一类带dirichlet边界条件的二维指数增长非线性椭圆方程无穷多个解的构造
摘要：本文考虑Dirichlet边值问题： in on (0.1)其中是在平面上的一个光滑有界区域，为算子在Dirichlet边界条件下的取正值的第一本（特）征函数。为在上的一个正连续函数。我们证明在给定任意整数并且对于所有充分大的的情况下,这个问题至少有个解。并发现当为指数增长函数且不一致收敛于0，以及时，该方程的解在的极值点附近表现出多重爆破行为。
目录
摘要3
关键词3
Abstract3
Key words3
引言4
1预备知识4
2逼近解的构造6
3线性化问题20
4辅助非线性问题23
5变分约化24
6泛函渐进展开24
致谢26
参考文献27
一类带Dirichlet边界条件的二维指数增长非线性椭圆方程无穷多个解的构造
引言
Dirichlet boundary condition
引言
1.考虑Dirichlet边值问题：
in
on (01.1)
其中为平面上光滑有界区域，为负的拉普拉斯算子在Dirichlet边界条件下的第一本（特）征函数，s为一个充分大的参数。为在上正的连续函数。试证明对于所有充分大的s的情况下,这个问题有无穷多个解，揭示出当不一致收敛于0，该方程的解在的最大值点附近产生多重爆破行为。
Ambrosetti–Prodi问题（简称AP问题）是指：
in
on (01.2)
其中是在上的一个光滑有界区域，，我们假设函数在时其极限满足：
在1973年，Ambrosetti 和Prodi最早研
*好棒文|www.hbsrm.com +Q: 3_5_1_9_1_6_0_7_2
究AP问题，并给出了该问题无解，一个解和两个解存在性的条件（见文献[6]）。
在1975年，Berger和Podolak在假设，时，即把AP问题转化为（见文献[7]）
in
on （01.3）
Lazer和McKenna证明该问题存在三个解（见文献[8]）。
Hofer和Solimini证明问题的第四个解（见文献[9]和[10]）。
所有这些结果，都依赖于方程（1.1）中参数和非线性函数的特征。
Lazer和McKenna猜想：当时,对于充分大的，是否有无穷多个解？
预备知识
1.连续映射与压缩映射原理(见文献[5])
定义1.1
给定，设 ，，使得对于，有
，
就称在点处连续。若映射在每一点处都是连续的，就称是上的连续映射。
定义1.2
考虑映射。如果存在，使得有
，
称是到自身的压缩映射.
定理1.1（Banach不动点定理压缩映射原理）
设是一个完备距离空间，是到其自身的一个压缩映射，那么在中存在唯一的的不动点。
2.索伯列夫空间和线性算子（见文献[11]）：
是在是上的光滑有界区域，且。对于，我们定义在上的Lebesgue空间：
是关于范数的Banach空间。
进一步，我们可以定义为Hilbert空间：
对于我们定义：
其中： ， ，
定义弱导数：
我们定义
，
所以也是Hilbert空间：
3.Sobolev嵌入定理（见文献[11]）：
对于所有的。
，
对于所有的。
4.椭圆正则性定理（见文献[11]）：
对于方程：
in
on
其中，。
我们假设，这样就存在使得：
5．格林第二公式（见文献[5]）
设函数和在上具有一阶连续偏导数，在内具有二阶连续偏导数，则有
逼近解的构造
考虑如下的Dirichlet边值问题：
in
on （2.1）
其中是在平面上的一个有界光滑区域，，是一个充分大的正参数，是问题在Dirichlet边界条件下的一个取值为正的第一本征函数值。我们定义在Dirichlet边界条件下的各特征值满足条件：
这些构造给了我们关于逼近解的更精确的信息，进一步，我们定义：
在 和上面定义一个格林函数：
，
， (2.2)
我们引进, 得到：
，in
， on (2.3)
在接下来的文章中我们确定了一个区间，我们假设：
接下来我们要构造问题的逼近解，我们选取满足条件：
(2.4)
其中将会在后面的论述中定义。我们在的范围中。
目录
摘要3
关键词3
Abstract3
Key words3
引言4
1预备知识4
2逼近解的构造6
3线性化问题20
4辅助非线性问题23
5变分约化24
6泛函渐进展开24
致谢26
参考文献27
一类带Dirichlet边界条件的二维指数增长非线性椭圆方程无穷多个解的构造
引言
Dirichlet boundary condition
引言
1.考虑Dirichlet边值问题：
in
on (01.1)
其中为平面上光滑有界区域，为负的拉普拉斯算子在Dirichlet边界条件下的第一本（特）征函数，s为一个充分大的参数。为在上正的连续函数。试证明对于所有充分大的s的情况下,这个问题有无穷多个解，揭示出当不一致收敛于0，该方程的解在的最大值点附近产生多重爆破行为。
Ambrosetti–Prodi问题（简称AP问题）是指：
in
on (01.2)
其中是在上的一个光滑有界区域，，我们假设函数在时其极限满足：
在1973年，Ambrosetti 和Prodi最早研
*好棒文|www.hbsrm.com +Q: 3_5_1_9_1_6_0_7_2
究AP问题，并给出了该问题无解，一个解和两个解存在性的条件（见文献[6]）。
在1975年，Berger和Podolak在假设，时，即把AP问题转化为（见文献[7]）
in
on （01.3）
Lazer和McKenna证明该问题存在三个解（见文献[8]）。
Hofer和Solimini证明问题的第四个解（见文献[9]和[10]）。
所有这些结果，都依赖于方程（1.1）中参数和非线性函数的特征。
Lazer和McKenna猜想：当时,对于充分大的，是否有无穷多个解？
预备知识
1.连续映射与压缩映射原理(见文献[5])
定义1.1
给定，设 ，，使得对于，有
，
就称在点处连续。若映射在每一点处都是连续的，就称是上的连续映射。
定义1.2
考虑映射。如果存在，使得有
，
称是到自身的压缩映射.
定理1.1（Banach不动点定理压缩映射原理）
设是一个完备距离空间，是到其自身的一个压缩映射，那么在中存在唯一的的不动点。
2.索伯列夫空间和线性算子（见文献[11]）：
是在是上的光滑有界区域，且。对于，我们定义在上的Lebesgue空间：
是关于范数的Banach空间。
进一步，我们可以定义为Hilbert空间：
对于我们定义：
其中： ， ，
定义弱导数：
我们定义
，
所以也是Hilbert空间：
3.Sobolev嵌入定理（见文献[11]）：
对于所有的。
，
对于所有的。
4.椭圆正则性定理（见文献[11]）：
对于方程：
in
on
其中，。
我们假设，这样就存在使得：
5．格林第二公式（见文献[5]）
设函数和在上具有一阶连续偏导数，在内具有二阶连续偏导数，则有
逼近解的构造
考虑如下的Dirichlet边值问题：
in
on （2.1）
其中是在平面上的一个有界光滑区域，，是一个充分大的正参数，是问题在Dirichlet边界条件下的一个取值为正的第一本征函数值。我们定义在Dirichlet边界条件下的各特征值满足条件：
这些构造给了我们关于逼近解的更精确的信息，进一步，我们定义：
在 和上面定义一个格林函数：
，
， (2.2)
我们引进, 得到：
，in
， on (2.3)
在接下来的文章中我们确定了一个区间，我们假设：
接下来我们要构造问题的逼近解，我们选取满足条件：
(2.4)
其中将会在后面的论述中定义。我们在的范围中。
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