高等代数中具有共性问题的研究researchonthecommonproblemsinadvancedalgebra(附
摘 要摘 要我们学习高等代数，不可能像学者们那样研究出新的理论和概念，而是通过对高等代数的知识点进行整理归纳。许多高等代数中的问题看似表象不一样，表现形式不一样，但往往万变不离其宗，其实它们在本质是一样的。高等数学何谓“高等”，就是在我们学的简单数学问题中进行提升，将问题涉及的面更广，问题更有深度。运算、秩、解的问题、空间的分解这四大块都是从简单数学问题的角度来进行推广的。本文通过找出几个具有共性的问题，把共性问题从教材中提出来放到一起，进行对比与分析，通过对比分析相信可以让我们的思路更清晰明了，这样可以帮助我们更好地理解和掌握这些概念及理论，理解得更加透彻，也更好地运用其为计算和证明打好基础，提高我们的学习深度。关键词矩阵；线性变换；线性空间；秩
目录
第一章 绪论 1
1.1 背景介绍 1
1.2 研究的目的和意义 1
第二章 运算 3
2.1 数的运算与高等代数中的运算的异同 3
2.2 行列式的乘法运算与矩阵的乘法运算 4
第三章 秩 6
3.1 联系紧密的秩 6
3.1.1 向量组的秩 6
3.1.2 矩阵的秩 6
3.1.3 二次型的秩 7
3.1.4 线性变换的秩 7
3.1.5 和空间的秩 8
3.2 向量组的极大无关组，齐次线性方程组的基础解系与线性空间的基 8
3.2.1 齐次线性方程组的基础解系 8
3.2.2 线性空间的基 9
第四章 解的问题 10
4.1 Cramer法则的特例 10
4.2 寻找特征值和特征向量的方法 10
4.3 齐次线性方程组的解与线性子空间的交、和空间 12
第五章 空间的分解 13
5.1 数的分解 13
5.2 空间的分解 13
5.2.1 线性变换//的特征多项式//在//中分解 14
5.2.2 空间准素分解 14
5.2.3 循环分解定理 15
5.2.4 复数域C上的若当标准矩阵分解 16
5.2.5 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072#
对//的分解 16
结 论 17
致 谢 18
参考文献 19
第一章 绪论
背景介绍
根据人类社会发展的需求，代数学中多项式成为18世纪至19世纪的主要处理对象，而当时数学领域的研究者们最关心的问题之一是高次多项式的根的计算与分布式。 在1830年的某一天，一名年风华正茂的来自法国的青年数学家伽罗华巧妙地引进“群”的概念，有效解决了关于高次多项式的问题，并且这一举动意味着数学界正式拉开近代代数的序幕。之后，数学家们开始把注意力放到线性方程组和线性变换问题的研究，终于在1841年的德国，一位伟大的数学家建立了行列式的完整的系统理论，这有着里程碑的意义，数学家们纷纷追随这位伟大的数学家的脚步，于是乎行列式、矩阵论、二次型和线性变换的理论如雨后春笋般快速发展起来了，这位伟大的数学家是数学界被公认的最伟大数学家和最勤奋的学者之一CarlGustav Jacob Jacobi(卡尔雅可比)。高等代数发展较缓慢，直到20世纪才被提出来形成数学的独立分支，线性代数学是这些代数工具在现代的统一称呼。随着数学家们的不断努力，高等代数有了质的发展，内容逐渐丰满，逐渐多元化，不仅在数学界扮演着越来越重要的角色。
研究的目的和意义
数学对于整个人类社会是不可缺少的，它时时刻刻影响着我们的生活，我们的生活的方方面面到处都有数学。而高等代数就像是数学广阔的领域里的一座灿烂的灯塔，它发着光照亮了一片广阔的领域，为学者们的研究指引着方向。高等代数不仅是统计学专业一门非常重要的基础课程，更是在整个数学学科本科阶段占有重如泰山的地位。这门课程的内容有着强烈的逻辑性、抽象性和广泛的实用性，因此，好好学习这门课程，可以培养我们的抽象思维、逻辑推理能力，充分提高我们的数学修养。与此同时，高等代数的内容是后续其它专业学科课程的重要基石，学好了它打好了基础，才能更好地学习后来的课程。但是，高等代数这门课的概念、设计理论、定理及其证明都非常繁琐并且十分抽象，计算及证明又依赖于概念和基本理论。因而，如果学好高等代数中的概念和理论就显得尤为重要，概念和基本理论的教学都是整个课程学习的一个重要环节。但往往很多时候，我们在学习高等代数时都会遇到一个问题，那就是老师上课讲的我们都听懂了，但是当我们自己去实践解决问题的时候，往往摸不着头脑，毫无思绪。这个问题就出在我们对概念和理论理解不够透彻，对解答问题的思想方法模糊不清。因此在这里，通过对高等代数的几组具有共性的重要概念和理论放到一起进行对比和分析。通过对比分析相信可以让我们的思路更清晰明了，可以看到很多概念与理论有共性存在，这样可以帮助我们更好地理解和掌握这些概念及理论，理解得更加透彻，也更好地运用其为计算和证明打好基础，提高学习深度。
第二章 运算
我们学习数学以来，刚开始接触的运算都是数的运算，高等代数何谓“高等”，其实就是对我们学的简单问题进行拓展，比如将数的运算拓展到行列式、矩阵、线性变换的运算，它们之间的运算肯定是有共性的，同时也存在个性。
数的运算与高等代数中的运算的异同
数的运算包括加法、减法、乘法、除法、逆、乘方等
数的加法与乘法符合的规律：交换律、结合律与分配律。
让我们再来看看高等代数中的运算。
行列式的运算
行列式其实也是数的运算，对行列式里的数进行初等行变换或初等列变换，使它变成一定形状的行列式，从而计算得到相应的值。由于行列式与行列式之间的加法需要满足严格的条件，在高等代数里也没有用到，因此，不去探讨行列式之间的加法。行列式有乘法，包括数乘、行列式与行列式之间的乘法。乘法满足交换律与结合律。
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第一章 绪论 1
1.1 背景介绍 1
1.2 研究的目的和意义 1
第二章 运算 3
2.1 数的运算与高等代数中的运算的异同 3
2.2 行列式的乘法运算与矩阵的乘法运算 4
第三章 秩 6
3.1 联系紧密的秩 6
3.1.1 向量组的秩 6
3.1.2 矩阵的秩 6
3.1.3 二次型的秩 7
3.1.4 线性变换的秩 7
3.1.5 和空间的秩 8
3.2 向量组的极大无关组，齐次线性方程组的基础解系与线性空间的基 8
3.2.1 齐次线性方程组的基础解系 8
3.2.2 线性空间的基 9
第四章 解的问题 10
4.1 Cramer法则的特例 10
4.2 寻找特征值和特征向量的方法 10
4.3 齐次线性方程组的解与线性子空间的交、和空间 12
第五章 空间的分解 13
5.1 数的分解 13
5.2 空间的分解 13
5.2.1 线性变换//的特征多项式//在//中分解 14
5.2.2 空间准素分解 14
5.2.3 循环分解定理 15
5.2.4 复数域C上的若当标准矩阵分解 16
5.2.5 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072#
对//的分解 16
结 论 17
致 谢 18
参考文献 19
第一章 绪论
背景介绍
根据人类社会发展的需求，代数学中多项式成为18世纪至19世纪的主要处理对象，而当时数学领域的研究者们最关心的问题之一是高次多项式的根的计算与分布式。 在1830年的某一天，一名年风华正茂的来自法国的青年数学家伽罗华巧妙地引进“群”的概念，有效解决了关于高次多项式的问题，并且这一举动意味着数学界正式拉开近代代数的序幕。之后，数学家们开始把注意力放到线性方程组和线性变换问题的研究，终于在1841年的德国，一位伟大的数学家建立了行列式的完整的系统理论，这有着里程碑的意义，数学家们纷纷追随这位伟大的数学家的脚步，于是乎行列式、矩阵论、二次型和线性变换的理论如雨后春笋般快速发展起来了，这位伟大的数学家是数学界被公认的最伟大数学家和最勤奋的学者之一CarlGustav Jacob Jacobi(卡尔雅可比)。高等代数发展较缓慢，直到20世纪才被提出来形成数学的独立分支，线性代数学是这些代数工具在现代的统一称呼。随着数学家们的不断努力，高等代数有了质的发展，内容逐渐丰满，逐渐多元化，不仅在数学界扮演着越来越重要的角色。
研究的目的和意义
数学对于整个人类社会是不可缺少的，它时时刻刻影响着我们的生活，我们的生活的方方面面到处都有数学。而高等代数就像是数学广阔的领域里的一座灿烂的灯塔，它发着光照亮了一片广阔的领域，为学者们的研究指引着方向。高等代数不仅是统计学专业一门非常重要的基础课程，更是在整个数学学科本科阶段占有重如泰山的地位。这门课程的内容有着强烈的逻辑性、抽象性和广泛的实用性，因此，好好学习这门课程，可以培养我们的抽象思维、逻辑推理能力，充分提高我们的数学修养。与此同时，高等代数的内容是后续其它专业学科课程的重要基石，学好了它打好了基础，才能更好地学习后来的课程。但是，高等代数这门课的概念、设计理论、定理及其证明都非常繁琐并且十分抽象，计算及证明又依赖于概念和基本理论。因而，如果学好高等代数中的概念和理论就显得尤为重要，概念和基本理论的教学都是整个课程学习的一个重要环节。但往往很多时候，我们在学习高等代数时都会遇到一个问题，那就是老师上课讲的我们都听懂了，但是当我们自己去实践解决问题的时候，往往摸不着头脑，毫无思绪。这个问题就出在我们对概念和理论理解不够透彻，对解答问题的思想方法模糊不清。因此在这里，通过对高等代数的几组具有共性的重要概念和理论放到一起进行对比和分析。通过对比分析相信可以让我们的思路更清晰明了，可以看到很多概念与理论有共性存在，这样可以帮助我们更好地理解和掌握这些概念及理论，理解得更加透彻，也更好地运用其为计算和证明打好基础，提高学习深度。
第二章 运算
我们学习数学以来，刚开始接触的运算都是数的运算，高等代数何谓“高等”，其实就是对我们学的简单问题进行拓展，比如将数的运算拓展到行列式、矩阵、线性变换的运算，它们之间的运算肯定是有共性的，同时也存在个性。
数的运算与高等代数中的运算的异同
数的运算包括加法、减法、乘法、除法、逆、乘方等
数的加法与乘法符合的规律：交换律、结合律与分配律。
让我们再来看看高等代数中的运算。
行列式的运算
行列式其实也是数的运算，对行列式里的数进行初等行变换或初等列变换，使它变成一定形状的行列式，从而计算得到相应的值。由于行列式与行列式之间的加法需要满足严格的条件，在高等代数里也没有用到，因此，不去探讨行列式之间的加法。行列式有乘法，包括数乘、行列式与行列式之间的乘法。乘法满足交换律与结合律。
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