数值微分方法及其应用(附件)【字数：8373】
摘 要摘 要在研究经典物理数学过程中，学者们通常研究适定性问题。什么叫作适定问题？满足接下来的三个要求的问题被叫做适定问题第一，解是存在的；第二，解是唯一的；第三，解连续地依附定解条件。只要同时符合这三个条件，那么这个问题就是适定问题。值得注意的是，要是只不满足条件3，则它被称为Hadamard意义下的不适定问题。数值微分很明显等于在Hadamard意义下的不适定问题。丈量过程中发生细小误差都很有可能造成数值成果的误差变大。我们是有一些办法来解决这些问题的。在本篇论文中，主要讨论的就是能够有效解决数值微分问题的几种方法，并且做出了详细的方法阐述。任何一个方法的最终目的都是希望得出一个较为精确的数值结果。在本篇论文中介绍的几个基本的方法，如差分型数值微分、插值型数值微分、数值积分求数值微分、Richardson外推法。最后通过对每一种方法的计算，来证实运用这些方法计算出的数值都可能达到预期计算结果的精度的。关键词差分型数值微分；插值型数值微分；数值积分求数值微分；外推法求数值微分
目 录
第一章 绪 论 1
1.1 数值微分的研究背景 1
1.2 数值微分的研究现状 1
1.3 本文的主要工作 2
第二章 数值微分的基本方法 3
2.1 预备知识 3
2.2差商型数值微分 4
2.2.1差商型数值微分定义 4
2.2.2 差商型数值微分实例 5
2.3 插值型数值微分 6
2.3.1插值型数值微分定义 6
2.3.2 插值型数值微分实例 8
2.4 数值积分求数值微分 9
2.4.1 数值积分法定义 9
2.4.2 数值积分法实例 10
2.5 Richardson外推法 10
2.5.1 Richardson外推法定义 10
2.5.2 Richardson外推法实例 12
第三章插值方法求解数值微分 13
3.1 三转角方程求解数值微分 13
3.1.1三转角方程 13
3.1.2运用三转角求数值微分实例............ *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
........15
3.2 三弯矩方程求解数值微分 17
3.2.1 三弯矩方程 17
3.2.2 三弯矩样条方法求数值微分...19
3.2.3三弯矩求二阶导数实例.21
3.3 Lagrange插值求数值微分..20
3.3.1 Lagrange插值定义...20
3.3.2 线性插值和二次插值........21
3.3.3 Lagrange插值求一阶导数二阶导数实例23
附录 24
总结 28
致谢 29
参考文献 30
第一章 绪 论
在我们日常生活中，经常需要对函数进行求导数。但是，我们可能只知道函数在某些离散点上的函数值，又或者知道函数的解析式，这些用一般数学方法来求导是有些困难的。那么碰到这种求导问题，我们不需要对函数直接求导，而是通过计算数值的方法近似地求出函数这些点上的导数值，这类方法就是本篇论文接下来要讨论的主题——数值微分。第一步，我们先来简介数值微分的研究背景，研究的近况和主要内容。
1.1 数值微分的研究背景
数学分析中的运用到的基本概念就有导数。在数学研究人眼里，计算导数是没有一点难度的。然而，在研究到实际问题时，会出现不太好计算的导数，对于科学研究工作者来说，要寻求一种方法来求解导数，这样将这个复杂的问题进行了简化。第一，求导数过程中经常遇到的题目是Hadamard定义下的不适定问题，与所有丈量中的小的误差，都可能造成最后极大偏差的结果。第二，通常获得的数据只是在离散点上含有误差的数值，并且这些数值又不能用解析表达式来表示；哪怕能够用解析表达式表达，但复杂的表达式，不能被运用到现实计算当中。所以，为了克服上面提到的难题，就诞生了一些求导数的类似方法——数值微分法。
数值微分的重要内容是数值逼近的，它的一个直观应用就是插值函数，数值微分问题通常也会出现在研究和工程中。比如，求解Abel积分方程的问题；分析化学测验中的数据的波峰分离问题；解决图像过程中的不持续点的确定问题以及地表变形观测问题等等。正是这类问题有着既广泛又重要的应用，所以引起了全世界学者来研究这些问题，并且在这一问题上也取得了快速的进步。
1.2 数值微分的研究近况
目前解决数值微分问题有许多方法。诸如，差分法、插值法、外推方法、代数精度方法等等，这些方法都是常用方法，尤其是当被求导的函数能够精准地给出时让人欣慰的成效。然则关于外推法求数值微分问题，是通过提高数值微分的准确计算精度并加速收敛，又由于积分的逆运算是微分，所以求数值积分已有一系列完善的计算要领，而今又有很多学者操纵数值积分的方法实现了向数值微分的转化的目的，特别是运用积分算子来制作近似导数的方法。伴随着对数值微分的不断深入研究，在采用求解数值微分的方法也有着不断的变化，误差的精度也在不断地减小，在研究的过程中，学者们始终按照误差趋近于零的目的在寻找近似方法。所以对于数值微分问题就有了以上的各类方法。而当今研究数值微分的主要要领便是就是正则化方法。在正则化方法中，非常重要的课题就是正则化参数的选取。选择好坏的正则化参数将直接影响到正则化解和精确解的误差巨细。在各种对数值微分研究的著作里都对正则化方法的几大因素做出了详细的论述，提高正则化方法求解的高效性。而且数值微分的研究不仅仅只局限于数学领域当中，更重要的是利用研究数值微分可以解决一些实际生活当中的问题。如，地表变形观测中数据的分析处理问题、地下水的寻找问题、计算机层析成像问题等，数值微分在其中都有着举足轻重的作用。
1.3 本文的主要工作
本文首先诠释数值微分的定义，和为什么要运用数值微分方法来解决求导问题，再接着简单介绍数值微分的基本思想和基本方法，并且在这基础之上，相对利用三弯矩和三转角的方程求解数值微分问题。在应用数值微分问题的同时，也用实际数值对所介绍的方法进行了验证，检测自己所介绍的方法在求解数值微分时是否能达到我们预期设想的结果。通过对被插函数和精确函数的误差求解，可以充分的体现运用这些方法可以更好的解决数值微分问题。在这之后，通过这些方法来解决实际研究中的数值微分问题，即数值微分的应用。经实验证实数值微分在现实研究中有着极度重要的作用。
目 录
第一章 绪 论 1
1.1 数值微分的研究背景 1
1.2 数值微分的研究现状 1
1.3 本文的主要工作 2
第二章 数值微分的基本方法 3
2.1 预备知识 3
2.2差商型数值微分 4
2.2.1差商型数值微分定义 4
2.2.2 差商型数值微分实例 5
2.3 插值型数值微分 6
2.3.1插值型数值微分定义 6
2.3.2 插值型数值微分实例 8
2.4 数值积分求数值微分 9
2.4.1 数值积分法定义 9
2.4.2 数值积分法实例 10
2.5 Richardson外推法 10
2.5.1 Richardson外推法定义 10
2.5.2 Richardson外推法实例 12
第三章插值方法求解数值微分 13
3.1 三转角方程求解数值微分 13
3.1.1三转角方程 13
3.1.2运用三转角求数值微分实例............ *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
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3.2 三弯矩方程求解数值微分 17
3.2.1 三弯矩方程 17
3.2.2 三弯矩样条方法求数值微分...19
3.2.3三弯矩求二阶导数实例.21
3.3 Lagrange插值求数值微分..20
3.3.1 Lagrange插值定义...20
3.3.2 线性插值和二次插值........21
3.3.3 Lagrange插值求一阶导数二阶导数实例23
附录 24
总结 28
致谢 29
参考文献 30
第一章 绪 论
在我们日常生活中，经常需要对函数进行求导数。但是，我们可能只知道函数在某些离散点上的函数值，又或者知道函数的解析式，这些用一般数学方法来求导是有些困难的。那么碰到这种求导问题，我们不需要对函数直接求导，而是通过计算数值的方法近似地求出函数这些点上的导数值，这类方法就是本篇论文接下来要讨论的主题——数值微分。第一步，我们先来简介数值微分的研究背景，研究的近况和主要内容。
1.1 数值微分的研究背景
数学分析中的运用到的基本概念就有导数。在数学研究人眼里，计算导数是没有一点难度的。然而，在研究到实际问题时，会出现不太好计算的导数，对于科学研究工作者来说，要寻求一种方法来求解导数，这样将这个复杂的问题进行了简化。第一，求导数过程中经常遇到的题目是Hadamard定义下的不适定问题，与所有丈量中的小的误差，都可能造成最后极大偏差的结果。第二，通常获得的数据只是在离散点上含有误差的数值，并且这些数值又不能用解析表达式来表示；哪怕能够用解析表达式表达，但复杂的表达式，不能被运用到现实计算当中。所以，为了克服上面提到的难题，就诞生了一些求导数的类似方法——数值微分法。
数值微分的重要内容是数值逼近的，它的一个直观应用就是插值函数，数值微分问题通常也会出现在研究和工程中。比如，求解Abel积分方程的问题；分析化学测验中的数据的波峰分离问题；解决图像过程中的不持续点的确定问题以及地表变形观测问题等等。正是这类问题有着既广泛又重要的应用，所以引起了全世界学者来研究这些问题，并且在这一问题上也取得了快速的进步。
1.2 数值微分的研究近况
目前解决数值微分问题有许多方法。诸如，差分法、插值法、外推方法、代数精度方法等等，这些方法都是常用方法，尤其是当被求导的函数能够精准地给出时让人欣慰的成效。然则关于外推法求数值微分问题，是通过提高数值微分的准确计算精度并加速收敛，又由于积分的逆运算是微分，所以求数值积分已有一系列完善的计算要领，而今又有很多学者操纵数值积分的方法实现了向数值微分的转化的目的，特别是运用积分算子来制作近似导数的方法。伴随着对数值微分的不断深入研究，在采用求解数值微分的方法也有着不断的变化，误差的精度也在不断地减小，在研究的过程中，学者们始终按照误差趋近于零的目的在寻找近似方法。所以对于数值微分问题就有了以上的各类方法。而当今研究数值微分的主要要领便是就是正则化方法。在正则化方法中，非常重要的课题就是正则化参数的选取。选择好坏的正则化参数将直接影响到正则化解和精确解的误差巨细。在各种对数值微分研究的著作里都对正则化方法的几大因素做出了详细的论述，提高正则化方法求解的高效性。而且数值微分的研究不仅仅只局限于数学领域当中，更重要的是利用研究数值微分可以解决一些实际生活当中的问题。如，地表变形观测中数据的分析处理问题、地下水的寻找问题、计算机层析成像问题等，数值微分在其中都有着举足轻重的作用。
1.3 本文的主要工作
本文首先诠释数值微分的定义，和为什么要运用数值微分方法来解决求导问题，再接着简单介绍数值微分的基本思想和基本方法，并且在这基础之上，相对利用三弯矩和三转角的方程求解数值微分问题。在应用数值微分问题的同时，也用实际数值对所介绍的方法进行了验证，检测自己所介绍的方法在求解数值微分时是否能达到我们预期设想的结果。通过对被插函数和精确函数的误差求解，可以充分的体现运用这些方法可以更好的解决数值微分问题。在这之后，通过这些方法来解决实际研究中的数值微分问题，即数值微分的应用。经实验证实数值微分在现实研究中有着极度重要的作用。
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