激光腔模的仿真研究
目 录
第1章 综述 1
1.1 本课题的意义 1
1.2 国内外研究概况和各种解法 2
1.3 本文工作重点和研究方法 2
第2章 光腔中的光波模式 3
2.1 光腔的分类 3
2.2 自再现模和衍射积分 4
2.3 横模理论 6
第3章 平行平面腔中的光波模式 6
3.1 Fox-Li迭代法简介 7
3.2 方形镜与分离变量法 7
3.3 一维长条平行平面镜中的自再现模 8
3.4 腔镜倾斜对自再现模产生的微扰 13
3.5 方形与圆形平面镜中的自再现模 15
第4章 对称共焦腔中的光波模式 17
4.1 对称共焦腔简介 17
4.2 共焦腔中的自再现模 18
结 论 22
致 谢 24
参 考 文 献 25
附 录 27
第1章 综述
自从1960年梅曼(Maiman)发明第一台红宝石激光器以来，激光就凭借其非常好的相干性，方向性和高亮度，在各个方面展现出它经久不衰的生命力。激光发明的理论基础最早可以追溯到经典的几何光学和电磁场理论，当今的激光理论主要由衍射积分和受激辐射理论结合而成。衍射积分主要研究谐振腔中的行波场，即激光模式；受激辐射主要研究腔内的阈值特性，即增益与损耗。
光学谐振腔构成激光器必不可少的部件，谐振腔是影响激光模式分布的重要因素，而模式分布又和光束质量密不可分。本章首先介绍研究激光腔中光波模式的重要意义，其次说明研究近况和几种求解光波模式的方法，最后介绍本文研究内容和工作重点。< *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
br /> 1.1 本课题的意义
模式问题在激光技术中，具有极其重要的地位。求解有关激光谐振腔的振荡模式，对于研究激光性能具有明显直观的作用，通过数值计算，可以对现有激光设备进行分析改进，并调整谐振腔参数。另外，研究激光腔模，也能帮助我们理解一些更深层次的物理理论，比如量子跃迁和黑洞理论。
近年来激光技术不断发展，作为激光器选模用的谐振腔，其结构也发生了形形色色的变化，配合各种各样的激励方式，我们很难得到一个适用于所有谐振腔模式的精确解析解。对于各种复杂的谐振腔和激励模式，我们必须采用更加有效的数值计算方法。
1.2 国内外研究概况和各种解法
研究激光模式的问题，归结为求解满足一定条件的菲涅尔-基尔霍夫衍射积分方程[1]，对此博伊德和戈登已对此进行了深刻的数学讨论，他们指出在对称的方形镜和圆形镜中分别有其各自的解析解[5]。
纯数学计算并不能解决所有类型的腔模，就算是能解出来，其复杂的形式分析起来也相当麻烦。和其他类似的物理问题一样，必须使用数值方法对其研究。其中，福克斯与厉鼎毅提出的Fox-Li迭代法[2]最为经典，原则上可对各种形式的空腔进行数值计算与仿真[6]，在此基础上进行的各种研究的有很多[2,7,8]。虽然Fox-Li迭代法应用在较为标准的开腔条件中甚为成功，但由于其难以获得高阶模式，在各种采用新机制的激光器中很难发挥其理论上的效果。为了更好地分析激光器的输出特性，必须寻求其他数值解法来模拟光波模式。
快速傅里叶变换法是数字信号处理中最基础的运算[9]，现已被应用于激光的光波模式计算中[3,10]，快速傅里叶变换可将菲涅尔衍射积分从空域对应到频域来处理，这样可以大为节约运算时间。
除了以上两种比较经典的数值计算方法，针对不同的谐振腔和不同的激励机制，还有许多不同的方法。例如基于特征值分析的传输矩阵法[4]和有限元法[11,12]，基于抛物型偏微分方程的有限差分法[13,14]，基于电磁场理论的时域有限差分法(FDTD)[15]和空间域虚谱法(PSSD)[16,17]等等。
总之，随着数学方法和模拟工具的发展，越来越多的数值模拟方法正在应运而生。掌握不同的数值运算方法，不仅能对简单的对称共焦腔进行模拟，而且可以对各种非稳腔，闭腔，甚至是各种新机制的激光器进行模拟，并分析它们的激光输出特性。
1.3 本文工作重点和研究方法
本文着重对Fox-Li迭代法的讨论，得出各种基本腔型中的光波模式，并对其振幅分布和相位分布进行讨论。其主要应用的数学工具是Matlab，在文章后面附有相关程序代码。
第2章 光腔中的光波模式
2.1 光腔的分类
按照传统的光腔理论，光学谐振腔一般分为开腔、闭腔和波导腔三种。其中最简单的是开腔，按照开腔中光的几何偏折损耗的高低，可进一步分为稳定腔、非稳腔和临界腔。大致分类如图2.1所示。
图2.1 光学谐振腔的分类
无论哪种腔，都将对腔内的光场加以一定的约束。由基本的理论可知，被约束在一定空间范围内的电磁场一般只能存在于一系列的本征态中，每个本征态都具有一定的本征振荡频率和空间分布。通常将谐振腔内可能存在的本征态称之为腔的模式，从量子的观点来看，激光模式就是腔内可能存在的光子状态。
按照电磁理论，腔内的光场应该由麦克斯韦方程组和腔的边界条件共同决定。对于开腔，需要从衍射理论出发，归结为求满足一定条件的衍射积分方程；而对于充满介质的波导腔来说，一般通过直接解麦克斯韦方程组就可以决定其模式。但不管是开腔还是闭腔，只要给定了腔的结构，其振荡模式也就确定下来。即腔与模一般是相对应的关系。
2.2 自再现模和衍射积分
对于一般的开放式光腔，我们可以直接求解一个积分方程来得到其光波模式。
图2.2 开腔中自再现模的形成
(a)理想开腔；(b) 孔阑传输线；(c)自再现模的形成。
为简单起见，我们先考虑光在一对平行平面镜中来回振荡。两块平行的平面镜在光学上称为法布里-珀罗干涉仪，或者直接叫F-P腔。由于这个装置在光学上有相当广泛的应用，所以本文将重点讨论F-P腔中的光波模式。
如图2.2所示，在理想的F-P腔中，光线在平面镜之间来回反射可以等效为光束通过一系列同轴孔径，孔径外是无限大的完全吸收频，即孔阑传输线。模拟对称平面腔时，所有孔径的大小和形状都应该相同。假设初始的入射波是平面波，但光在穿过这一组孔阑传输线时，衍射效应极为明显，也就是说，真正在孔阑传输线中传播的并非是均匀平面波，而是一次次的衍射过程。从图中看出，每次经过一个孔时，波的振幅和相位分布就发生一次改变。
但是，当通过的孔阑数足够多时，衍射对其影响会越来越小，其振幅分布和相位分布不再发生改变，每一次渡越前后仅仅相差一个常数损耗因子。这就是平面腔中的光波模式，也被形象地称作自再现模。很明显，谐振腔具有将某些光波模式去除，只留下不受衍射影响的场分布，这种“筛子”作用就是激光选模的原理，在微观上体现为激光的空间相关性，在宏观上则表明激光的方向性好。
横模，即激光在垂直于传输方向上的场分布，相对应的还有随时间和传输距离变化的纵模，横模与纵模是同一光波模式在不同方向的分解。实际上激光器工作时，输出的光波往往是多种横模同时存在。所以Fox-Li迭代法原则上只是求出多种横模叠加后得到的自再现模。为了描述横模在各个方向上的性质，常常用符号 表示横模。对于方形镜和圆形镜来说，通常规定：m表示光场水平方向或者径向的节点个数，n表示光场在垂直方向或者角向的节点个数。在下文我们将看到，横模的阶数往往是由那些特殊函数来确定的。
第1章 综述 1
1.1 本课题的意义 1
1.2 国内外研究概况和各种解法 2
1.3 本文工作重点和研究方法 2
第2章 光腔中的光波模式 3
2.1 光腔的分类 3
2.2 自再现模和衍射积分 4
2.3 横模理论 6
第3章 平行平面腔中的光波模式 6
3.1 Fox-Li迭代法简介 7
3.2 方形镜与分离变量法 7
3.3 一维长条平行平面镜中的自再现模 8
3.4 腔镜倾斜对自再现模产生的微扰 13
3.5 方形与圆形平面镜中的自再现模 15
第4章 对称共焦腔中的光波模式 17
4.1 对称共焦腔简介 17
4.2 共焦腔中的自再现模 18
结 论 22
致 谢 24
参 考 文 献 25
附 录 27
第1章 综述
自从1960年梅曼(Maiman)发明第一台红宝石激光器以来，激光就凭借其非常好的相干性，方向性和高亮度，在各个方面展现出它经久不衰的生命力。激光发明的理论基础最早可以追溯到经典的几何光学和电磁场理论，当今的激光理论主要由衍射积分和受激辐射理论结合而成。衍射积分主要研究谐振腔中的行波场，即激光模式；受激辐射主要研究腔内的阈值特性，即增益与损耗。
光学谐振腔构成激光器必不可少的部件，谐振腔是影响激光模式分布的重要因素，而模式分布又和光束质量密不可分。本章首先介绍研究激光腔中光波模式的重要意义，其次说明研究近况和几种求解光波模式的方法，最后介绍本文研究内容和工作重点。< *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
br /> 1.1 本课题的意义
模式问题在激光技术中，具有极其重要的地位。求解有关激光谐振腔的振荡模式，对于研究激光性能具有明显直观的作用，通过数值计算，可以对现有激光设备进行分析改进，并调整谐振腔参数。另外，研究激光腔模，也能帮助我们理解一些更深层次的物理理论，比如量子跃迁和黑洞理论。
近年来激光技术不断发展，作为激光器选模用的谐振腔，其结构也发生了形形色色的变化，配合各种各样的激励方式，我们很难得到一个适用于所有谐振腔模式的精确解析解。对于各种复杂的谐振腔和激励模式，我们必须采用更加有效的数值计算方法。
1.2 国内外研究概况和各种解法
研究激光模式的问题，归结为求解满足一定条件的菲涅尔-基尔霍夫衍射积分方程[1]，对此博伊德和戈登已对此进行了深刻的数学讨论，他们指出在对称的方形镜和圆形镜中分别有其各自的解析解[5]。
纯数学计算并不能解决所有类型的腔模，就算是能解出来，其复杂的形式分析起来也相当麻烦。和其他类似的物理问题一样，必须使用数值方法对其研究。其中，福克斯与厉鼎毅提出的Fox-Li迭代法[2]最为经典，原则上可对各种形式的空腔进行数值计算与仿真[6]，在此基础上进行的各种研究的有很多[2,7,8]。虽然Fox-Li迭代法应用在较为标准的开腔条件中甚为成功，但由于其难以获得高阶模式，在各种采用新机制的激光器中很难发挥其理论上的效果。为了更好地分析激光器的输出特性，必须寻求其他数值解法来模拟光波模式。
快速傅里叶变换法是数字信号处理中最基础的运算[9]，现已被应用于激光的光波模式计算中[3,10]，快速傅里叶变换可将菲涅尔衍射积分从空域对应到频域来处理，这样可以大为节约运算时间。
除了以上两种比较经典的数值计算方法，针对不同的谐振腔和不同的激励机制，还有许多不同的方法。例如基于特征值分析的传输矩阵法[4]和有限元法[11,12]，基于抛物型偏微分方程的有限差分法[13,14]，基于电磁场理论的时域有限差分法(FDTD)[15]和空间域虚谱法(PSSD)[16,17]等等。
总之，随着数学方法和模拟工具的发展，越来越多的数值模拟方法正在应运而生。掌握不同的数值运算方法，不仅能对简单的对称共焦腔进行模拟，而且可以对各种非稳腔，闭腔，甚至是各种新机制的激光器进行模拟，并分析它们的激光输出特性。
1.3 本文工作重点和研究方法
本文着重对Fox-Li迭代法的讨论，得出各种基本腔型中的光波模式，并对其振幅分布和相位分布进行讨论。其主要应用的数学工具是Matlab，在文章后面附有相关程序代码。
第2章 光腔中的光波模式
2.1 光腔的分类
按照传统的光腔理论，光学谐振腔一般分为开腔、闭腔和波导腔三种。其中最简单的是开腔，按照开腔中光的几何偏折损耗的高低，可进一步分为稳定腔、非稳腔和临界腔。大致分类如图2.1所示。
图2.1 光学谐振腔的分类
无论哪种腔，都将对腔内的光场加以一定的约束。由基本的理论可知，被约束在一定空间范围内的电磁场一般只能存在于一系列的本征态中，每个本征态都具有一定的本征振荡频率和空间分布。通常将谐振腔内可能存在的本征态称之为腔的模式，从量子的观点来看，激光模式就是腔内可能存在的光子状态。
按照电磁理论，腔内的光场应该由麦克斯韦方程组和腔的边界条件共同决定。对于开腔，需要从衍射理论出发，归结为求满足一定条件的衍射积分方程；而对于充满介质的波导腔来说，一般通过直接解麦克斯韦方程组就可以决定其模式。但不管是开腔还是闭腔，只要给定了腔的结构，其振荡模式也就确定下来。即腔与模一般是相对应的关系。
2.2 自再现模和衍射积分
对于一般的开放式光腔，我们可以直接求解一个积分方程来得到其光波模式。
图2.2 开腔中自再现模的形成
(a)理想开腔；(b) 孔阑传输线；(c)自再现模的形成。
为简单起见，我们先考虑光在一对平行平面镜中来回振荡。两块平行的平面镜在光学上称为法布里-珀罗干涉仪，或者直接叫F-P腔。由于这个装置在光学上有相当广泛的应用，所以本文将重点讨论F-P腔中的光波模式。
如图2.2所示，在理想的F-P腔中，光线在平面镜之间来回反射可以等效为光束通过一系列同轴孔径，孔径外是无限大的完全吸收频，即孔阑传输线。模拟对称平面腔时，所有孔径的大小和形状都应该相同。假设初始的入射波是平面波，但光在穿过这一组孔阑传输线时，衍射效应极为明显，也就是说，真正在孔阑传输线中传播的并非是均匀平面波，而是一次次的衍射过程。从图中看出，每次经过一个孔时，波的振幅和相位分布就发生一次改变。
但是，当通过的孔阑数足够多时，衍射对其影响会越来越小，其振幅分布和相位分布不再发生改变，每一次渡越前后仅仅相差一个常数损耗因子。这就是平面腔中的光波模式，也被形象地称作自再现模。很明显，谐振腔具有将某些光波模式去除，只留下不受衍射影响的场分布，这种“筛子”作用就是激光选模的原理，在微观上体现为激光的空间相关性，在宏观上则表明激光的方向性好。
横模，即激光在垂直于传输方向上的场分布，相对应的还有随时间和传输距离变化的纵模，横模与纵模是同一光波模式在不同方向的分解。实际上激光器工作时，输出的光波往往是多种横模同时存在。所以Fox-Li迭代法原则上只是求出多种横模叠加后得到的自再现模。为了描述横模在各个方向上的性质，常常用符号 表示横模。对于方形镜和圆形镜来说，通常规定：m表示光场水平方向或者径向的节点个数，n表示光场在垂直方向或者角向的节点个数。在下文我们将看到，横模的阶数往往是由那些特殊函数来确定的。
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