直线倒立摆控制系统的设计与仿真FUZZY控制
目 录
1 引言 1
2直线二级倒立摆数学模型建立及定性分析 1
2. 1倒立摆系统简介 1
2. 2 直线二级倒立摆数学模型的建立 3
2. 3 直线二级倒立摆的定性分析 9
3 模糊控制理论 10
3.1模糊控制理论概述 10
3.2 模糊控制系统 11
3.3 模糊控制器 11
4 直线二级倒立摆模糊控制 13
4.1 状态变量的降维处理 13
4.2 隶属度函数 15
4.3 模糊规则的确立 16
5 直线二级倒立摆模糊控制器的仿真研究 17
5.1模糊推理系统构造 17
5.2 直线二级倒立摆模糊控制仿真 21
5.3 仿真结果分析 22
结论 23
致谢 24
参考文献 25
附录 26
附录1：eig函数 26
附录2：状态反馈矩阵程序 27
1 引言
倒立摆系统是一种具有多变量、非线性和强耦合性的有代表性的自然不稳定系统。我们通过对这种倒立摆系统的控制研究中，发现了在控制方面内的许多比较重要性的问题，比如稳定性问题、非线性问题和跟踪问题等等[4]。由于其这种典型性，倒立摆也常常被广泛的用来证明各种各样关于控制方面的理论是否能够实现或者是否具有明显的效果。目前，世界上对于倒立摆控制方面的科研也趋于深入，倒立摆控制系统在各行业内扮演的角色也愈加重要，所以我们对倒立摆控制系统的科研是具有显著的现实意义的，关于倒立摆控制系统的许多研究成果在航天工程和机械控制等领域已发挥重要作用。鉴于倒立摆的重要性，本文将对二级倒立摆系 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
统进行系统研究，并设计其模糊控制器并提升其效果，最后用MATLAB软件对二级倒立摆系统仿真分析。
模糊控制理论是以模糊数学的基础思路和方法为基础的一种控制理论。在一般的控制观念中，控制系统动态模式的准确度与控制的好坏息息相关，动态信息越清楚，控制越精确。但是，这种一般的控制方法，虽然对于类似一级倒立摆这样的精确系统具有很强的控制力，但是对于那些类似二级控制倒立摆系统这样的过于繁杂而且很难准确描述的系统，就会显得力有不逮。鉴于此，我们便试着用模糊数学的理论知识来处理这些较为复杂的控制难题。这种模糊控制方法和传统的控制方法存在着明显的差别，因为它不必要建立准确的数学模型，而只主要利用模糊控制理论，建立适当的模糊控制器来完成对系统的控制。
2直线二级倒立摆数学模型建立及定性分析
直线二级倒立摆系统为一种自然不稳定的非线性系统，它拥有多个输入输出量，耦合性比较大，复杂难于描述。在本章中，我们将主要利用牛顿力学的方法，建立针对直线二级倒立摆系统的微分方程[1]，在此基础上，我们将仔细推演出直线二级倒立摆的系统的方程。包括其状态方程和输入输出方程，最后，运用线性系统方面的知识，定性分析其特性[20]。
2. 1倒立摆系统简介
倒立摆系统是一种具有多变量、非线性和强耦合性的有代表性的自然不稳定系统。我们通过对这种倒立摆系统的控制研究中，发现了在控制方面内的许多比较重要性的问题，比如稳定性问题、非线性问题和跟踪问题等等。由于其这种典型性，倒立摆也常常被广泛的用来证明各种各样关于控制方面的理论是否能够实现或者是否具有明显的效果。目前，世界上对于倒立摆控制方面的科研也趋于深入，倒立摆控制系统在各行业内扮演的角色也愈加重要，所以我们对倒立摆控制系统的科研是具有显著的现实意义的，关于倒立摆控制系统的许多研究成果在航天工程和机械控制等领域已发挥重要作用[2]。
在最近的关于控制方面的研究中，包括宇宙中空间站的对接技术，机器人的走动及平衡以及一些机械控制，都有倒立摆系统稳定控制技术在其中。我们在二十世纪中期才开始对倒立摆控制系统展开首次探索，最后由麻省理工学院的控制理论专家们成功研制出了首台一级倒立摆控制实验系统[3]。在那个时候，人们对于倒立摆方面的研究，还主要着眼于其线性控制上，直到后来，在双足机器人控制问题的启发下，才对二级倒立摆控制方面进行深入研究。
1976年，Mori率先实现了将二级倒立摆控制系统在平衡点附近线性化；1984年，三级倒立摆系统的实物控制也经由Furuta等人利用双电机得以实现；在那一年，Watts也成功发现状态反馈向量会由于权重矩阵的改变而改变，并用LQR的方法控制倒立摆系统[19]。我们国家对倒立摆系统的控制方面的科研开始比较晚，但是目前也得到了许多骄人的成绩。1994年，我国北京航空航天大学的著名教授张明廉，利用自动控制理论与人工智能相结合，成功实现了对三级倒立摆的实物控制；2001年，通过利用变论域自适应模糊控制的方法，北京师范大学的李洪兴教授团队成功实现了对三级倒立摆的实物控制；次年，四级倒立摆的实物控制问题被李洪兴教授团队成功攻克，这是世界上首次完成四级倒立摆实物控制，具有良好的鲁棒性，稳定性和定位功能，取得了历史性的成果，弥补了世界领域内的这一项空白；2013年5月，李洪兴教授接到加利福尼亚大学伯克利分校扎德教授的邀请来到该校开展了有关四级倒立摆的建模与控制方面的专题学术报告，至此，中国的控制水平已经走在了世界的前端并在保持高水平的飞速前进。
伴随对控制理论探索的不断深入和计算机技术的不断发展，我国对倒立摆系统的探索较偏向于自动控制方法或者是自动控制方法与其他控制理论相结合的控制方法，并涌现出了许多先进的控制理论和控制策略。
比如说，一级摆的控制问题，被周建波等人顺利用以BP网络为基础的规则控制解决。二级倒立摆的稳定控制问题，被徐红兵等人用以变结构得模糊神经网络为基础的控制算法顺利实现[7]。
伴随着倒立摆探索的不断深入，倒立摆控制在高科技领域内也必将得到更广泛的利用，倒立摆的类别也会发展为多种形式多级的倒立摆系统，许多不同的、先进的控制理论不断涌现，经由倒立摆这样的典型的控制对象，可以证明这些控制理论在处理非线性、多变量、不稳定系统方面是否拥有较强的能力。
2. 2 直线二级倒立摆数学模型的建立
我们可以把二级倒立摆系统加以抽象，倒立摆是由一辆顺着一个水平导轨作运动的小车以及在小车上连着的两个摆杆构成。小车沿导轨作往复运动，小车上的两个摆杆绕各自转轴在竖直平面作旋转运动。
二级倒立摆系统如图2.1所示：
2.1二级倒立摆结构示意图
通过对二级倒立摆的研究发现，它稳定运动有两种基础模态：
第一种，摆杆一保持稳定摆动，而摆杆二作抖动状态；
第二种，在运动轨道上的一个微小的区间内，整个倒立摆系统保持稳定的平衡状态。
在第一种情况之中，由于小车运动而会引起摆杆二会有比较大的摆幅，并且在摆杆一，二的联结处的相对转动的程度也较明显。
一级摆杆的质量中心到运动轴心的长度值：
二级摆杆的质量中心到运动轴心的长度值：
接下来我们做如下定义，倒立摆系统受到的控制力为 ，单位： 。小车相对初始位置的位移为 ，单位： 。一级摆杆和垂直向上方向的夹角是 ，单位：弧度。二级摆杆和垂直向上方向的夹角是 ，单位：弧度。
由以上（2-18），（2-19）和（2-20）可得到系统的状态方程如下：
1 引言 1
2直线二级倒立摆数学模型建立及定性分析 1
2. 1倒立摆系统简介 1
2. 2 直线二级倒立摆数学模型的建立 3
2. 3 直线二级倒立摆的定性分析 9
3 模糊控制理论 10
3.1模糊控制理论概述 10
3.2 模糊控制系统 11
3.3 模糊控制器 11
4 直线二级倒立摆模糊控制 13
4.1 状态变量的降维处理 13
4.2 隶属度函数 15
4.3 模糊规则的确立 16
5 直线二级倒立摆模糊控制器的仿真研究 17
5.1模糊推理系统构造 17
5.2 直线二级倒立摆模糊控制仿真 21
5.3 仿真结果分析 22
结论 23
致谢 24
参考文献 25
附录 26
附录1：eig函数 26
附录2：状态反馈矩阵程序 27
1 引言
倒立摆系统是一种具有多变量、非线性和强耦合性的有代表性的自然不稳定系统。我们通过对这种倒立摆系统的控制研究中，发现了在控制方面内的许多比较重要性的问题，比如稳定性问题、非线性问题和跟踪问题等等[4]。由于其这种典型性，倒立摆也常常被广泛的用来证明各种各样关于控制方面的理论是否能够实现或者是否具有明显的效果。目前，世界上对于倒立摆控制方面的科研也趋于深入，倒立摆控制系统在各行业内扮演的角色也愈加重要，所以我们对倒立摆控制系统的科研是具有显著的现实意义的，关于倒立摆控制系统的许多研究成果在航天工程和机械控制等领域已发挥重要作用。鉴于倒立摆的重要性，本文将对二级倒立摆系 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
统进行系统研究，并设计其模糊控制器并提升其效果，最后用MATLAB软件对二级倒立摆系统仿真分析。
模糊控制理论是以模糊数学的基础思路和方法为基础的一种控制理论。在一般的控制观念中，控制系统动态模式的准确度与控制的好坏息息相关，动态信息越清楚，控制越精确。但是，这种一般的控制方法，虽然对于类似一级倒立摆这样的精确系统具有很强的控制力，但是对于那些类似二级控制倒立摆系统这样的过于繁杂而且很难准确描述的系统，就会显得力有不逮。鉴于此，我们便试着用模糊数学的理论知识来处理这些较为复杂的控制难题。这种模糊控制方法和传统的控制方法存在着明显的差别，因为它不必要建立准确的数学模型，而只主要利用模糊控制理论，建立适当的模糊控制器来完成对系统的控制。
2直线二级倒立摆数学模型建立及定性分析
直线二级倒立摆系统为一种自然不稳定的非线性系统，它拥有多个输入输出量，耦合性比较大，复杂难于描述。在本章中，我们将主要利用牛顿力学的方法，建立针对直线二级倒立摆系统的微分方程[1]，在此基础上，我们将仔细推演出直线二级倒立摆的系统的方程。包括其状态方程和输入输出方程，最后，运用线性系统方面的知识，定性分析其特性[20]。
2. 1倒立摆系统简介
倒立摆系统是一种具有多变量、非线性和强耦合性的有代表性的自然不稳定系统。我们通过对这种倒立摆系统的控制研究中，发现了在控制方面内的许多比较重要性的问题，比如稳定性问题、非线性问题和跟踪问题等等。由于其这种典型性，倒立摆也常常被广泛的用来证明各种各样关于控制方面的理论是否能够实现或者是否具有明显的效果。目前，世界上对于倒立摆控制方面的科研也趋于深入，倒立摆控制系统在各行业内扮演的角色也愈加重要，所以我们对倒立摆控制系统的科研是具有显著的现实意义的，关于倒立摆控制系统的许多研究成果在航天工程和机械控制等领域已发挥重要作用[2]。
在最近的关于控制方面的研究中，包括宇宙中空间站的对接技术，机器人的走动及平衡以及一些机械控制，都有倒立摆系统稳定控制技术在其中。我们在二十世纪中期才开始对倒立摆控制系统展开首次探索，最后由麻省理工学院的控制理论专家们成功研制出了首台一级倒立摆控制实验系统[3]。在那个时候，人们对于倒立摆方面的研究，还主要着眼于其线性控制上，直到后来，在双足机器人控制问题的启发下，才对二级倒立摆控制方面进行深入研究。
1976年，Mori率先实现了将二级倒立摆控制系统在平衡点附近线性化；1984年，三级倒立摆系统的实物控制也经由Furuta等人利用双电机得以实现；在那一年，Watts也成功发现状态反馈向量会由于权重矩阵的改变而改变，并用LQR的方法控制倒立摆系统[19]。我们国家对倒立摆系统的控制方面的科研开始比较晚，但是目前也得到了许多骄人的成绩。1994年，我国北京航空航天大学的著名教授张明廉，利用自动控制理论与人工智能相结合，成功实现了对三级倒立摆的实物控制；2001年，通过利用变论域自适应模糊控制的方法，北京师范大学的李洪兴教授团队成功实现了对三级倒立摆的实物控制；次年，四级倒立摆的实物控制问题被李洪兴教授团队成功攻克，这是世界上首次完成四级倒立摆实物控制，具有良好的鲁棒性，稳定性和定位功能，取得了历史性的成果，弥补了世界领域内的这一项空白；2013年5月，李洪兴教授接到加利福尼亚大学伯克利分校扎德教授的邀请来到该校开展了有关四级倒立摆的建模与控制方面的专题学术报告，至此，中国的控制水平已经走在了世界的前端并在保持高水平的飞速前进。
伴随对控制理论探索的不断深入和计算机技术的不断发展，我国对倒立摆系统的探索较偏向于自动控制方法或者是自动控制方法与其他控制理论相结合的控制方法，并涌现出了许多先进的控制理论和控制策略。
比如说，一级摆的控制问题，被周建波等人顺利用以BP网络为基础的规则控制解决。二级倒立摆的稳定控制问题，被徐红兵等人用以变结构得模糊神经网络为基础的控制算法顺利实现[7]。
伴随着倒立摆探索的不断深入，倒立摆控制在高科技领域内也必将得到更广泛的利用，倒立摆的类别也会发展为多种形式多级的倒立摆系统，许多不同的、先进的控制理论不断涌现，经由倒立摆这样的典型的控制对象，可以证明这些控制理论在处理非线性、多变量、不稳定系统方面是否拥有较强的能力。
2. 2 直线二级倒立摆数学模型的建立
我们可以把二级倒立摆系统加以抽象，倒立摆是由一辆顺着一个水平导轨作运动的小车以及在小车上连着的两个摆杆构成。小车沿导轨作往复运动，小车上的两个摆杆绕各自转轴在竖直平面作旋转运动。
二级倒立摆系统如图2.1所示：
2.1二级倒立摆结构示意图
通过对二级倒立摆的研究发现，它稳定运动有两种基础模态：
第一种，摆杆一保持稳定摆动，而摆杆二作抖动状态；
第二种，在运动轨道上的一个微小的区间内，整个倒立摆系统保持稳定的平衡状态。
在第一种情况之中，由于小车运动而会引起摆杆二会有比较大的摆幅，并且在摆杆一，二的联结处的相对转动的程度也较明显。
一级摆杆的质量中心到运动轴心的长度值：
二级摆杆的质量中心到运动轴心的长度值：
接下来我们做如下定义，倒立摆系统受到的控制力为 ，单位： 。小车相对初始位置的位移为 ，单位： 。一级摆杆和垂直向上方向的夹角是 ，单位：弧度。二级摆杆和垂直向上方向的夹角是 ，单位：弧度。
由以上（2-18），（2-19）和（2-20）可得到系统的状态方程如下：
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