直线倒立摆控制系统的设计与仿真LQR控制
目 录
1 绪论 1
1.1 倒立摆系统概述 1
1.2 倒立摆研究的目的与意义 1
1.3 倒立摆系统发展及研究现状 1
1.4 LQR简介 2
2 直线倒立摆系统数学模型建立 2
2.1 直线一级倒立摆系统状态方程推导 2
2.2 系统物理参数 6
2.3 实际系统模型 6
2.4 直线一级倒立摆系统能控性与能观性分析 7
3 直线一级倒立摆系统LQR控制器设计与仿真 10
3.1 线性二次最优控制LQR基本原理及分析 10
3.2 直线一级倒立摆系统LQR控制器设计与仿真 10
4 直线二级倒立摆系统LQR控制器设计与仿真 15
4.1 直线二级倒立摆建模 15
4.2 直线二级倒立摆极点配置控制 20
4.3 实验数据记录与结果分析 23
结 论 25
附 录 26
参 考 文 献 28
致 谢 29
1 绪论
1.1 倒立摆系统概述
倒立摆，不言而喻，简单来说就是让一个摆处于倒置而且不稳定的状态，既然是不稳定地，那么这就需要我们人为地控制从而使倒立摆处于倒置的动态平衡。通过我们自己的不断了解可以知道倒立摆控制系统是一种很特殊的系统，它很不稳定，有多个不同变量，有强耦合性，而且是非线性的[1]。同时综合它的各项性能它无论是进行控制理论教学还是开展多种控制实验的都是很理想的实验平台。可能有些人觉得对倒立摆还是很不理解，那么我们可以把倒立摆系统比较抽象地看做是一种重心在上，支点在下的控制问题，也正是这个特点，让其控制方法在军工、航天 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥3^5`1^9`1^6^0`7^2$
、机器人和一般工业过程等领域中都有很广泛的应用。同时也促进了控制系统新理论以及新思想的发展。
1.2 倒立摆研究的目的与意义
由于倒立摆的各种特殊且很实用的特点，所以科学家们研究倒立摆的各项心梗即有很强的理论意义,同时也赋予了很多实践意义。只要我们细心地观察就会发现很多日常生活中的很多问题都与其有相似性，比如机器人的站立与行走、火箭等飞行器的飞行过程、各种天气云台的稳定[2]。倒立摆在这些领域中的运用有着很重要的现实意义，它的很多相关的科研成果也已经运用到了各种领域。综上所述，这些优点也足够去引起了各国学者的广泛关注，让倒立摆在控制领域研究的成为热门课题之一。
1.3 倒立摆系统发展及研究现状
倒立摆系统本身是由多种技术、多个学科领域相结合起来的。因此它的代表性和广泛性可想而知。而且因为它的一些特殊特性，现在也被学术界当做是一个典型的控制装置来研究。在上世纪中叶对倒立摆 系统的研究就已经开始，起初对倒立摆的研究方向主要在两个方面，一方面是数学建模，另一方面是稳定控制，再后来人们对它摆杆的自动起摆问题也开始了研究。在二十世纪五十时代，麻省理工学院那些专家们通过不断地研究控制理论，发现火箭发射助推器的工作原理和倒立摆工作原理相似，因此由此设计出了最早的一级倒立摆实验装置。随后，人们对其作出了进一步的扩展，也开始对倒立摆有更多的研究。从一开始的单一的倒立摆的基础上，通过研究与发展也创造出了很多其他类型的倒立摆设备。70年代后现代控制理论因受到重视，让其有了快速的发展，之所以在这个时候人们越来越多地关注了倒立摆系统的研究问题，是因为当时出现了多变量的线性系统理论和最优控制理论[3]。80年代后期因为频繁地在倒立摆的稳定控制中被提及，模糊控制理论也逐渐受到人们的重视并在控制理论中占居了重要地位。然而在最近几年的研究过程中，很多科学家们想要选出最好的控制方法，因此他们把倒立摆系统当做实验装置用来检验一些行的控制方法的控制能力以及它们各项其他的性能。
1.4 LQR简介
LQR (linear quadratic regulator)线性二次型 调节器 ,其对象为现代控制理论中用状态空间 形式给出线性的系统[4]。设计出的状态反馈控制器K能让二次目标函数J取到最小值这就是我们常说的LQR最优设计，其中K是由权矩阵Q和R来决定的，所以Q、R的选择至关重要。说LQR理论可以代表控制理论的权威一点也不过分，因为它不仅是控制理论中发展比较早的，而且它的理论进过很多年的完善与发展也已经是较为成熟的一中设计法。
2 直线倒立摆系统数学模型建立
2.1 直线一级倒立摆系统状态方程推导
我们可以抽象地把直线一级倒立摆看成是小车跟均匀质量的杆子组成的一个系统（这里忽略空气阻力一级各种摩擦）如图 2-1 所示。
表2-1 直线一级倒立摆相关假设量
字母 代表的对象
M 小车质量
m 摆杆质量
b 小车摩擦系数
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度
I 摆杆惯量
F 加在小车上的力
x 小车的位置
图 2-1 直线一级倒立摆模型
摆杆与垂直向上方向的夹角
摆杆与垂直向下方向的夹角
图2-2 矢量正方向
根据小车水平方向受的合力，可以列出以下方程：
（2-1）
根据摆杆水平方向的受力情况可以得到下面的等式：
（2-2）
即：
（2-3）
把式（2-3）代入式（2-1）中，求解我们会得到系 统的第一 个运 动方程：
（2-4）
下面如果想得到系统的第二 个运 动方程，我们就需要对摆杆垂 直向上的合 力进行解析，然后可得到下面方程：
（2-5）
（2-6）
力矩平衡方程如下：
（2-7）
注意：这个方程中力矩的方向，由于 所以等 式前面应该有负号。
合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：
（2-8）
设 ,假设 与1（单位是弧 度）的比 很小，也就是说 <<1，那我们就可将其近似处理： 。
我们平常可以用u来代表被 控对象的输 入力F，将上面的两个运动方程线 性化可以得到：
（2-9）
整理后得到传递函数：
（2-15）
其中
设系统状态空间方程为：
（2-16）
cona2=[C*B C*A*B C*A^2*B C*A^3*B];
（4）在实验过程中动摩擦、库仑摩擦等所有摩擦力足够小，可以忽略不计。
1 绪论 1
1.1 倒立摆系统概述 1
1.2 倒立摆研究的目的与意义 1
1.3 倒立摆系统发展及研究现状 1
1.4 LQR简介 2
2 直线倒立摆系统数学模型建立 2
2.1 直线一级倒立摆系统状态方程推导 2
2.2 系统物理参数 6
2.3 实际系统模型 6
2.4 直线一级倒立摆系统能控性与能观性分析 7
3 直线一级倒立摆系统LQR控制器设计与仿真 10
3.1 线性二次最优控制LQR基本原理及分析 10
3.2 直线一级倒立摆系统LQR控制器设计与仿真 10
4 直线二级倒立摆系统LQR控制器设计与仿真 15
4.1 直线二级倒立摆建模 15
4.2 直线二级倒立摆极点配置控制 20
4.3 实验数据记录与结果分析 23
结 论 25
附 录 26
参 考 文 献 28
致 谢 29
1 绪论
1.1 倒立摆系统概述
倒立摆，不言而喻，简单来说就是让一个摆处于倒置而且不稳定的状态，既然是不稳定地，那么这就需要我们人为地控制从而使倒立摆处于倒置的动态平衡。通过我们自己的不断了解可以知道倒立摆控制系统是一种很特殊的系统，它很不稳定，有多个不同变量，有强耦合性，而且是非线性的[1]。同时综合它的各项性能它无论是进行控制理论教学还是开展多种控制实验的都是很理想的实验平台。可能有些人觉得对倒立摆还是很不理解，那么我们可以把倒立摆系统比较抽象地看做是一种重心在上，支点在下的控制问题，也正是这个特点，让其控制方法在军工、航天 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥3^5`1^9`1^6^0`7^2$
、机器人和一般工业过程等领域中都有很广泛的应用。同时也促进了控制系统新理论以及新思想的发展。
1.2 倒立摆研究的目的与意义
由于倒立摆的各种特殊且很实用的特点，所以科学家们研究倒立摆的各项心梗即有很强的理论意义,同时也赋予了很多实践意义。只要我们细心地观察就会发现很多日常生活中的很多问题都与其有相似性，比如机器人的站立与行走、火箭等飞行器的飞行过程、各种天气云台的稳定[2]。倒立摆在这些领域中的运用有着很重要的现实意义，它的很多相关的科研成果也已经运用到了各种领域。综上所述，这些优点也足够去引起了各国学者的广泛关注，让倒立摆在控制领域研究的成为热门课题之一。
1.3 倒立摆系统发展及研究现状
倒立摆系统本身是由多种技术、多个学科领域相结合起来的。因此它的代表性和广泛性可想而知。而且因为它的一些特殊特性，现在也被学术界当做是一个典型的控制装置来研究。在上世纪中叶对倒立摆 系统的研究就已经开始，起初对倒立摆的研究方向主要在两个方面，一方面是数学建模，另一方面是稳定控制，再后来人们对它摆杆的自动起摆问题也开始了研究。在二十世纪五十时代，麻省理工学院那些专家们通过不断地研究控制理论，发现火箭发射助推器的工作原理和倒立摆工作原理相似，因此由此设计出了最早的一级倒立摆实验装置。随后，人们对其作出了进一步的扩展，也开始对倒立摆有更多的研究。从一开始的单一的倒立摆的基础上，通过研究与发展也创造出了很多其他类型的倒立摆设备。70年代后现代控制理论因受到重视，让其有了快速的发展，之所以在这个时候人们越来越多地关注了倒立摆系统的研究问题，是因为当时出现了多变量的线性系统理论和最优控制理论[3]。80年代后期因为频繁地在倒立摆的稳定控制中被提及，模糊控制理论也逐渐受到人们的重视并在控制理论中占居了重要地位。然而在最近几年的研究过程中，很多科学家们想要选出最好的控制方法，因此他们把倒立摆系统当做实验装置用来检验一些行的控制方法的控制能力以及它们各项其他的性能。
1.4 LQR简介
LQR (linear quadratic regulator)线性
2 直线倒立摆系统数学模型建立
2.1 直线一级倒立摆系统状态方程推导
我们可以抽象地把直线一级倒立摆看成是小车跟均匀质量的杆子组成的一个系统（这里忽略空气阻力一级各种摩擦）如图 2-1 所示。
表2-1 直线一级倒立摆相关假设量
字母 代表的对象
M 小车质量
m 摆杆质量
b 小车摩擦系数
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度
I 摆杆惯量
F 加在小车上的力
x 小车的位置
图 2-1 直线一级倒立摆模型
摆杆与垂直向上方向的夹角
摆杆与垂直向下方向的夹角
图2-2 矢量正方向
根据小车水平方向受的合力，可以列出以下方程：
（2-1）
根据摆杆水平方向的受力情况可以得到下面的等式：
（2-2）
即：
（2-3）
把式（2-3）代入式（2-1）中，求解我们会得到系 统的第一 个运 动方程：
（2-4）
下面如果想得到系统的第二 个运 动方程，我们就需要对摆杆垂 直向上的合 力进行解析，然后可得到下面方程：
（2-5）
（2-6）
力矩平衡方程如下：
（2-7）
注意：这个方程中力矩的方向，由于 所以等 式前面应该有负号。
合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：
（2-8）
设 ,假设 与1（单位是弧 度）的比 很小，也就是说 <<1，那我们就可将其近似处理： 。
我们平常可以用u来代表被 控对象的输 入力F，将上面的两个运动方程线 性化可以得到：
（2-9）
整理后得到传递函数：
（2-15）
其中
设系统状态空间方程为：
（2-16）
cona2=[C*B C*A*B C*A^2*B C*A^3*B];
（4）在实验过程中动摩擦、库仑摩擦等所有摩擦力足够小，可以忽略不计。
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