酶促反应模型的数学分析与数值模拟
摘要：Michaelis-Menten反应的微分方程初值问题的奇异扰动分析和数值模拟结果表明反应中存在多时间尺度的现象。这是由反应物初始浓度比例，反应中反应率量级差异所引起的。在“酶-底物”框架下的方程中给出的扰动参数仅与反应物初始浓度的比例和反应率量级有关，进而对该系统进行无量纲化：求出快慢时间尺度。进行奇异扰动分析，对所得一致有效解进行数值模拟，运用计算软件作相应的数学分析和数值模拟，比较分析解的特性以及奇异扰动分析的优势。用高斯方法求精确解，求出四阶龙格库塔近似解与精确解的对数误差。
目录
摘要1
关键词1
Abstract1
Key words1
引言1
1基本酶反应动力系统2
2酶反应动力系统的微分方程组及其无量纲化 2
3 尺度分析瞬时时间尺度与慢时间尺度7
4 MichaelisMenten拟稳态分析10
5 Gauss方法数值模拟得出误差13
6结论17
7致谢17
参考文献17
酶促反应模型的数学分析与数值模拟
信息与计算科学 梅璐莹
引言
引言
生物体内持续不断的发生着化学反应，酶(E)作为一种起催化作用的蛋白质，有选择地与特定底物(S)发生生物反应。比如，在人类的红细胞中，血红蛋白作为酶，与底物氧、二氧化碳相结合。在生物调控过程中，酶往往作为反应中的激活子或抑制子起着重要的催化抑制作用。酶与底物结合生成的底物酶复合物(SE)，在MichaelisMenten反应中，这是催化中最重要的一步。复合物可以分解为酶(E)和产物(P)。反应过程中，酶的浓度保持不变，在底物浓度比较小时，生物体反应速率与底物浓度成正比。
在1913年，L.Michaelis和M.Maud.Menton为了解释这些动力学特性构造出了一个模型。构造这个模型的一个重要前提是把催化过程中专一的底物酶复合物当做是必需的中间产物。模型如下
（1）
这个模型能够说明大部分酶的动力学性质。在1988年，Segel 等人发展了
*好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
传统的分析方法，进一步思考酶浓度与底物浓度差不多时的情况。这时底物浓度与酶浓度都相当低，反应速率随底物浓度的变化几乎不变。由此得到两种不同的反应时间尺度，即反应刚开始的短时间尺度（瞬时时间）和底物大量消耗的长时间尺度（慢时间尺度），据此给出两种不同的无量纲化。然后，使用奇异扰动分析技术解出该模型的内解和外解。
1 基本酶反应动力系统
Menten和Michaelis提出一个最基本的酶反应[11]，单底物S与酶E结合形成底物酶复合物SE，复合物进一步分解形成产物P和酶E。模型如下
在这个模型里，底物S经过酶E的催化先形成复合物SE，复合物SE分解成产物P与酶E。简化得到基本酶反应式
（2）
其中S是底物，E是酶，SE是底物—酶复合物，P是产物。（约定用相应的小写字母表示物质的浓度）其中，，是与反应速率相关的常系数。双箭头表示反应是可逆的，单箭头表示反应是单向进行的。
2 酶反应动力系统的微分方程组及其无量纲化
在(2)中应用质量作用定律（law of mass action），得到如下非线性反应方程组（reaction rate equation, RRE）：
（3）
其中e(t)表示t时刻酶的浓度，s(t)表示t时刻底物的浓度，c(t)表示t时刻复合物的浓度，表示酶初始浓度,表示酶和底物生成复合物产物的反应速率，表示复合物分解成产物和酶的反应速率，表示复合物分解成底物和酶的反应速率。为了得到方程的解，给出初值条件：
（4）
方程组（3）中的最后一个方程与前三个是分离的。若c(t)已知可得
（5）
在反应中，酶E是催化剂，仅起催化反应的作用。因此它的总浓度（自由酶与结合酶的总和）是恒定的。（3）中的第二个方程和第三个方程分别表示自由的酶e的浓度和结合的酶c的浓度，将它们相加和为0，即得酶守恒。且由初值条件（4）可得
（6）这样常微分方程组化为s和c的两个变量的方程，即
(7)
初值条件为
（8）
拟平衡假设：由于复合物形成非常快，反应开始后在很短的时间内就达到平衡。即假设 因此由反应第二个方程，将c(t)用s(t)表示如下
（9）
将之代入（7）中的第一个方程得
（10）
这里被称为米氏常数。通常酶的浓度相比于底物浓度是极其少量的。假定反应初始底物的浓度没有发生变化。在这种情况下，初始条件就是所谓的近拟准稳态。求解（8）可得s(t)的一个隐式解为
(11)
非线性系统（11）不能以简单的解析形式求得，使用MATLAB按照龙格库塔四阶方法画图，得到s，e，c，p随时间演变的曲线如下所示。
图A.1 底物S的浓度随时间的变化
图A.2 酶E的浓度随时间的变化
图A.3 复合物C的浓度随时间的变化
目录
摘要1
关键词1
Abstract1
Key words1
引言1
1基本酶反应动力系统2
2酶反应动力系统的微分方程组及其无量纲化 2
3 尺度分析瞬时时间尺度与慢时间尺度7
4 MichaelisMenten拟稳态分析10
5 Gauss方法数值模拟得出误差13
6结论17
7致谢17
参考文献17
酶促反应模型的数学分析与数值模拟
信息与计算科学 梅璐莹
引言
引言
生物体内持续不断的发生着化学反应，酶(E)作为一种起催化作用的蛋白质，有选择地与特定底物(S)发生生物反应。比如，在人类的红细胞中，血红蛋白作为酶，与底物氧、二氧化碳相结合。在生物调控过程中，酶往往作为反应中的激活子或抑制子起着重要的催化抑制作用。酶与底物结合生成的底物酶复合物(SE)，在MichaelisMenten反应中，这是催化中最重要的一步。复合物可以分解为酶(E)和产物(P)。反应过程中，酶的浓度保持不变，在底物浓度比较小时，生物体反应速率与底物浓度成正比。
在1913年，L.Michaelis和M.Maud.Menton为了解释这些动力学特性构造出了一个模型。构造这个模型的一个重要前提是把催化过程中专一的底物酶复合物当做是必需的中间产物。模型如下
（1）
这个模型能够说明大部分酶的动力学性质。在1988年，Segel 等人发展了
*好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
传统的分析方法，进一步思考酶浓度与底物浓度差不多时的情况。这时底物浓度与酶浓度都相当低，反应速率随底物浓度的变化几乎不变。由此得到两种不同的反应时间尺度，即反应刚开始的短时间尺度（瞬时时间）和底物大量消耗的长时间尺度（慢时间尺度），据此给出两种不同的无量纲化。然后，使用奇异扰动分析技术解出该模型的内解和外解。
1 基本酶反应动力系统
Menten和Michaelis提出一个最基本的酶反应[11]，单底物S与酶E结合形成底物酶复合物SE，复合物进一步分解形成产物P和酶E。模型如下
在这个模型里，底物S经过酶E的催化先形成复合物SE，复合物SE分解成产物P与酶E。简化得到基本酶反应式
（2）
其中S是底物，E是酶，SE是底物—酶复合物，P是产物。（约定用相应的小写字母表示物质的浓度）其中，，是与反应速率相关的常系数。双箭头表示反应是可逆的，单箭头表示反应是单向进行的。
2 酶反应动力系统的微分方程组及其无量纲化
在(2)中应用质量作用定律（law of mass action），得到如下非线性反应方程组（reaction rate equation, RRE）：
（3）
其中e(t)表示t时刻酶的浓度，s(t)表示t时刻底物的浓度，c(t)表示t时刻复合物的浓度，表示酶初始浓度,表示酶和底物生成复合物产物的反应速率，表示复合物分解成产物和酶的反应速率，表示复合物分解成底物和酶的反应速率。为了得到方程的解，给出初值条件：
（4）
方程组（3）中的最后一个方程与前三个是分离的。若c(t)已知可得
（5）
在反应中，酶E是催化剂，仅起催化反应的作用。因此它的总浓度（自由酶与结合酶的总和）是恒定的。（3）中的第二个方程和第三个方程分别表示自由的酶e的浓度和结合的酶c的浓度，将它们相加和为0，即得酶守恒。且由初值条件（4）可得
（6）这样常微分方程组化为s和c的两个变量的方程，即
(7)
初值条件为
（8）
拟平衡假设：由于复合物形成非常快，反应开始后在很短的时间内就达到平衡。即假设 因此由反应第二个方程，将c(t)用s(t)表示如下
（9）
将之代入（7）中的第一个方程得
（10）
这里被称为米氏常数。通常酶的浓度相比于底物浓度是极其少量的。假定反应初始底物的浓度没有发生变化。在这种情况下，初始条件就是所谓的近拟准稳态。求解（8）可得s(t)的一个隐式解为
(11)
非线性系统（11）不能以简单的解析形式求得，使用MATLAB按照龙格库塔四阶方法画图，得到s，e，c，p随时间演变的曲线如下所示。
图A.1 底物S的浓度随时间的变化
图A.2 酶E的浓度随时间的变化
图A.3 复合物C的浓度随时间的变化
版权保护: 本文由 hbsrm.com编辑，转载请保留链接: www.hbsrm.com/jsj/xxaq/954.html
