的体现 13
（五）分数数形结合的教学效果 16
五、存在的问题 17
（一）教材处理中关于分数数形结合的体现不足 17
（二）教师关于分数数形结合的重视不够 18
（三）数形结合的效果亟待提高 19
六、对策与建议 20
（一）教材：尊重儿童认知规律，呈现多样化知识表征 20
（二）教师：正确理解数形结合教学意义，重视学生数形结合能力的培养 20
（三）学生：加强应用，养成数形结合的习惯 21
参考文献 23
附 录 24
致 谢 28
一、问题的提出
（一）选题缘由
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”。《义务教育数学课程标准》在前言中也明确提出“数学是研究数量关系和空间形式的科学”，这两者并不是相互独立和割裂的，而是一个紧密联系、彼此交融的有机整体。于是“数形结合”作为一种数学思想就此应运而生。
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既表达其代数意义，又分析几何直观，使数量关系的精确性与空间形式的直观性精妙、融洽地结合在一起。充分利用两者结合的优势，寻找解题的思路，使复杂问题简单化和清晰化，从而帮助思维，最终使问题得到解决。简而言之，数形结合就是在研究问题时把数和形结合考虑：考虑数量问题时，把数量关系转化为图形表述，考虑其形的空间状态；在研究图形时又把图形表述转化为物体间的数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具象化。
“数形结合”是贯穿中小学数学教学始终的基本思想方法之一，很早便引起专家学者与一线教师的关注。“数”与“形”可以认为是数学知识的表征形式，对“数”的理解可泛化为：数学文字表征，即数字、文字、式子、数学概念、数学结构、数学性质、数学定理等概念和命题；相应地，“形”也泛化为：图形表征，即实物、图像、图形、符号等。华罗庚对数形结合方法做过这样的概括：数与形，本是相倚依，焉能分作两边分；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！由此也说明学生可以通过图形作为工具来帮助他们解决实际数学问题，数形结合的思想在数学教学中有着至关重要的地位。
在小学中，数形结合的“数与代数”部分主要运用则是“由数想形”，把形作为一种辅助，把数的图形表征作为一种工具来帮助他们理解概念、算理，从而更形象化地解决实际数学问题。就分数教学而言，分数本身作为一种符号表征，由分子、分母和分数线所组成。这些对于抽象思维发展成熟的成年人来说并不难理解，但对于小学生来说，由于他们主要处于具体运算阶段，抽象思维的发展尚不成熟，所以对符号表征的理解仍有一定的困难。所以我们发现小学数学教材的分数部分和小学分数教学课堂中往往会穿插大量的实物、图像等，帮助学生借助图像充分理解概念，利用图像表征使学生更好的理解“分数”的符号表征，其内容贯穿小学三年级到六年级的数学教学中。见表1。
小学分数知识在苏教版教材中的具体教学内容包括如下：
三年级上册 《认识分数》（把一个物体平均分）
三年级下册 《认识分数》（多个物体组成的一个整体平均分）
《分数加减法》（同分母分数加减法）
五年级下册 《认识分数》（单位1的平均分）
《分数的基本性质》
《分数加法和减法》（异分母分数加减法）
六年级上册 《分数乘法》
《分数除法》
《分数四则混合运算》
表 1
在以上分数教学中，图像表征的运用对于分数这样一个符号表征的理解来说是否充分、是否合理、是否能发挥预期的效果，将直接决定小学生分数部分的学习效果， 基于此 ，探究“数形结合”在小学分数教学中的应用不仅必要，而且极为重要。
（二）研究目的与意义
此次研究的目的在于更好的了解当前小学数学教学中“数形结合”思想在分数教学中的实际操作和应用情况。并根据调查分析的实际情况进行相应分析和反思，提出有效的建议和对策，从而使教师提高数学课堂教学质量和效果，使学生能够更好的理解和内化分数部分知识。
研究分数教学中数形结合的应用现状对于小学数学分数教学具有极为重大的现实意义：
首先，对教师来说，进行相关研究可以敦促教师重视“数形结合”思想；引导教师在课堂教学中合理运用相关实例，优化教师对于教学材料的处理；便于学生更好的理解有关教学内容；扭转个别教师因缺乏相应理念的行为。
其次，对教材编定者来说，进行数形结合相关研究可以对小学数学教材的优化和完善提出相应建议，从而使得教师能更好的利用教材进行课堂教学，并且也使得编写者的编写思路更为清晰更好的便于大众理解。
此外，对学生而言，进行数形结合相关研究可以为学生解决问题提供和寻找途径，可以帮助学生思维能力的提高，可以使学生的数学知识结构不断拓展和完善，可以帮助学生形成和谐完整的数学概念认知。此外，还能在数学美的追求等方面让学生有更深的体会和感悟。
二、国内外研究现状及分析
（一）国内研究
算盘是一个具有悠久历史的计数工具，同时也是一个广义的“数形结合”的实物，是古代勤劳中国人善于思考和创造的最好例证。算盘的使用有效将复杂的算术问题图形化、形象化。但此类数形结合的意识仅出现在人们的头脑和实际生活劳作中，并无专门著作对此记载。
近些年，国内有关“数形结合"的研究也非常多。主要有以下三类：第一类是对数形结合其知识表征和思维模式的作用机制研究；此外还有更贴近中小学学科教育的现状分析和对提高教学效果和学生能力的作用研究；第三类是以具体教学实录和课堂片段为典型案例的教学设计的分析探讨。
对数形结合其知识表征和思维模式的作用机制中，罗新兵发表了《数形结合的解题研究：表征的视角》一文从以数形结合的表征方式为视角，从图形表征和符号表征在解决代数与几何问题中的建构与作用出发，研究了图形表征的不同具体类型对解题的不同影响，同时也归纳出数形结合在思维品质、信息产生、信息结合、信息加工方式等方面的具体特点。沈超发表的《数形结合，从“方法”到“思想”的飞跃》从教学论的角度对“数形结合”作为一种数学方法和数学思想的具体表现形式和形成途径进行分析。
而在现状分析和数形结合作用分析方面，汪渭芳的《“数形结合天地宽”——数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用》一文则归纳描述了数形结合在应用中的三种常见类型：①以“形”思“数”，帮助学生建立数感；②以“数”想“形”，培养学生空间观念；③“数”“形”互译，提升学生思维能力。郑大明发表了《数形结合的迷失与崛起一小学生数形结合能力调查研究活动掠影》一文提出的四条教学建议：①数与形有机结合，重视由数到形的教学；②循序渐进，把好数形结合的“度” ；③多样化呈现，加大从图形中获取信息解决问题能力的培养；③教师自身要提高数形结合的能力。丁杭缨的《给学生一个立体的“教学”——例谈“数形结合” 》一文中，用分析教学片段的形式讲述了“数形结合”在小学数学课堂教学中的具体应用。将数形结合分为四个纬度进行讨论：①数形分工：数与形分别以不同的方式存在于各自领域，但又因为其存在方式的不同得以互补；②数形对应：“数”与“形”虽是两个不同系统，但“数”系统中某一项的组成要素和“形”系统中某一项的要素在某种意义上有着一一对应的关系；③数形联系：在数与形独立、对应的基础上，互相关联、互相作用、互相影响，使学生的理解更为深刻，能更全面地提示知识的本质；④数形变换：通过数与形之间的变化、联系及自然的转化让学生体会到形的背后是数的支撑，数与形互相制约、互相影响。
王海鹞在《关于小学数学课堂中数形结合教学的调查研究》中以所制定的调查问卷结果分析了小学生对数形结合的认识与应用数形结合的能力现状，并通过问卷分析出教材和教师层面所存在的现实问题。进而提出相应的思考和建议，如建议教师更为重视数与形的有机结合；重视教学中的由数到形；提高教师自身的数形结合能力；注重对学生数形结合学习方式的应用指导等等。王彦伟的《数形结合思想在小学数学教学中的应用》一文从小学教师对数形结合含义和具体课堂中的表现为调查点，以发放和分析问卷为形式，从问卷的结果分析得出：数形结合的思想方法还没有真正地落实到小学数学教学中，老师们的重视程度远远不够，数学思想方法的教学也并不符合课标的具体要求；部分教师仍过分重视知识的死板传授和大量习题训练的题海战术，而忽视一些重要的数学思想的传授，或是将其理解为数学中较简单常见和普通内容，从而一带而过。
第三类也有大量的文献资料，如罗松明的《数形结合在小学数学教学中的应用研究》从对数形结合思想的认识、现实意义、在小学课堂中的具体应用为主线，从一位普通的小学教师的视角谈了对数形结合的理念和思考。
（二）国外研究
具有唯物主义倾向的笛卡儿以数标点的想法提出了了利用代数知识解决几何问题的思想，同时代的费尔码也思考了同样的问题，从而形成了一套数形结合的数学方法。某种意义上来说，由此建立的“解析几何”就是一部“几何—代数”的翻译词典。这种思想的产生不但使几何产生了全新形态，而且还促进了函数、集合、变量等数学思想的形成与完善。
1628年，笛卡尔发表《指导思维的规则》一书中他开始意识到为了使“数”“形”同质必须引进“单位数”，从而用代数把握几何的思想。而这一想法对当时的数学界产生了深远的影响，在代数和几何之间的鸿沟中架起了一座桥梁，为代数与几何的统一与不断发展奠定了重要基础。
德雷福斯和伊诗贝格在1982的一项研究中对440个6至9年级学生的“函数概念的直观基础”进行了调查分析，发放的问卷包括函数的具体和抽象情境下的原象、增长优选法、极值等问题。其研究表明：能力强的学生喜欢从图象分析和解决问题，能力弱的更喜欢从表格数据来分析。也通过调查得出原因可能是能力弱的学生从图形表征中获取关键信息的能力较弱，而从表格中则找出关键信息则相对更为容易。
此外，诺瓦克的研究表明，学生通过对“数形结合”实际运用能够更为深刻的理解不同概念之间的区别和联系，因为这同时也是将不同概念进行重新梳理、分类，从而产生新的认知，拓宽原有知识范围的这个过程。而这恰恰能使学生的创造性和创新性思维大大发挥作用。与此类似的，科维也指出“数形结合”在教学中的应用还是一个具有创造性的过程，学生必须努力通过确定重要概念和它们之间的关系来阐明意义，而这个过程正可以检测学生对知识的理解和掌握程度。
三、研究过程
（一）研究对象
本次研究选取苏州市C小学和S小学三、五、六年级各2个班作为研究对象。对S小学的六年级两个平行班的学生（共计98人）进行了问卷调查，对S小学和C小学的三、五、六年级大部分数学老师进行了教师问卷调查（共计18人）和个别访谈。
（二）研究方法
1.文献法。广泛收集和查阅国内外相关研究资料。旨在对数形结合内容进行更细致的了解与分析，并对相关文献资料进行梳理，以方便参考和使用。
2.访谈法。在本次调查中，通过与小学数学教师进行相关内容交谈获得相应资料，这样既保证资料的真实性，从而给调查提供更加充分的材料依据。
3.观察法。在此次调查中，研究者对相应教学内容进课堂旁听，实地观察教师在教授相应内容时所采取的教学材料、教学方法和教学手段等，同时，将观察学生在教师进行此种教学方法下的新知识接受情况，以及课后练习题的完成的正确率。
4.问卷法。研究者就教师对数形结合在小学数学分数教学中应用的具体情况拟以问卷，发放给C小学和S小学的数学老师，因有部分数学老师只负责低年级段的教学工作，不涉及分数部分内容的教学，故未对其发放，最后回收教师有效问卷18份。教师的问卷内容主要围绕小学分数教学中渗透分数教学的必要性和教师在实际教学中的实施情况，此外问卷还截取了两个典型的小题目，研究教师的教学指导倾向性。
四、数形结合思想在小学分数教学中的应用现状
（一）课标对数形结合的要求与建议
数学课程标准（以下简称 “新课标”）作为一个指导数学教材编订和数学课堂教学工作的权威文件，其理念和指导要求对教师的教学方式和课堂教学效果起到了尤为重要的作用。
数学课程标准在前言中首先提到了“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”从这一表述中我们不难提取出“数”与“形”两大知识的表征。当然“数”“形”两大块内容也不是相互割裂的，我们可以发现其实在很多方面他们都是相互关联，相互融合的。正如 在课标的“课程基本理念”部分中提到的：“课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。”以分数为例，对于刚刚接触分数概念的三年级小学生来说，一开始很难从字面来理解分数的含义，无法理解本来就是原有认知中最小的数“1”中还要进行分割，变为“1”的几分之几，更别提把几个物体看成“单位1”这样一个更为复杂的概念了。所以我们在此时有必要引入离学生生活实际更为紧密的“形”。初学时，老师往往会用“分大饼”或者是“折纸片”这样的活动来帮助学生理解平均分成若干份后的一份或者几份占整张饼或者整张纸片（即单位1）的几分之几这一新知识。而这正是新课标中所提到的“要重视直观，处理好直观和抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验和间接经验之间的关系”。
因此，把分数这样一个原来抽象的概念，变成直观的、学生所熟悉的分大饼，将概念清晰地呈现在学生面前，这样的活动既符合学生的认知特点，又体现了课标中所强调的“使学生体验从实际背景中抽象出数学问题，构建数学模型的过程”。也符合所崇尚的课堂教学三维目标中“过程与方法”这一维度的要求，不仅知其然，而且知其所以然。
同时，课程标准在不同的学段要求中对数形结合也有着不同程度的要求。例如，在第二学段（4-6年级）的“数学思考”方面的要求中，就明确写着“初步形成数感，感受符号和几何直观的作用。”要求学生在出现“数”时能够想到“形”，而出现“形”时则反之想到“数”。而这种数学思考方法同时也是课程标准在“问题解决”方面的目标要求——“能探索、分析解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。”
此外，在数学课程标准的第四部分“实施建议”中，也在多处文字的表述中有重视“数形结合”的意味。新课标认为，教师要注重学生对基础知识、基本技能的理解，体会数学知识之间的关联。掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础。教师应重视数学知识与学生的生活经验的联系、与学生学科知识之间的联系，引导学生进行观察、分析，抽象概括，运用知识进行判断。教师还应揭示知识的数学实质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系。
（二）教材中关于分数部分数形结合的知识表征
数形结合思想在小学数学教材的四个领域都有渗透，“数与代数”中的在分数教学部分也不例外。通过对教材的分析，能够帮助教师更深入的了解教材，挖掘更深层的思想，创造性的展开教学。以下将从分数部分结合的总体情况及各年级的具体情况分别加以分析：
1.总体情况
研究者通过对教材分数部分教学内容进行分析，发现结合分数的符号表征使用到的图像表征方式主要有以下几种：
（1）实物图。如三年级上册《认识分数》一课中，用于体现“平均分”的蛋糕一图（如图表2）。又如练习题中用以学生表示每个版块内容占整个黑板报的几分之一的“黑板报版面”（如图表3）。
图表 2 图表 3
（2）简笔画、剪贴画。如三年级下册《认识分数》一课中用以看成一个整体后平均分的桃子，又或是花朵、兔子、萝卜、灯笼等易引起学生兴趣的图片(如图表4)。而练习题中此类图也时常出现，特别是在三、五年级的教材中。
图表 4
（3）圆片、三角、正方体等学生易于圈出、分割或涂色的几何图形（如图表5）。此类几何图形的出现频率相比前两类更高。既可以将具体实物抽象化，但又能帮助学生理解，以免凭空思考。
图表 5
（4）长纸条、绸缎（彩带）等。（如图表6）通常出现的作用是让学生其中的某一部分或几部分涂色，从而理解某一部分占整体的几分之几的概念。
图表 6
（5）数轴、直尺、树状图、条形图等。（如图表7）此种出现方式相较之前几种，具有了一定的数学思维和数学涵义。往往高年级出现较多，多出现在练习题中，给学生一个具体的数，学生在数轴中找出相应的点的位置。而条形图的出现往往伴随着相对复杂的应用题（中低年级称解决问题），目的主要是帮助学生理清各个数之间的关系或是量的大小。
图表 7
此外，就苏教版教材分数部分内容各个表征方式的出现频率，研究者做了一个统计。在此以表格方式呈现。
苏教版教材分数部分各内容表征方式统计表
教材 内容 新授例题部分表征方式 练习题部分表征方式
含实物图、简笔画 含折纸、彩带、数轴 含几何图形、涂色 仅文字、数字 含实物图、简笔画 含纸条、绸缎、数轴、树状图 含几何图形涂色、折纸 仅文字、数字
三年级上册 《认识分数》 （把一个物体平均分） 1 3 - 0 3 1 7 0
《分数加减法》 （同分母分数加减法） 1 - - 0 - - 1 4
三年级下册 《认识分数》（多个物体组成一个整体平均分） 3 - 2 0 9 3 6 10
五年级下册 《认识分数》 （单位1的平均分） - 3 5 4 2 4 7 30
《分数的基本性质》 - - 4 1 - 1 3 25
《分数加法和减法》 （异分母分数加减法） - - 1 2 - 1 1 17
六年级上册 《分数乘法》 1 3 2 4 - 2 4 38
《分数除法》 3 1 5 - 1 1 34
《分数四则混合运算》 1 2 0 - - - 32
注：新授部分包括例题和例题后面的试一试；练习题部分包括想想做做（高年级称为练习），而整理和复习部分并未统计在内。仅有图片增加文本可读性而非为学生提供数形结合也不算在其中。
图表 8
从以上统计表我们不难看出，通过图像方式运用数形结合的比例还是很高的，有时甚至还会出现多种表征方式。有较为直观的实物图和简笔画等表述具体实物的，还有稍微抽象的纸条、几何图形等，既让学生明白它所表示的是一个具体的物体，但又从实物中进一步抽象化。当然，也有些例题和练习题并未用到图像，而是直接以数字的方式进行呈现，也考验了学生的形象思维能力和具体运算能力。
且从不同课时性质来看，在相对靠理解的课时（如认识分数、分数的基本性质等）中，数形结合的出现频率较高，而在学习计算方法、培养计算能力的课时（如分数乘除法、分数混合运算）中，出现的频率较低。此外，在新授课中数形结合出现的频率较高，而在练习课中出现的频率相对较低，大多是一开始为了唤起学生对旧知的记忆，会出现一些图示，帮助学生再现旧知，而在此之后，大多则均是文字、数字直接呈现的练习题。
2.各年级具体情况：
从以上表格中，我们也不难看出各年级之间的差异：
三年级教材中出现数形结合的比例最高，这一方面由三年级学生的认知和思维的特点所决定。此外，从图像表征的方式来说，以实物图或简笔画出现的频率最高，这一方面可以帮助学生用生活中出现的事物理解数学概念和数学思维，另外一方面也可以提高学生的兴趣，提高数学课堂的趣味性。
五年级教材中，图像表征出现的频率也十分高，但是相较于三年级教材中，已经有一部分例题和练习题以完全数字出示的方式所呈现了，但这些大多是出现在第二、三课时中，第一课时仍旧是以图像表征出现。此外，实物图和简笔画出现的频率较三年级时大大降低。此时的数形结合，大多是以相对抽象的几何图形（如小圆、三角形、正方体等）出现，用数形结合的方式，帮助学生理解相对抽象的原理。而在练习题中，由于在此之前有了一定的概念理解，所以在练习题中数形结合的出现频率也降低很多，除了个别应用题难度较大，会出现示意图帮助学生理解。
而六年级教材中则与之前区别较大，除了相应知识的概念理解会出现少量的数形结合的图帮助理解外，大多以文字直接出现的形式出示。当然，分数乘除法一开始的方法讲解部分仍有折纸、涂色等活动，但当学生理解其原理后，例题就很少出现图。体现教材由扶到放的过程。
（三）教师关于数形结合的理念与态度
以上新课标中关于数形结合的指导思想以及教材中关于数形结合的知识表征，为小学阶段分数的数形结合教学提供了必要的理论基础及极为可行的实施路径，然而最终分数教学中数形结合实施效果，在很大程度上却取决于教师关于数形结合的相关教育理念。
1.对数形结合必要性的理解
调查问卷的结果中，就教师关于分数教学中数形结合必要的理解来看，几乎所有老师都认为在分数部分教学中渗透数形结合思想是有必要的，从个别访谈中我们也能得出相应的结论。教师们大多都认为分数这样一个符号表征，对于中低年级的小学生来说较难理解，小学生对它的理解也仅停留在字面，所以更需要有相应的画面来“以形助数”帮助理解。但是从实际情况来看，只有20%不到的老师非常重视在教学设计中数形结合思想的渗透，而非常重视与重视两项加起来的也只有78%左右，还有超过20%的老师对此不够重视。具体见下表：
教师对分数部分数形结合思想重视程度统计表
非常重视 重视 一般 偶尔 没有
22% 56% 22% 0% 0%
图表 9
此外，从数形结合思想的运用范围来看，教师在教学中对“数形结合”运用范围也是不断拓宽。这是由于新课改的不断深入，教师逐渐意识到数形结合思想的作用及重要性，了解到这种方法更符合小学生的思维特点。实际操作中，有将近72.22%的老师会在自己的教学和备课中较多的进行数形结合思想的渗透和设计。但是仍有不少老师对于数形结合在课堂中的呈现和运用不以为然。
2.对不同内容中数形结合的作用的理解
而问及在哪一类型的课中，数形结合对学生的辅助作用更大，几乎所有老师都选择了“数与代数”和“空间与几何”两大部分。这主要是因为不同区块知识的呈现和表达方式的不同而决定的。就“空间和几何”部分知识而言，知识主要都是以图像表征为载体，通过图来说明概念说清定义，所以在此方面数形结合的大量运用并不难理解，并且这对学生知识理解的辅助功能也不小。而在数与代数部分，由于知识主要是以数字、字母、数学符号等简单易写的符号表征为载体，有时候学生并不能直观的理解和掌握相应知识，所以也会时常用到图像表征，帮助学生将数与其相对于的形结合起来，形成完整的思维，更好的理解符号表征。就分数部分知识而言，数形结合的使用能帮助学生更直观的理解分数这样一个较为抽象的概念，同时具有可操作性和直观性。
3.对数形结合的呈现方式的理解
从教师对数形结合的呈现方式来说，研究者提供了黑板画图、图片出示、投影、多媒体课件和实物展示等选项，老师的普遍反映为黑板画图和多媒体课件和实物展示更具有可操作性。而从能否帮助学生的理解掌握的角度来说，黑板画图、投影和多媒体课件等方式相较其他更加有效果。而在实际的教学中，多媒体的使用也为教师课堂组织和展示提供了极大的便利，因此利用率较高。
此外在个别访谈中，问及此问题，老师们说他们会在上课初期创设相应情境，让学生多动手，利用小棒、纸片等物体自己探索。而高年级的同学则更多用画出相应线段图、折纸片等方式将题意形象化、直观化。
就分数教学的课堂呈现方式来说，黑板画图、图片和课件出示显然更具有可操作性。在分数教学的课堂中，我们很多时候都会看到老师要求学生折纸，将规则图形的纸片对折或者是平均分成多少份，并且在其中的某几份中打上阴影。这样既可以让学生经历解决问题的过程，又通过主观的操作更加理解其数学意义。黑板上作图同时也具有以上优点，除此以外，老师的规范作图也能为学生起到良好的示范作用，帮助学生培养作图能力。
4.对数形结合倾向与态度
就教师数形结合倾向性来说，根据问卷调查反馈的信息，有超过三分之二的教师在平时教学中就提倡和强调学生运用画图等方式来解决问题，使其成为一种解决问题的方法和一种数学思想，而并非在碰到问题是才会运用。
然而，在真实的问题情景中，却发现不少教师关于数形结合有着不同的倾向性。如在下列题目中，发现教师关于数形结合的实际倾向并不像他们所说的那么明显：
题目1:
“在一个空量杯中倒入600克水，占到这个杯子的 ，如果把这个杯子倒满，还要倒入多少克水？”您会指导学生__________
A主张设X求方程 B先理解题目中各数的数量关系 C先画出符合题意的图 D动手实际操作 E其他_________
就教师的选择情况来看，其中有72.22%的老师会选择让学生想理解题目中各数的数量关系，然后再列式求解；而选择让学生先画出符合题意的图的只有3人，仅占16.67%（如下图）。而就其效果而言，有相应的示意图比没有图而言，学生答题的正确率会提高很多（这在之后学生调查问卷的结果中也会分析）。具体情况如下表所示：
教师具体例题教学指导倾向性统计表（1）
主张设X求方程 先理解题目中各数的数量关系 先画出符合题意的图 动手实际操作 其他
11.11% 72．22% 16.67% 0% 0%
图表 10
题目2:
“一篓苹果分给甲、乙、丙三人，甲分的全部苹果的 加5个苹果，乙分的全部苹果的 加7个苹果，丙分的其余苹果的 ，最后剩下的苹果正好等于一篓苹果的 ，这篓苹果有多少个？”您会指导学生_______
A先梳理各数之间的数量关系 B先画线段图表达数量关系 C设X求方程 D其他____
这是一道相对复杂步骤较多的分数加法题，对学生难度较大。从问卷结果来看，有4人仍旧认为应该先梳理各数之间的数量关系，而有11人则认为应该先画出线段图表达数量关系，这个数字较之前一题有了大幅提高，占到了将近三分之二。此外，还有3人认为此题可以设X列方程进行计算。数据如表所示：
教师具体例题教学指导倾向性统计表（2）
先梳理各数之间的数量关系 先画线段图表达数量关系 设X求方程 其他
11% 72% 17% 0%
图表 11
就本题来看，可以看出大多数老师碰到相对较难的题目时，仍倾向于先画出相应的图表达各个量，再进行计算，这样可以使原本抽象的各个量清晰化，帮助学生的理解进而解答。当然，有些题设X解方程也不失为一个好办法，能够轻松的解决难题。
以上两题分析结果来说，教师的画图意识还是不够的，这与之前他们关于数形结合的必要性的理解在比例上有一定的落差。由此我们可以看出，学生在老师数形结合上的倾向性和习惯性与他们的自我认识间还是有一定差距的。
（四）课堂分数教学中“数形结合”的体现
众所周知，数形结合作为一种常见的数学思想，在教师的新授、学生的解题、课后的复习归纳中都有着十分重要的作用。以下，研究者就分别以课时的进程为轴线，就一些典型的教学设计或配套的教师用书所提供的教学设计为范本，研究数形结合在数学课堂中的作用及意义。
1.新授课：掌握知识，理解算理。
我们知道，学生在初接触一个新事物时往往会因其与自己的生活有一定的距离而较难理解；在数学学习中，学生碰到之前未接触过的知识时也会有畏难情绪。此时，老师需要做的就是把新知糅合在学生能够理解的、与生活实际较为相关的事物中，使学生将新知同化；或是让学生动手操作，在实践中找到解决问题的策略。
以苏教版五年级下册《异分母分数加减法》一课为例：例题以在一块长方形试验田里种蔬菜为素材，引导学生根据要解决的问题列出一道异分母分数相加的算式并解答。选择这样的素材，有利于学生通过画图或折纸等方法理解实际问题中的数量关系，进而想到计算时需要把异分母分数转化成同分母分数。引导学生通过操作，思考和交流，联系已有的知识和经验自主探索计算方法，初步掌握异分母分数的加法计算。
教学片段1：
1.故事导入
同学们，先请大家看一个动画片（老师结合画面配音给学生讲解）
故事过程略（大意为孙悟空和八戒偷吃西瓜。）教师引误，引起学生兴趣。
2.小组协作，探究新知
下面我们用长方形纸代替西瓜，请大家折一折，画一画，做给八戒看看，异分母分数到底应该怎样进行计算。
学生动手操作：
（1）在纸上折出 和 ，并用水彩笔标出。
在实物展示台上展示学生的作品。
选择比较典型的，贴在黑板上，当作教具。
（2）谁能把涂有 和 这两张长方形纸折叠成折叠成同样多的份数呢？看看它们各占这张纸的几分之几？（小组分工，继续折叠）
实物展示台上出现第二组图形
（3）折叠之后，你有什么发现？
生1：我发现原来的 变成了 ，也就是2个 ，另一张纸仍是 。
师：现在它们能相加吗？为什么？
生2：现在这两个分数可以相加了。因为它们的分母相同了，也就是它们的分数单位一样了，所以可以直接相加了。
师：噢！同学们通过动手折叠，把分母分别是4和8的分数变成了分母是……(8)的分数，分母相同了，也就是……（生：分数单位）相同了，当分数单位相同了，这两个分数就可以直接……（生：相加了）。
师：请大家回想一下，刚才我们大家折叠的过程，实际上就是我们前面学过的什么？（通分）小组讨论一下。
师：通分的关键是什么？
生1：先要找出这两个分母的最小公倍数，再用这个最小公倍数作公分母。
生2：根据分数的基本性质，把这两个分数化成和原来分数相等，用公分母作分母的分数。
师：说的非常好!现在你能一眼看出这两个分数相加的结果是多少了吗？
生3：能，2个 加上1个 ，就是3个 ，等于 。
（4）归纳整理（略，整理后板书示范）
从这份教学实录来看，教师把分数放在一个具体的故事中，摇身一变成了“西瓜的几分之一”。这样，一个抽象化的数字就在学生脑海中具象成为了一个实际的事物，而两个实际的事物合在一起，远比两个抽象的数字相加学生更能理解。进而又把“西瓜的几分之一”变为学生手中的纸片，发挥学生的主动性，让学生自己折一折、涂一涂，让学生在实际的操作中理解算理。此部分也为本课的一个重点。学生在经历自己折、自己涂的过程之后，进而老师引导学生边不难说出其中的算理，理解两个异分母分数相加，其中所需要用到的“通分”步骤。之后再进行具体数的加减练习进行巩固，学生便能在理解算理、经历体验后真正掌握算法。这中间数形结合的使用将学生此前未接触的抽象数学相加算理进而转变为纸片中各涂色部分的组合，更加直观为学生所理解。以西瓜和纸片为载体的数形结合，也将原来脱离生活实际的数学知识又带回到生活中来。
2.授课后巩固与课后练习题：加深印象，巩固双基。
在数学课堂教学中，新授部分内容教师往往会设计多个学生实践活动，用实物图或者实物等方式让学生真正做到数形结合。而在例题后的巩固中，我们也往往用到数形结合的表征。
教学片段2：
（播放视频：多美滋1+1奶粉广告——东东把一块蛋糕平均分成四份，一看来了八人，如何分？刚解决这个问题后，又来了第九个人。）
看广告让你能联想到几分之一？
生：能想到1/4
师：从哪个画面中联想到1/4？
生：第一幅画面，蛋糕平均分成四份，每人吃到一份
生：能想到1/8
师：从哪个面画中联想到的1/8？
生：第三、四画面把一个蛋糕平均分成8份，每人吃到一份
生：能想到1/2
师：这里的1/2是整个蛋糕的1/2吗？
生：不是，是小男孩手上蛋糕的1/2
生：1/9
师：如果开始就有9个人，平均分成9份，每人就得到这块蛋糕的1/9。
师：生活中不缺少分数，只缺少发现分数的眼睛。
师：冬冬分了1/2，他收获了什么？
生：收获了友谊。
师：在蛋糕和友谊之间，哪个重要？
生：友谊。
以上教学片段是Z老师在一次展示课中的实录片段，所授内容为苏教版数学三年级下册的《认识分数》。本堂课的重点之一是使学生理解“平均分”、弄清楚“谁是谁的几分之一”等概念。而此前的教学中，学生已经大致理解了平均分，同时也通过了折纸、看视频等活动经历的自己动手的过程。此时，教学设计中再次出现切蛋糕，既是对学生掌握程度的一次检验，同时也有所拓展，而最后出现的情感态度价值观的渗透也是本堂课的一个亮点。
从这个教学片段中，Z老师的教学智慧，把课堂和我们平时看电视时出现的广告紧密的结合在了一起。从生活中发现问题，解决问题，也帮助学生能够更加深刻的理解本堂课的重点，突破难点于无形之中。而从数学课堂渗透德育知识，也是Z老师高明之处，从生活中发现素材，渗透知识，将课堂放回生活中，既学习知识，又使学生了解分享的快乐，渗透德育。
在此部分片段中，我们看得出Z老师又一次强调了“平均分”的概念，同时也强化了“八分之一”、“二分之一”的实际意义还辨析了“九分之一”的正误，再次强调出现几分之一的前提是所有部分“平均分”。所以，我们不难发现在巩固部分再次出现“数形结合”既是巩固提高，同时也是一个渗透升华的过程。
此外，通过对教材的研究，研究者发现在练习题中出现数形结合往往有一下两种原因：
（1）测试基本概念的掌握，如给出一张几何图形，里面平均分成几个部分，学生写出涂色部分占全部的几分之几，或反之，给出分数，学生在图中涂色。
（2）较难应用题的提醒，给学生台阶，帮助学生理解各个量之间的关系，帮助学生解答。
（五）分数数形结合的教学效果
前面提到数形结合的作用和老师对于数形结合的重视程度，但是最后落到实处的还是得看学生的掌握和应用程度。对此，研究者对C小学的两个平行班98名同学进行了问卷调查。值得一提的是两个班同学所填写的问卷只有一题略有不同， A班的问卷该应用题有简要的实物图（即数形结合组，下简称A组），为对照组；而B班则只有文字（即有数无图组，下简称B组）。
如图：在一个空量杯中倒入水600克，倒入的水占这个杯子的 ，如果把这个杯子倒满，还要倒入水多少克？
要求：你能用几种方法解决上面的问题，请分别写出来。(请你尽量可能写的详细一些，让老师能看懂你是怎样想的。)
从这题中，我们通过对比发现，A组（即有数形结合的问题情境）有36名同学能正确解题，并且大多数同学的解法都在两种以上，更有个别学生写出了三、四种解法。而答错的9名同学中，经过分析发现有6人是在解答第二、三种解法时才出现了错误。说明有图的辅助对于学生解决问题、拓展思维，有不小的作用。而在B组（即有数无图组）学生的答案中，我们发现正确率大大降低，仅有13人回答正确，答对十三人中也只有四五人写出了两种以上的解法。具体正确率情况如下表：
A、B两组正确率统计表
正确人数 正确人数比例 错误人数 错误人数比例
A组 36 80% 9 20%
B组 13 31% 29 69%
图表 12
通过对错误解法的分析，研究者发现学生大多错误集中在把600g看成了量杯的容积，直接拿600乘以一减八分之三的差，另一种典型错误是学生去求了量杯的体积，而非再倒入水的量，算到了1600没有再去减去600。而以上两种错误做法，如画图解答，非常容易避免。
之前我们提到在问卷中有53.06%的同学遇到难题是会画图进行分析，这个比例看似超过一半，但是当真正出现难题时，无图组的四十几名同学中仅有3人想到了先画出符合题意的图进行分析。这说明学生画图的意识还需要增强，使这种数学方法成为一种好的习惯能够灵活使用，而这也会使他们受益终身。
五、存在的问题
（一）教材处理中关于分数数形结合的体现不足
尽管在数学课程标准中，我们发现对于学生数感、几何直观、空间观念等的发展十分重视的，非常注重数形结合思想的渗透和学生的“数”与“形”结合意识的培养。而这些这些思想在教材中的体现却远远不够。
就苏教版数学教材而言，其编写主要以知识内容的难易作为框架体系建构的梯度，“数形结合”思想方法在教材中贯穿，但并未专题介绍。因此，老师对数形结合的教学具有一定的随意性，其教学效果也主要依赖于教师的理解程度。若个别老师更重视结果，而非解题的过程则数形结合思想的渗透相对较少。有些老师在实际教学中往往更重视运算能力和逻辑能力的培养，而弱化作图等数学思想，从而导致学生的作图能力较弱，对图形直观性理解概念的学习能力不强。
此外，在苏教版教材中部分例题中所出现的实物表征离学生的生活实际有一定的距离，从而导致学生不能完全理解。或者说未能拉近与学生的距离，做到“从生活中来，到生活中去”。
如五年级下册教材中有这样一道例题：
例1：明桥小学有一块长方形试验田，其中 种黄瓜， 种番茄。种黄瓜和种番茄的面积一共占这块地的几分之几？
该例题中提到了“长方形试验田”，研究者猜测该题出现的主要目的是让学生能联想到生活中的农田，让学生对它有大概的印象从而帮助学习并且产生兴趣。但是就当下大多城市、乡镇学生而言，大多数学生在日常生活中已经看不到农田了，所以在学生的脑海中并没有一个直观的表象。研究者就此专门做了一个小调查，被试五六年级的同学大多数表示仅在出游途中看到过农田，并未一直在在日常生活中出现。诚然，由于城市化和城镇化的进程不断加快，生活中农田越来越少，曾经的农田已经逐渐被高楼所取代，所以这就不得不提到教材的与时俱进了。或许，在数十年之前此例题还十分贴近小学生的日常生活，但是随着人们生活方式、生活习惯和生活场所的改变，很多东西已经很少出现。这就要求为了体现新课标中“贴近生活”的理念，教材也需要与时俱进。
（二）教师关于分数数形结合的重视不够
研究者通过查阅相关教学设计、文献和师生的调查中，反映出当下很多老师对“数形结合”的重视程度有待提高，也尚未能在教学中合理、适时穿插这一思想，这一结果从教师问卷的分析中也可以看出。很多教师仍旧是完全顺着书本顺序来，但又不能完全领会新课标和教材的精神，书上有什么便说什么，书上出示哪副图便就图而教，未能把脱离教材，使其成为教师教学的工具材料，更好的辅助教师的课堂教学。
总的来说，从调查中我们发现教师的数形结合意识、倾向性和习惯性较弱，不能很好的将这一思想为其所用，从而导致学生在向师性的引导下也数形结合能力也较弱。极少数老师的画图能力也不过关。
从教师的角度看，我们不难发现许多老师在教学中具有很大的随意性和盲目性，不能合理、适时的穿插数形结合的系统教育，提供合适的图例帮助学生理解数形结合的意义。很多老师只是按照书本的流程走，而非有自己的独立思考和理解，有效穿插分数中各种概念的几何意义。相关材料的处理也缺乏合理，使用不当，从而未达到相应的教学效果。
而个别访谈中，我们发现新老教师对于数形结合的态度和理解也有细微差异。经验丰富的老教师相对更加重视在课堂中穿插数形结合的例子，在教学中会设计一些让学生动手的经历数形结合的活动。而一些刚入职的新教师则更多的根据教材编排和教学参考用书中的教案安排教学过程，数形结合的自主性较差，教学效果也相较前者有所欠缺，在数形结合的运用上往往是为了活动而活动，并未真正明确数形结合在学生思维发展和能力培养上的重要作用。
而在课后的习题处理中，老教师往往会更倾向于学生在题目理解过程中画出相应的图，从而将文字转化为图，更好的理解文意，帮助学生解题。而新教师往往并不会特别重视这方面的引导，做题的目的仅仅是做出结果，而并未将该题作为一次数形结合能力培养的过程。
（三）数形结合的效果亟待提高
就数形结合的效果而言，通过观察和问卷结果的分析，发现虽然大多数学生都认为数形结合思想对理解题目、解答问题有帮助。但是，真正做起来，仅有个别学生会利用这一思想解答问题，使“数形结合”思想成为一种习惯。以学生调查问卷中无图组为例，在题目较为复杂但不提供图示的前提下，仅有两三位同学会想到将题意转述为相应的图表再进行解答，这说明他们尚未明了图像表征在较复杂题目的优势，并不能将“数形结合”思想为己所用。
此外，通过调查问卷其他作图题的观察分析，我们发现学生的作图能力有待提高。很多时候学生画图不能表达题目本意，我们很多次发现学生在作图时有反复修改的情况，最后还是没能做出理想的图，一气之下全部涂掉。很多做图的要求和注意点学生也并未做到，如画直线时需要用到直尺、在平均分时注意等距等。
而在测试学生是否了解分数相应概念的几何直观时，仅有小半同学能画出对应的图。这说明教师在教授知识时更加注重学生掌握知识的结果，而对于概念的演变过程和知识的获取过程鲜有说明，又或是老师并未强调，导致学生一带而过并未深究其过程，从而导致学生在实际运用中脑海中缺乏相应的直观的图像表征，从而在遇到相应问题时不能切中要点，而仅停留在文字层面。
六、对策与建议
（一）教材：尊重儿童认知规律，呈现多样化知识表征
教材是学生知识学习和技能掌握的主要来源，教材的倾向性和侧重点的不同往往会对学生的知识掌握起着十分重要的作用，所以教材的地位和重要性就不言而喻了。同时它也是教师备课的主要依据，它也能为教师的教学设计起着指引性的作用，所以，教材的取向也从间接影响着教师的理念和课堂的效果。
从总体来看，教材的编排和各部分知识的表征方式还是比较符合学生的认知特点和思维习惯的。而经过对低、中、高不同年级段进行内容分析，我们会发现中低年级中图像表征的使用较为广泛，而高年级由于学生的思维认知有所发展而相对较少。但是通过问卷测试，普遍发现六年级学生对分数除法的算理仅停留在符号表征，仅有少数同学能根据算式画出相应的图。这是由于六年级课本中图像表征急剧减少。所以，我们还是建议在高年级课本中对于重要的知识和关键的算理将其图像表征予以保留。既让学生对算理有更清晰的了解，同时也对后面的知识奠基，体现由扶到放的过程。
此外，纵观苏教版数学教材分数部分内容，有些内容的图像表征脱离了学生的生活实际，略显过时，学生也无法直接从图的表征中将其中算理和他们生活实际结合起来，从而为学生提供知识体验和学习知识的经历过程。所以再次教材修订的时候可对此类内容的去留予以商榷，并重新加入新的符合学生生活实际的相应表征，使学生在生活中学习数学，在学习数学中体会生活，而这同时也是新课程标准的理念之一。
我们发现在一节课中往往只出现一、两种图像表征方式，所以研究者认为对一道例题或一个概念的理解是否能进行多种表征的呈现。从多个角度理解题意、体会算理，帮助学生的思维发展。这既让学生感受找数学的解题方法并不唯一，从而启发他们在解题时能从多个角度思考问题；此外，这种做法对于注意力相对无法集中的小学生来说也是激发他们兴趣的有效途径。这样既帮助学生充分、全面、多角度的深刻理解，又能间接渗透数形结合思想的重要意义。
而这样的呈现方式同时也能在潜移默化中提高学生的数形结合能力，为学生的数形结合的表达提供素材，为他们日后自己利用数形结合解决问题起到了很好的示范作用。
（二）教师：正确理解数形结合教学意义，重视学生数形结合能力的培养
学生数形结合能力的强弱取决于他在学习的过程中接触的关于数形结合知识的数量和运用方式，而这些最终都是由教师本身的数形结合能力所决定。所以教师在平时课堂中对“数形结合”内容的渗透就尤为重要。教师可以从以下几个方面加深对数形结合内容的渗透：
1.重视课标的解读和领会，正确理解数形结合的重要性。
2.重视教学设计和课堂教学中的渗透。教师有目的进行数形结合的专项训练，并对相应题型进行总结分析从而概括出一般规律。
3.合理利用教学资源、善于发掘生活中的相关资源辅以教学。把数形结合作为培养学生形象思维、逻辑能力的方法之一。在形成知识的过程中，突出直观的辅助作用，创设合理的情境、设置有效的课堂活动和动手操作环节，让学生的多种感官融入到探究和学习过程中，使观察、操作、思考等的有机结合，从而激发学生多向思维。
4.重视教师的示范作用，合理利用学生的向师性渗透数形结合习惯。
5.重视做图的标准性和多样性，起到良好的示范作用。在运用数形结合理解概念和解决问题的过程中养成良好的学习习惯。从而加深对数形结合的理解。如果教师在教学中画图方式灵活多变，不仅能拓宽学生思维和眼界，而且能让学生从中选择自己喜欢的画图方式，使画图不仅是一种解题手段而且也是一种乐趣。这种做法可以使学生真正理解数与形的意义，而不是简单的复制模仿，而是能创造性的运用已有的知识解决问题。
由于，小学生获得知识的主要方式还是通过教师，教师在上述这些方面的教育对学生是否能养成数形结合习惯、培养数形结合能力有着尤为至关的作用，因此教师只有加强自身才能达到培养学生数形结合能力作用。
（三）学生：加强应用，养成数形结合的习惯
数形结合是一种典型的数学思想，但是落实到学生的实际应用中就是把这种脑海中的数形结合思想转化为实际的数学解题方法，即用画图的方法理清题意或算理，从而解决较复杂的代数问题。
此外，学生作为学习的主体，应发挥其主动性。不仅知其然，而且知其所以然。将教师所传授的内容慢慢咀嚼，切勿囫囵吞枣。对课堂中图像的表征并不仅限于好奇与兴趣，而更应具有探究精神。将课堂上老师所讲的方法不断质疑、不断反思、不断迁移、不断应用，并合理利用于平时解题和平时生活中。只有真正运用过之后才能更清楚各表征方式的不同特点和不同优势，总结出自己的心得和解题规律，这样才能在碰到此类问题时更加游刃有余，对数形结合也有更深的理解，从而具有与之前不同的倾向性。
在平时练习中，不应是做出了答案便大功告成，而是能够进一步思考是否能运用不同的方法解出答案，将画图也作为一个解题方法之一。通过不同解法之间的比较，学生在主观上会有更喜欢或更加适合自己的方法，而那时学生对于数形结合的理解也会更近一步，不仅限于老师们的口头表述。这也能帮助学生的知识迁移，在以后遇到类似问题时能第一时间联想到相应办法。
此外，学生也要注重自己好的学习方法和学习习惯的养成，及时归纳，定期总结。学生还应更加重视作图能力和图像解读能力的培养，进而提高了学生的数学思维能力和转化能力，达到数形统一，获得运用数形结合的好习惯。
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部：《数学课程标准》，北京师范大学出版社，2011年。
[2] 郭淑莉：《浅谈对中小学数学思想方法的认识》[D]，河南大学，2011。
[3] 葛梅芳：《关于高中生数形结合思想理解的研究》[D]，华东师范大学,2009。
[4] 罗新兵：《数形结合的解题研究：表征的视角》[D]，华东师范大学，2005。
[5] 丁杭缨：《给学生一个立体的“数学”——例谈“数形结合”》[J]，《人民教育》,2010年第7期第39到42页。
[6] 沈超：《数形结合，从“方法”到“思想"的飞跃》，《云南教育·小学教师》，2007年第10期。
[7] 王彦伟，丁雁玲:《数形结合思想在小学数学教学中的应用》[J]《中小学数学(小学版)》,2008年第11期第9到13页。
[8] 汪渭芳：《“数形结合”天地宽——数形结合思想在小学数学教学中的渗透与应用》[J]，《小学教学参考》,2010年第17期第30到31页。
[9] 刘爱众：《在小学数学教学中渗透数形结合思想》，《考试周刊》，2011年第9期。
[10] 鲁浩：《让数形结合也成为一种数学学习习惯》，《教育科学论坛》，2008年第2期第40到41页。
[11] 王道英:《浅谈数形结合思想教学》，《学知报》，2010年第11期第15页。
[12] 王海鹞：《关于小学数学课堂中数形结合教育的调查研究》[D]，浙江师范大学，2011年。
[13]雷子东,季迅群:《让“数”与“形”和谐交融―小学教师在“数与代数”领域中运用“数形结合”情况调查报告》，《全国小数会第十三届年会浙江省参评论文》2006年第11期。
[14] 邹坚：《对初中学生“数形结合”能力的调查研究》[D]，华东师范大学，2004。
[15]郑大明：《数形结合的迷失与崛起——小学生数形结合能力调查研究活动掠影》[J]，《教育科学论坛》,2008年第2期第39到40页。
附 录
数形结合在小学数学教学中的现状的问卷调查（A）
亲爱的同学们，你们好! 为了了解同学们运用数形结合的能力，请同学们
认真回答下面的问题。感谢你的支持和配合！
l、你觉得图形与文字相配合对于理解题目有帮助吗?( )
A有 B没有 C无所谓
2、你会借助图形来分析题目吗?( )
A经常 B偶尔 C没有
3、当你在解决问题的过程中遇到困难的时候，你会借助什么?( )
A请教老师或同学 B画图分析 C其他
4、如图：在一个空量杯中倒入600克水，占到这个杯子的 ，如果把这个杯子倒满，还要倒入多少克水？
要求：你能用几种方法解决上面的问题，请分别写出来。(请你尽量可能写的详细一些，让老师能看懂你是怎样想的。)
5、请说出下面图形所表达的意思：
15÷4=3…3
6、根据算式在下面的方框里画图：
数形结合在小学数学教学中的现状的问卷调查（B）
亲爱的同学们，你们好! 为了了解同学们运用数形结合的能力，请同学们
认真回答下面的问题。感谢你的支持和配合！
l、你觉得图形与文字相配合对于理解题目有帮助吗?( )
A有 B没有 C无所谓
2、你会借助图形来分析题目吗?( )
A经常 B偶尔 C没有
3、当你在解决问题的过程中遇到困难的时候，你会借助什么?( )
A请教老师或同学 B画图分析 C其他
4、如图：在一个空量杯中倒入600克水，占到这个杯子的 ，如果把这个杯子倒满，还要倒入多少克水？
要求：你能用几种方法解决上面的问题，请分别写出来。(请你尽量可能写的详细一些，让老师能看懂你是怎样想的。)
5、请说出下面图形所表达的意思：
15÷4=3…3
6、根据算式在下面的方框里画图：
数形结合在小学分数教学中应用研究调查问卷（师）
尊敬的老师：
您好！非常感谢您参与这次问卷调查。本调查问卷为匿名形式，旨在了解数形结合这一数学思想的课堂应用现状，以及数形结合的应用效果，从而完成相关毕业论文。请您根据教学的实际情况如实填写，每题只能选一个选项，（除标明多选的）若选项中没有符合您实际情况的，可将答案直接写在该题旁边。 真诚地感谢您的支持！
1、您觉得在分数教学部分中有必要渗透数形结合思想吗？
A很有必要 B有必要 C一般 D不太有必要 E没必要
2、您在分数部分教学中对数形结合思想的渗透________。
A 非常多 B比较多 C不确定 D 偶尔 E 没有
3、您在分数部分教学中重视数形结合思想的渗透吗？
A非常重视 B重视 C一般 D不太重视 E不重视
4、您在分数部分教学设计中是否有相关数形结合？
A非常多 B比较多 C一般 D不太多 E很少
5、在上课时您通常会采用何种方式数形结合？ （多选）
A.黑板画图 B. 图片出示???C. 投影 D多媒体课件 E实物展示 F其他______
6、您认为哪种方式的数形结合学生知识掌握的更好？（多选）
A.黑板画图 B. 图片出示???C. 投影 D多媒体课件 E实物展示 F其他______
7、在您的课上您是否运用数形结合帮助学生理解分数的意义、算法及算例等？
A.经常?? ?B.较常?? C一般 D.很少 E.从不
8、您觉得在上哪一类型的课时，数形结合对学生的辅助作用更大？
A.数与代数???B.空间与几何??C.概率与统计 D.综合与实践
9、在对学生课后作业辅导中，您是否时常强调运用画图来解决问题？
A 经常 B较常 C碰到相应问题时才会 D偶尔 E从不
10、如碰到此类题目:“在一个空量杯中倒入600克水，占到这个杯子的 ，如果把这个杯子倒满，还要倒入多少克水？”您会指导学生__________
A主张设X求方程 B先理解题目中各数的数量关系 C先画出符合题意的图 D动手实际操作 E其他_________
11、如碰到此类题目:“一篓苹果分给甲乙丙三人，甲分的全部苹果的 加5个苹果，乙分的全部苹果的 加7个苹果，丙分的其余苹果的 ，最后剩下的苹果正好等于一篓苹果的 ，这篓苹果有多少个？”您会指导学生_______
A先梳理各数之间的数量关系 B先画线段图表达数量关系 C设X求方程 D其他____
再次感谢您能认真填写该调查问卷，我们将认真仔细的记录您所填写的信息，祝您有愉快的一天！
教师访谈提纲
1、您认为在分数教学中渗透数形结合思想有必要吗？ 2、您在平时的教学活动中是否经常渗透数形结合？ 3、您觉得哪部分内容运用数形结合更有效果？ 4、您觉得学生运用画图方法解决问题掌握的如何？ 5、您是否经常强调学生运用画图解决问题？ 6、数形结合的运用对课堂的促进作用如何？ 7、您在平时的教学中通常习惯采用如何方法数形结合？ 8、您觉“数形结合在分数教学中应用的研究”这一课题有何意见和建议？
学生访谈提纲
1、说说你知道哪些数学思想？ 2、你知道数形结合吗？你觉得什么是数形结合？ 3、老师在平时的教学中是否经常强调要用画图来解决问题？ 3、你认为运用画图这种方式解决问题对你学习数学有促进作用吗？ 4、你在平时的做题中会想到用画图的方法吗？ 5、你希望老师在平时的上课中多呈现一些图象吗？ 6、你对接下来的数学学习有什么期望和建议？
致 谢
落笔于此，也意味着我大学四年求学生涯即将结束。一路走来不免磕磕碰碰，在论文完稿之际，回望自己四年的大学生活，也是点滴进步，点滴收获。在此，向所有曾经支持和帮助过我的家人、导师和小伙伴们表示最诚挚的感谢！
首先要感谢我的父母，没有他们也就没有如今的我。每一次在我最无助的时候，家永远是我最温馨的港湾。也是他们的坚持，才我的未来更趋明朗化。
其次，感谢我的导师华红艳。华老师无论是在论文和平时生活中都给我很大的帮助。在我选定论文题目后，华老师抽出宝贵的时间帮我理清脉络；在论文的修改过程中，更是以科学严谨的态度，指导我修改论文。而在平时生活中，我遇到挫折时她也会鼓励我，“仍要像热血青年一样，阳光明媚，积极向上。”至今犹记。在此谨向华老师表示我最衷心的感谢。
与此同时，我还要感谢这四年里教导过我的老师们，感谢他们的对我的培养与指导，在此谨向他们表示深深的敬意。
再次，我要感谢和我一起学习、生活的同学们，为我的大学四年编织了美好的回忆，谢谢他们对我的关心和帮助。在论文的完成过程中，也感谢他们能为我指出论文中的不足，让我能及时改进。
最后要感谢实习、实训学校的领导、老师以及学生的配合，感谢实习时师傅的帮助和指点，使得我的论文的资料收集工作得以顺利完成。
非常感谢四年的大学生活，感谢这个美丽的校园，感谢恩师们，感谢我的家人和那些永远也不能忘记的朋友，你们也将是我一辈子的财富。
由于我的学术水平有限，所写之论文难免有不足之处，恳请各位老师、同学批评和指正！
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:
Key Words：primary school mathematics; symbolic-graphic combination; ?fraction
版权保护: 本文由 hbsrm.com编辑，转载请保留链接: www.hbsrm.com/rwxy/sf/174.html
