直线倒立摆控制系统的设计与仿真PID控制
目 录
1 绪论 1
1.1 课题的背景及研究意义 1
1.1.1 课题背景 1
1.1.2 课题研究意义 1
1.2 国内外研究现状 1
1.3 PID简介 2
1.3.1 PID控制的原理和特点 2
2 倒立摆系统数学建模 4
2.1 一级倒立摆数学建模 5
2.2 直线一级倒立摆的系统稳定性分析 8
2.3 二级倒立摆数学建模 8
3 倒立摆控制系统的仿真 15
3.1 一级倒立摆控制系统的仿真 15
3.1.1 PID参数整定 15
3.1.2 一级倒立摆双闭环PID控制算法 16
3.2 二级倒立摆控制系统的仿真 18
结论 22
致谢 23
参考文献24
1 绪论
1．1 课题的背景及研究意义
1.1.1 课题背景
倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，倒立摆系统是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想的实验平台[1]。验证新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力通常是通过对倒立摆的控制来检验的。
1.1.2 课题的研究意义
倒立摆系统的控制目标是不论小车的位置如何，要去尽快保持摆的平衡。本文根据这个目标来设计PID控制器并用来控制倒立摆。本课题要求培养通过检索文献的手段获取知识和从事科学研究的能力；运用知识解决实际问题的能力[2]；掌握工程技术设计和科学研究的基本方法；了解工程设计思想和提高实际动手能力。
发展自动 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
控制技术有利于大大提高控制的效率，并有利于将人类从复杂、危险、繁琐的劳动条件中释放出来，自动控制技术利用反馈原理来动态调节系统，使得输出值接近期望值[3]。
1．2 国内外研究现状
倒立摆系统是多种技术、多个学科领域的结合产物，倒立摆系统的模型实验可以较好的体现许多控制理论。计算机的控制技术在倒立摆的控制过程中发挥着十分重要的作用。随着技术的发展，人们在机器人技术的研究中，已经成功应用倒立摆系统控制的原理。倒立摆系统本身存在着不稳定、变量多、耦合强、非线性等诸多特点，这使得它被学术界看做是一个典型的控制装置并用来进行研究。在上世纪五十年代，美国麻省理工学院的控制理论专家就开始了对倒立摆系统的研究、设计了一级倒立摆实验装置[4]。之后，人们又对倒立摆进行了进一步的研究，并在最基础的一级直线倒立摆的基础上扩展出了很多其他类型的倒立摆设备。在上个世纪的中后期涌现出很多新的控制理论和方法。在近些年的关于控制理论的研究中，许多新学者在检验新的控制方法的控制性能和控制能力的时候都在尝试着去使用倒立摆系统，并使用倒立摆系统作为实验装置，并期望由此选出最好的控制方法。
1．3 PID简介
在处理实际问题时，如果遇到被控制对象的结构和参数不能被完全掌握，或得不到精确的数学模型，又或其他技术的控制理论难以使用时。面对这种情况，系统控制器的结构和参数需要依靠经验和进行现场调试来确定，使用PID控制技术控制最为简便[5]。
这也就是说当我们并不完全了解一个系统和这个系统的被控对象，或不能获得系统的有效参数时，采用PID控制技术最为适合。
PID 控制具有以下优点：
（1）原理相对简单，使用方便，可以根据过程中的动态特性来对PID的参数进行及时整定。
（2）适应性非常强，按照PID控制规律进行工作的控制器早已经大面积商品化，这使得它在日常生活中的应用范围非常广泛。 虽然很多被控制对象是的性质是时变的或非线性的，但只要通过适当的简化，就可以将被控对象变成基本上线性的和动态特性不随时间变化的系统，这样就可以用PID控制方法来进行控制。
（3）鲁棒性强，鲁棒性强的意思就是被控制对象的性质变化对于控制品质的影响并大。
同时PID控制也具有它的固有缺点[6]：
PID在控制非线性、时变、耦合以及参数和结构不确定的较为复杂的过程的时候，效果不是很好。最重要的是PID 控制器不能控制复杂过程，所以无论怎么调试参数都没有作用。
但就因为自身具有许多明显优点。所以它依然是应用最为普遍的控制规律。
1．4 PID控制的原理和特点
对于一个自动控制系统来说，如果系统在进入稳态之后仍然还存在稳态误差，那么就称系统是存在稳态误差的或者称系统为有差系统[7]。为了消除稳态误差，必须在控制器中引入一个“积分项”。随着时间的增加，这个积分项也会增大。这样一来，哪怕就算是误差的值很小，积分项在时间的作用下也会逐渐增大。这个引入的积分项是的控制器的输出增大，从而使稳态误差进一步减小，一直到稳态误差趋近于零为止。如果是PI控制器，它能够使系统在进入稳态以后不产生稳态误差。在微分控制中，控制器的输出与输入误差的变化率成正比关系。自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡，甚至失稳的情况[8]。这是由于系统中存在着有较大质量的，或有较大惯性的组件，或存在有滞后的组件，这些组件有良好的误差抑制作用，误差的变化总是在他们变化之前。为了解决这个问题，应该使抑制误差的作用的变化“提前”。这就是说，我们在控制器里仅引入一个“比例”项是不够的[9]。引入的比例项的作用仅是放大误差的幅值，我们还需要增加一个“微分项”，因为我们需要它来为我们预测误差数据变化的趋势。这样，具有比例微分的控制器，就能够避免被控制量超调。所以对具有较大惯性，或较大滞后的被控对象来说，比例微分(PD)控制器能够明显改善系统调节过程中的动态特性。
图1.4 PID控制原理
PID对应的也就是比例（Proportion）、积分（Integration）、微分（Differentiation），对应着上面的图1.4[10]。意思就是：通过一个输入量（偏差值），经过比例、积分、微分、的运算后（应用时不一定需要三个步骤都有）得到一个输出量（结果）。再把这个输出量直接给执行部件，执行操作。此后通过，传感器得到实际值时，再于目标值作差，传给输入量。接着，一直循环下去。直到你所需要控制的那个量慢慢逼近，达到你设定的目标值为止。
PID的控制模块由比例单元、积分单元还有微分单元组成。其中输入函数 和输出函数 的关系为：
?
其传递函数为：
? ? ? ?
3. 微分调节（D）
偏差信号的变化趋势是由微分调节反映的，它能够在偏差信号值成长到过大之前在系统中引入另外一个早期的修正信号，用此修正信号来加速系统的动作，以抑制偏差变化。这样可以使系统更加稳定，从而达到改善系统动态性能的目的。
2 倒立摆系统数学建模
倒立摆系统的数学建模方法一般有牛顿欧拉法和拉格朗日法两种[11]。但是对于结构相对来说比较简单的一级直线倒立摆来说我们就应该使用牛顿欧拉法来进行数学建模。我们先要对小车和摆杆进行受力分析，对他们的运动轨迹方程进行求解。然后再将两个运动轨迹方程进行线性化，再对他们进行拉普拉斯变换。最后经过适当的整理后我们就可以得到系统的状态空间方程[12]。
1 绪论 1
1.1 课题的背景及研究意义 1
1.1.1 课题背景 1
1.1.2 课题研究意义 1
1.2 国内外研究现状 1
1.3 PID简介 2
1.3.1 PID控制的原理和特点 2
2 倒立摆系统数学建模 4
2.1 一级倒立摆数学建模 5
2.2 直线一级倒立摆的系统稳定性分析 8
2.3 二级倒立摆数学建模 8
3 倒立摆控制系统的仿真 15
3.1 一级倒立摆控制系统的仿真 15
3.1.1 PID参数整定 15
3.1.2 一级倒立摆双闭环PID控制算法 16
3.2 二级倒立摆控制系统的仿真 18
结论 22
致谢 23
参考文献24
1 绪论
1．1 课题的背景及研究意义
1.1.1 课题背景
倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，倒立摆系统是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想的实验平台[1]。验证新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力通常是通过对倒立摆的控制来检验的。
1.1.2 课题的研究意义
倒立摆系统的控制目标是不论小车的位置如何，要去尽快保持摆的平衡。本文根据这个目标来设计PID控制器并用来控制倒立摆。本课题要求培养通过检索文献的手段获取知识和从事科学研究的能力；运用知识解决实际问题的能力[2]；掌握工程技术设计和科学研究的基本方法；了解工程设计思想和提高实际动手能力。
发展自动 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
控制技术有利于大大提高控制的效率，并有利于将人类从复杂、危险、繁琐的劳动条件中释放出来，自动控制技术利用反馈原理来动态调节系统，使得输出值接近期望值[3]。
1．2 国内外研究现状
倒立摆系统是多种技术、多个学科领域的结合产物，倒立摆系统的模型实验可以较好的体现许多控制理论。计算机的控制技术在倒立摆的控制过程中发挥着十分重要的作用。随着技术的发展，人们在机器人技术的研究中，已经成功应用倒立摆系统控制的原理。倒立摆系统本身存在着不稳定、变量多、耦合强、非线性等诸多特点，这使得它被学术界看做是一个典型的控制装置并用来进行研究。在上世纪五十年代，美国麻省理工学院的控制理论专家就开始了对倒立摆系统的研究、设计了一级倒立摆实验装置[4]。之后，人们又对倒立摆进行了进一步的研究，并在最基础的一级直线倒立摆的基础上扩展出了很多其他类型的倒立摆设备。在上个世纪的中后期涌现出很多新的控制理论和方法。在近些年的关于控制理论的研究中，许多新学者在检验新的控制方法的控制性能和控制能力的时候都在尝试着去使用倒立摆系统，并使用倒立摆系统作为实验装置，并期望由此选出最好的控制方法。
1．3 PID简介
在处理实际问题时，如果遇到被控制对象的结构和参数不能被完全掌握，或得不到精确的数学模型，又或其他技术的控制理论难以使用时。面对这种情况，系统控制器的结构和参数需要依靠经验和进行现场调试来确定，使用PID控制技术控制最为简便[5]。
这也就是说当我们并不完全了解一个系统和这个系统的被控对象，或不能获得系统的有效参数时，采用PID控制技术最为适合。
PID 控制具有以下优点：
（1）原理相对简单，使用方便，可以根据过程中的动态特性来对PID的参数进行及时整定。
（2）适应性非常强，按照PID控制规律进行工作的控制器早已经大面积商品化，这使得它在日常生活中的应用范围非常广泛。 虽然很多被控制对象是的性质是时变的或非线性的，但只要通过适当的简化，就可以将被控对象变成基本上线性的和动态特性不随时间变化的系统，这样就可以用PID控制方法来进行控制。
（3）鲁棒性强，鲁棒性强的意思就是被控制对象的性质变化对于控制品质的影响并大。
同时PID控制也具有它的固有缺点[6]：
PID在控制非线性、时变、耦合以及参数和结构不确定的较为复杂的过程的时候，效果不是很好。最重要的是PID 控制器不能控制复杂过程，所以无论怎么调试参数都没有作用。
但就因为自身具有许多明显优点。所以它依然是应用最为普遍的控制规律。
1．4 PID控制的原理和特点
对于一个自动控制系统来说，如果系统在进入稳态之后仍然还存在稳态误差，那么就称系统是存在稳态误差的或者称系统为有差系统[7]。为了消除稳态误差，必须在控制器中引入一个“积分项”。随着时间的增加，这个积分项也会增大。这样一来，哪怕就算是误差的值很小，积分项在时间的作用下也会逐渐增大。这个引入的积分项是的控制器的输出增大，从而使稳态误差进一步减小，一直到稳态误差趋近于零为止。如果是PI控制器，它能够使系统在进入稳态以后不产生稳态误差。在微分控制中，控制器的输出与输入误差的变化率成正比关系。自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡，甚至失稳的情况[8]。这是由于系统中存在着有较大质量的，或有较大惯性的组件，或存在有滞后的组件，这些组件有良好的误差抑制作用，误差的变化总是在他们变化之前。为了解决这个问题，应该使抑制误差的作用的变化“提前”。这就是说，我们在控制器里仅引入一个“比例”项是不够的[9]。引入的比例项的作用仅是放大误差的幅值，我们还需要增加一个“微分项”，因为我们需要它来为我们预测误差数据变化的趋势。这样，具有比例微分的控制器，就能够避免被控制量超调。所以对具有较大惯性，或较大滞后的被控对象来说，比例微分(PD)控制器能够明显改善系统调节过程中的动态特性。
图1.4 PID控制原理
PID对应的也就是比例（Proportion）、积分（Integration）、微分（Differentiation），对应着上面的图1.4[10]。意思就是：通过一个输入量（偏差值），经过比例、积分、微分、的运算后（应用时不一定需要三个步骤都有）得到一个输出量（结果）。再把这个输出量直接给执行部件，执行操作。此后通过，传感器得到实际值时，再于目标值作差，传给输入量。接着，一直循环下去。直到你所需要控制的那个量慢慢逼近，达到你设定的目标值为止。
PID的控制模块由比例单元、积分单元还有微分单元组成。其中输入函数 和输出函数 的关系为：
?
其传递函数为：
? ? ? ?
3. 微分调节（D）
偏差信号的变化趋势是由微分调节反映的，它能够在偏差信号值成长到过大之前在系统中引入另外一个早期的修正信号，用此修正信号来加速系统的动作，以抑制偏差变化。这样可以使系统更加稳定，从而达到改善系统动态性能的目的。
2 倒立摆系统数学建模
倒立摆系统的数学建模方法一般有牛顿欧拉法和拉格朗日法两种[11]。但是对于结构相对来说比较简单的一级直线倒立摆来说我们就应该使用牛顿欧拉法来进行数学建模。我们先要对小车和摆杆进行受力分析，对他们的运动轨迹方程进行求解。然后再将两个运动轨迹方程进行线性化，再对他们进行拉普拉斯变换。最后经过适当的整理后我们就可以得到系统的状态空间方程[12]。
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