本性奇点留数的极限法(附件)【字数：5286】
现在研究的留数理论就是柯西积分理论的继续，留数在复变函数论本身及实际应用中都是很重要的，它和计算周线积分的问题有密切关系。对于难用解析方法求解的部分实变函数，应用留数理论，可以将实变函数转化成复变函数，借留数定理来求解，这样不但可以解决问题，而且整个计算过程也将易于理解。另外使用留数理论，人们则将有机会去处理“大范围”的积分计算问题，并且能查看区域内函数的零点散布情况。关于留数的计算方法，很多人对此作了很多研究，但对于本性奇点处留数计算却很少有人发表过论文，而现行教科书对本性奇点也只介绍利用罗朗级数展开求留数，步骤沉长。所以本文根据求解m阶极点的方法，对于本性极点采取了换元的方法，转化为类似于求解m阶极点的形式来求解，并给出了典型算例以说明计算技巧和结果的正确性。关键词孤立奇点；本性奇点；留数；极限法；Abstract
目录
第一章 绪论 1
1.1研究背景 1
1.2 研究现状 2
1.3 本文主要内容 2
第二章 孤立奇点和柯西积分定理 4
2.1 孤立奇点 4
2.1.1孤立奇点的概念 4
2.1.2孤立奇点的分类和判定 4
2.2柯西积分定理 5
第三章 留数定理 6
3.1 留数的概念 6
3.2 留数定理 7
3.3 留数和定理 7
3.4 留数的计算方法 7
第四章本性奇点留数的极限法 9
4.1 公式推导 9
4.2 演算举例 10
结论 13
致谢 14
参考文献 15
第一章 绪论
1.1研究背景
留数，也被称作为残数，指的是函数在其孤立奇点处的积分[1]。柯西在1814年的论文中建立由实函数到复函数的过度。在他1822年的论文里面，进而研究了复积分，得以让C_R方程变成复分析大厦的基石，并得出简单情形下的柯西积分定理。在1825年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于和计算积分问题的情形的类比，处理了复积分的相关问题，由不连续函数的复积分，给出了关于留数的定义[2]。随后，柯西进一步发展和完善留数的概念 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
。考虑当在矩形的内部或边界上不连续时，这时沿着两条不同路径的积分的值不同。如果在处，为无穷，极限存在，即在处有一个单极点，则积分的差称为积分留数[3]。柯西留数概念的提出与发展是柯西探索完美理论的产物。
现在研究的留数理论就是柯西积分理论的继续，留数在复变函数论本身及实际应用中都是很重要的，它和计算周线积分的问题有密切关系[4]。从数学分析中可以看出，积分一般比微分复杂，特别是一些不存在初等的原函数中，使得定积分变得尤为困难。在留数的一些应用中，可以利用留数定理计算一些定积分，对于一些特别类型的函数，利用留数理论能很容易算出他们的定积分[5]。用数学分析中的万能公式计算定积分与利用留数理论来计算定积分进行比较，可以看出万能公式在计算定积分的时候虽然具有普遍性，但对一些特殊的定积分，万能公式计算上很复杂，而且不容易求得结果，这时在这些特殊的定积分的计算上用留数理论比较容易掌握。另外使用留数理论，人们则将有机会去处理“大范围”的积分计算问题，并且能查看区域内函数的零点散布情况[6]。
留数理论作为复变函数论中一重要理论，对于难用解析方法求解的部分实变函数，可以将实变函数转化成复变函数，借留数定理来求解，这样不但可以解决问题，而且整个计算过程也将易于理解。利用留数定理来计算积分的基本思想是：首先，把实变函数转化为复变函数沿闭合回路曲线的积分，接着，把问题转化为求解闭合回路内部各个孤立奇点处的留数，最后，利用留数定理得到被积函数的解[7]。
1.2 研究现状
天津理工职业技术学院的孟祥发介绍了一种求留数的简便方法：当z?为函数发f(z)的n级极点时，可取大于n的正整数m，用如下公式计算函数f(z)在z?点的留数：
并予以了证明。运用此方法可以不必判定函数f(z)的极点z?的级数，只需注意z?为函数f(z)的分母的零点的级数m是多少就可以了。当f(z)的分母是(zz?)m时，(zz?)mf(z)就不含分母了，若函数f(z)的分子的m阶倒数容易求，使用此方法求函数f(z)在其极点z?处的留数相当方便[8]。
中国工程物理研究学院工学院的韩卫华改进了留数的计算规则，也提出并证明了类似的定理，在岳温川，姚喜妍的基于MATLAB的留数计算方法的探讨中也是着重研究了用MATLAB计算极点处的留数。并且在《Mathematical methods for physics and engineering. Second edition》， 《数学物理方法. 第四版》，《数学物理方法与仿真. 第二版》这些书籍中也是着重介绍了对于极点处留数的解法，而对于本性奇点只介绍利用Laurent级数展开求留数。国内关于于本性奇点的研究也是非常的少，至于关于本性奇点处留数其他解法的研究几乎看不见相关的报道。
1.3 本文主要内容
本文第一章为绪论部分，简单概括了留数概念的起源，介绍了留数理论在数学中具有的广泛应用，展示了其重要性，同时也介绍了国内关于留数计算方法的一些研究现状。第二章和第三章则是理论基础，介绍了孤立奇点和留数定理并总结了孤立奇点分类和留数的求法。然后第四章是本性奇点的极限法，是本文的重点内容。由于现行教科书对本性奇点没有用极限求留数的方法，只介绍利用罗朗级数展开求留数，步骤沉长。所以本文第四章根据求解m阶极点的方法，对于本性极点采取了换元的方法，转化为类似于求解m阶极点的形式来求解，并给出典型算例以说明计算技巧和结果的正确性。最后得出了本文的结论。
第二章 孤立奇点和柯西积分定理
2.1 孤立奇点
2.1.1孤立奇点的概念
如果函数f(x)在z=z0不解析（或无定义），而在点z0的去心邻域0 < |zz0| <δ（δ> 0）内解析，则称点z=z0是函数f(x)的一个孤立奇点[9]。例如函数1/z和e1/z都以z=0位孤立奇点。
在孤立奇点z=z0的邻域内，函数f(z)可展开成罗朗级数
由于f(z)在0<|zz0|<δ内解析，于是f(z)有罗朗展开式：
在圆环域0<|zz0|<δ内任取一条绕z0的简单闭曲线C（C可取圆周|zz0|<δ）对f(z)的展开式沿 C逐项积分，而且由，那么有
可以注意到，罗朗级数的非负次幂部分实际上表示z0的|zz0|<δ内的解析部分（或正则部分），故而函数f(z)在点z0的奇异性完全体现在罗朗级数的负次幂部分（即主要部分）。
2.1.2孤立奇点的分类和判定
在复变函数中研究解析函数孤立奇点的性质时，根据函数在孤立奇点的去心邻域内罗朗级数的性质，可以把解析函数的孤立奇点分成三类：可去奇点，极点，本性奇点。为判定函数f(z)的孤立奇点α的类型，可以用下面两种办法：
目录
第一章 绪论 1
1.1研究背景 1
1.2 研究现状 2
1.3 本文主要内容 2
第二章 孤立奇点和柯西积分定理 4
2.1 孤立奇点 4
2.1.1孤立奇点的概念 4
2.1.2孤立奇点的分类和判定 4
2.2柯西积分定理 5
第三章 留数定理 6
3.1 留数的概念 6
3.2 留数定理 7
3.3 留数和定理 7
3.4 留数的计算方法 7
第四章本性奇点留数的极限法 9
4.1 公式推导 9
4.2 演算举例 10
结论 13
致谢 14
参考文献 15
第一章 绪论
1.1研究背景
留数，也被称作为残数，指的是函数在其孤立奇点处的积分[1]。柯西在1814年的论文中建立由实函数到复函数的过度。在他1822年的论文里面，进而研究了复积分，得以让C_R方程变成复分析大厦的基石，并得出简单情形下的柯西积分定理。在1825年，柯西在其《关于积分限为虚数的定积分的报告》中，基于和计算积分问题的情形的类比，处理了复积分的相关问题，由不连续函数的复积分，给出了关于留数的定义[2]。随后，柯西进一步发展和完善留数的概念 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
。考虑当在矩形的内部或边界上不连续时，这时沿着两条不同路径的积分的值不同。如果在处，为无穷，极限存在，即在处有一个单极点，则积分的差称为积分留数[3]。柯西留数概念的提出与发展是柯西探索完美理论的产物。
现在研究的留数理论就是柯西积分理论的继续，留数在复变函数论本身及实际应用中都是很重要的，它和计算周线积分的问题有密切关系[4]。从数学分析中可以看出，积分一般比微分复杂，特别是一些不存在初等的原函数中，使得定积分变得尤为困难。在留数的一些应用中，可以利用留数定理计算一些定积分，对于一些特别类型的函数，利用留数理论能很容易算出他们的定积分[5]。用数学分析中的万能公式计算定积分与利用留数理论来计算定积分进行比较，可以看出万能公式在计算定积分的时候虽然具有普遍性，但对一些特殊的定积分，万能公式计算上很复杂，而且不容易求得结果，这时在这些特殊的定积分的计算上用留数理论比较容易掌握。另外使用留数理论，人们则将有机会去处理“大范围”的积分计算问题，并且能查看区域内函数的零点散布情况[6]。
留数理论作为复变函数论中一重要理论，对于难用解析方法求解的部分实变函数，可以将实变函数转化成复变函数，借留数定理来求解，这样不但可以解决问题，而且整个计算过程也将易于理解。利用留数定理来计算积分的基本思想是：首先，把实变函数转化为复变函数沿闭合回路曲线的积分，接着，把问题转化为求解闭合回路内部各个孤立奇点处的留数，最后，利用留数定理得到被积函数的解[7]。
1.2 研究现状
天津理工职业技术学院的孟祥发介绍了一种求留数的简便方法：当z?为函数发f(z)的n级极点时，可取大于n的正整数m，用如下公式计算函数f(z)在z?点的留数：
并予以了证明。运用此方法可以不必判定函数f(z)的极点z?的级数，只需注意z?为函数f(z)的分母的零点的级数m是多少就可以了。当f(z)的分母是(zz?)m时，(zz?)mf(z)就不含分母了，若函数f(z)的分子的m阶倒数容易求，使用此方法求函数f(z)在其极点z?处的留数相当方便[8]。
中国工程物理研究学院工学院的韩卫华改进了留数的计算规则，也提出并证明了类似的定理，在岳温川，姚喜妍的基于MATLAB的留数计算方法的探讨中也是着重研究了用MATLAB计算极点处的留数。并且在《Mathematical methods for physics and engineering. Second edition》， 《数学物理方法. 第四版》，《数学物理方法与仿真. 第二版》这些书籍中也是着重介绍了对于极点处留数的解法，而对于本性奇点只介绍利用Laurent级数展开求留数。国内关于于本性奇点的研究也是非常的少，至于关于本性奇点处留数其他解法的研究几乎看不见相关的报道。
1.3 本文主要内容
本文第一章为绪论部分，简单概括了留数概念的起源，介绍了留数理论在数学中具有的广泛应用，展示了其重要性，同时也介绍了国内关于留数计算方法的一些研究现状。第二章和第三章则是理论基础，介绍了孤立奇点和留数定理并总结了孤立奇点分类和留数的求法。然后第四章是本性奇点的极限法，是本文的重点内容。由于现行教科书对本性奇点没有用极限求留数的方法，只介绍利用罗朗级数展开求留数，步骤沉长。所以本文第四章根据求解m阶极点的方法，对于本性极点采取了换元的方法，转化为类似于求解m阶极点的形式来求解，并给出典型算例以说明计算技巧和结果的正确性。最后得出了本文的结论。
第二章 孤立奇点和柯西积分定理
2.1 孤立奇点
2.1.1孤立奇点的概念
如果函数f(x)在z=z0不解析（或无定义），而在点z0的去心邻域0 < |zz0| <δ（δ> 0）内解析，则称点z=z0是函数f(x)的一个孤立奇点[9]。例如函数1/z和e1/z都以z=0位孤立奇点。
在孤立奇点z=z0的邻域内，函数f(z)可展开成罗朗级数
由于f(z)在0<|zz0|<δ内解析，于是f(z)有罗朗展开式：
在圆环域0<|zz0|<δ内任取一条绕z0的简单闭曲线C（C可取圆周|zz0|<δ）对f(z)的展开式沿 C逐项积分，而且由，那么有
可以注意到，罗朗级数的非负次幂部分实际上表示z0的|zz0|<δ内的解析部分（或正则部分），故而函数f(z)在点z0的奇异性完全体现在罗朗级数的负次幂部分（即主要部分）。
2.1.2孤立奇点的分类和判定
在复变函数中研究解析函数孤立奇点的性质时，根据函数在孤立奇点的去心邻域内罗朗级数的性质，可以把解析函数的孤立奇点分成三类：可去奇点，极点，本性奇点。为判定函数f(z)的孤立奇点α的类型，可以用下面两种办法：
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