超流费米气体的类孤子动力学(附件)【字数：6415】
摘 要摘 要本文主要研究了三维超冷费米气体的类孤子动力学行为。通过选用适当的标度变换和自相似解方法，在不使用任何积分限制条件的基础上求解了广义Gross-Pitaevskii方程并成功获得了类孤子解析解。文章对类亮孤子和类暗孤子这两种类型的动力学行为进行了分析，发现暗孤子解显示出周期性振荡，而亮孤子解没有表现出周期性行为。此外，本文在类暗孤子方面的结论与MIT小组发表在Nature上的一篇实验文章 [T. Yefsah et al., Nature 499, 426 (2013)]匹配得很好,并且我们的结论也预言了新的实验现象。本文还对理解BEC和幺正极限的统一理论有一定帮助。关键词玻色-爱因斯坦凝聚，Gross-Pitaevskii方程，自相似解，类暗孤子解，类亮孤子解
目 录
第一章 绪 论 1
1.1 研究背景 1
1.2 超冷原子气体的研究现状与发展 1
1.3玻色爱因斯坦凝聚中孤子的研究 2
1.3.1引言 2
1.3.2以往研究的成效 3
1.3.3本文的研究方法 4
第二章 广义GrossPitaevskii方程的自相似解 5
2.1选用适当的标度变换结合自相似法解广义GrossPitaevskii方程 5
2.2简并费米气体形成的亮孤子和暗孤子 7
2.21类暗孤子 7
3.22类亮孤子 10
总 结 14
致 谢 15
参考文献 16
第一章 绪 论
1.1 研究背景
玻色爱因斯坦凝聚（BoseEinstein condensates，简称BEC）指的是当温度低于某一临界值时玻色子体系中大量粒子凝聚到一个或几个量子态的现象。1924年印度物理学家玻色（S. N. Bose）提出以不可分辨的n个全同粒子的新观念，使得每个光子的能量满足爱因斯坦的光量子假设，也满足玻尔兹曼(L. Boltzmann)的最大机率分布统计假设，这个光子理想气体的观点可以说是彻底解决了普朗克黑体辐射的半经验公式的问题。随后爱因斯坦(A. Einstein)在玻色理论的基础上，通过统计物理学等方法预言 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: #351916072#
这类原子的温度足够低时，会有相变并且有新的物质状态产生，所有的原子会突然聚集在一种尽可能低的能量状态，这就是我们所说的玻色爱因斯坦凝聚。由于实验条件十分苛刻，在当时无法证实。这就是为什么直到1995年实验上才成功观察到玻色爱因斯坦凝聚[1,2]。
1995年在实验室成功实现稀薄原子气体玻色爱因斯坦凝聚标志着原子气体的研究开始快速发展。对凝聚体的相关研究，特别是孤子等非线性行为的研究是近年来的物理学研究热点，相关的研究论文多次发表在著名刊物。世界上许多实验室已对超流原子气体中的孤子和涡旋等动力学行为进行了大量的研究，不仅成果丰硕，而且已经发展了对振荡频率等物理量的精密量技术。该方面的研究对于揭示非均匀量子体系中原子间相互作用性质的许多新奇特性和探索超冷量子气体的超流特性均有重要意义。
1.2 超冷玻色与费米原子气体的研究现状与发展
玻色爱因斯坦凝聚最早提出于二十世纪二十年代，经历了几十年的探索和研究，终于在1995年第一次在实验室中实现。自此，对BEC及与之相关的冷原子物理的研究成为了物理领域上的热门项目。物理学家们相继对BEC的热力学性质、相干性质、动力学性质等进行了大量的实验和理论研究工作，取得了很多重要结论。随着科技发展，理论更新，实验中通过Feshbach共振成功实现了费米原子气体的BECBCS交叉，并且观察到孤子现象。后来在光阱[35]、方势阱[6]中研究BEC孤子现象也有重大突破。现在，对包括玻色子和费米子的冷原子气体的研究已经成为一个重要的研究领域和交叉学科，受到日益的重视。
1.3 冷原子气体中孤子的研究
1.3.1 引言
在非线性介质中，非线性作用与色散作用相互平衡时可以达到一种稳定波的特殊现象，称为孤立波，孤立波在传播过程中互相碰撞后，仍能保持各自的形状和速度不变，会表现出类似于粒子一样的性质，所以也被称为孤立子，或孤子。从数学上看，它是某些非线性偏微分方程的一类稳定的、能量有限的不弥散解。即是说，它能始终保持其波形和速度不变[7]。由于孤子具有这种特殊性质，因而它在等离子物理学、高能电磁学、流体力学和非线性光学等领域中得到广泛的应用。孤子在物理学中存在于各个领域，包括声学和光学，小到量子，大到天体都有发现。孤子根据非线性效应和边界条件分为亮孤子和暗孤子，强度较高的形成峰即亮孤子，强度较低的形成谷为暗孤子。在形成孤子时往往会伴随着一些典型的相变。在量子实验中已经观察到玻色爱因斯坦凝聚出现孤子现象。在这些量子相干系统中，孤子集体呈现非线性模式，这揭示了冷原子丰富的物理性质和容易操控的特征。最近几年的一些开拓性实验中[8]，玻色爱因斯坦凝聚分别显示了亮孤子和暗孤子相互吸引和排斥。孤子的其它现象，如反射、碰撞和孤子涡旋也在实验中出现。
此后，有关BEC的研究迅速发展，观察到了一系列新的现象。如BEC中的相干性、约瑟夫森效应、孤子涡旋、超冷费米原子气体，还有BEC中亮孤子和暗孤子的交替演化[9]，成为当前物理领域中一项热门的研究方向。实验和理论均表明， 粒子之间的相互作用为排斥时， BEC中出现暗孤子， 粒子相互吸引时，BEC 中产生亮孤子而且， 外部势阱和粒子之间的相互作用形式等因素对BEC中孤子的动力学都会产生一定的影响；如BEC处于双曲函数的外部势阱，即使粒子之间为吸引相互作用，BEC中也能形成暗孤子。当粒子之间的相互作用呈周期性变化时， BEC 中的亮孤子呈现出动力学稳定性[10]。
前面所说的玻色爱因斯坦凝聚是在玻色子中实现的。而现实世界中，绝大多数微观粒子是费米子。最初始的BEC理论也只是讨论玻色子的玻色爱因斯坦凝聚的现象。费米子，由于泡利不相容原理，无法直接形成玻色爱因斯坦凝聚。这个特征也是区分玻色子和费米子的一个重要依据。但是费米子可以通过BardeenCooperSchrieffer (BCS) 机制形成费米子对的凝聚。费米子在动量空间中配对形成库珀对[11]（在低温超导体中，电子并不是单个地进行运动，而是以弱耦合形式形成配对，一般称之为库珀对.形成库珀对的两个电子，一个自旋向上，另一个自旋向下），然后通过激光冷却等技术把实验温度降低，当抵达临界值时，就能形成超流体。BCS到BEC渡越[12]对简并费米气体研究产生了巨大的影响，丰富了凝聚态物理的研究。然而相对于大量的线性研究，超冷费米气体非线性行为的研究仍旧罕见。除了超冷费米气体是新起的研究方向，在数学角度看来，描述超冷费米气体的Bogoliubovde Gennes(BdG)方程比描述玻色爱因斯坦凝聚的GrossPitaevskii equation（GPE）更难分析理解。经过大量研究，BCSBEC渡越的很多性质展现出来。最近，一个类非线性薛定谔方程的非线性方程（描述微观波函数）被用于描述绝对零度的超流费米气体性质。这方程称为推广的GrossPitaevskii方程（GGPE）[1314]，可以用于研究如类孤子力学，玻色爱因斯坦凝聚和幺正极限下的超流。
目 录
第一章 绪 论 1
1.1 研究背景 1
1.2 超冷原子气体的研究现状与发展 1
1.3玻色爱因斯坦凝聚中孤子的研究 2
1.3.1引言 2
1.3.2以往研究的成效 3
1.3.3本文的研究方法 4
第二章 广义GrossPitaevskii方程的自相似解 5
2.1选用适当的标度变换结合自相似法解广义GrossPitaevskii方程 5
2.2简并费米气体形成的亮孤子和暗孤子 7
2.21类暗孤子 7
3.22类亮孤子 10
总 结 14
致 谢 15
参考文献 16
第一章 绪 论
1.1 研究背景
玻色爱因斯坦凝聚（BoseEinstein condensates，简称BEC）指的是当温度低于某一临界值时玻色子体系中大量粒子凝聚到一个或几个量子态的现象。1924年印度物理学家玻色（S. N. Bose）提出以不可分辨的n个全同粒子的新观念，使得每个光子的能量满足爱因斯坦的光量子假设，也满足玻尔兹曼(L. Boltzmann)的最大机率分布统计假设，这个光子理想气体的观点可以说是彻底解决了普朗克黑体辐射的半经验公式的问题。随后爱因斯坦(A. Einstein)在玻色理论的基础上，通过统计物理学等方法预言 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: #351916072#
这类原子的温度足够低时，会有相变并且有新的物质状态产生，所有的原子会突然聚集在一种尽可能低的能量状态，这就是我们所说的玻色爱因斯坦凝聚。由于实验条件十分苛刻，在当时无法证实。这就是为什么直到1995年实验上才成功观察到玻色爱因斯坦凝聚[1,2]。
1995年在实验室成功实现稀薄原子气体玻色爱因斯坦凝聚标志着原子气体的研究开始快速发展。对凝聚体的相关研究，特别是孤子等非线性行为的研究是近年来的物理学研究热点，相关的研究论文多次发表在著名刊物。世界上许多实验室已对超流原子气体中的孤子和涡旋等动力学行为进行了大量的研究，不仅成果丰硕，而且已经发展了对振荡频率等物理量的精密量技术。该方面的研究对于揭示非均匀量子体系中原子间相互作用性质的许多新奇特性和探索超冷量子气体的超流特性均有重要意义。
1.2 超冷玻色与费米原子气体的研究现状与发展
玻色爱因斯坦凝聚最早提出于二十世纪二十年代，经历了几十年的探索和研究，终于在1995年第一次在实验室中实现。自此，对BEC及与之相关的冷原子物理的研究成为了物理领域上的热门项目。物理学家们相继对BEC的热力学性质、相干性质、动力学性质等进行了大量的实验和理论研究工作，取得了很多重要结论。随着科技发展，理论更新，实验中通过Feshbach共振成功实现了费米原子气体的BECBCS交叉，并且观察到孤子现象。后来在光阱[35]、方势阱[6]中研究BEC孤子现象也有重大突破。现在，对包括玻色子和费米子的冷原子气体的研究已经成为一个重要的研究领域和交叉学科，受到日益的重视。
1.3 冷原子气体中孤子的研究
1.3.1 引言
在非线性介质中，非线性作用与色散作用相互平衡时可以达到一种稳定波的特殊现象，称为孤立波，孤立波在传播过程中互相碰撞后，仍能保持各自的形状和速度不变，会表现出类似于粒子一样的性质，所以也被称为孤立子，或孤子。从数学上看，它是某些非线性偏微分方程的一类稳定的、能量有限的不弥散解。即是说，它能始终保持其波形和速度不变[7]。由于孤子具有这种特殊性质，因而它在等离子物理学、高能电磁学、流体力学和非线性光学等领域中得到广泛的应用。孤子在物理学中存在于各个领域，包括声学和光学，小到量子，大到天体都有发现。孤子根据非线性效应和边界条件分为亮孤子和暗孤子，强度较高的形成峰即亮孤子，强度较低的形成谷为暗孤子。在形成孤子时往往会伴随着一些典型的相变。在量子实验中已经观察到玻色爱因斯坦凝聚出现孤子现象。在这些量子相干系统中，孤子集体呈现非线性模式，这揭示了冷原子丰富的物理性质和容易操控的特征。最近几年的一些开拓性实验中[8]，玻色爱因斯坦凝聚分别显示了亮孤子和暗孤子相互吸引和排斥。孤子的其它现象，如反射、碰撞和孤子涡旋也在实验中出现。
此后，有关BEC的研究迅速发展，观察到了一系列新的现象。如BEC中的相干性、约瑟夫森效应、孤子涡旋、超冷费米原子气体，还有BEC中亮孤子和暗孤子的交替演化[9]，成为当前物理领域中一项热门的研究方向。实验和理论均表明， 粒子之间的相互作用为排斥时， BEC中出现暗孤子， 粒子相互吸引时，BEC 中产生亮孤子而且， 外部势阱和粒子之间的相互作用形式等因素对BEC中孤子的动力学都会产生一定的影响；如BEC处于双曲函数的外部势阱，即使粒子之间为吸引相互作用，BEC中也能形成暗孤子。当粒子之间的相互作用呈周期性变化时， BEC 中的亮孤子呈现出动力学稳定性[10]。
前面所说的玻色爱因斯坦凝聚是在玻色子中实现的。而现实世界中，绝大多数微观粒子是费米子。最初始的BEC理论也只是讨论玻色子的玻色爱因斯坦凝聚的现象。费米子，由于泡利不相容原理，无法直接形成玻色爱因斯坦凝聚。这个特征也是区分玻色子和费米子的一个重要依据。但是费米子可以通过BardeenCooperSchrieffer (BCS) 机制形成费米子对的凝聚。费米子在动量空间中配对形成库珀对[11]（在低温超导体中，电子并不是单个地进行运动，而是以弱耦合形式形成配对，一般称之为库珀对.形成库珀对的两个电子，一个自旋向上，另一个自旋向下），然后通过激光冷却等技术把实验温度降低，当抵达临界值时，就能形成超流体。BCS到BEC渡越[12]对简并费米气体研究产生了巨大的影响，丰富了凝聚态物理的研究。然而相对于大量的线性研究，超冷费米气体非线性行为的研究仍旧罕见。除了超冷费米气体是新起的研究方向，在数学角度看来，描述超冷费米气体的Bogoliubovde Gennes(BdG)方程比描述玻色爱因斯坦凝聚的GrossPitaevskii equation（GPE）更难分析理解。经过大量研究，BCSBEC渡越的很多性质展现出来。最近，一个类非线性薛定谔方程的非线性方程（描述微观波函数）被用于描述绝对零度的超流费米气体性质。这方程称为推广的GrossPitaevskii方程（GGPE）[1314]，可以用于研究如类孤子力学，玻色爱因斯坦凝聚和幺正极限下的超流。
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