精细时程积分法在旋翼动力学方程求解中的应用(附件)【字数：14193】
摘 要摘 要旋翼动力学研究对象是直升机旋翼桨叶和桨毂，其主要包括三大部分频率、响应与振动。其中振动研究又建立在动响应计算的基础之上。所以旋翼动力学动响应计算（即动力学微分方程的求解）精度决定着旋翼桨叶、桨毂振动分析的精度。旋翼动力学方程主要描述对象是桨叶构件，而桨叶本身具有结构预扭、变截面以及特殊桨尖布局等特性。所以方程中结构与几何非线性较强，自由度耦合较复杂。这些特性进一步造成了桨叶有限元划分单元数较多、方程规模较大的问题。由于桨叶始终处于离心力场中，方程中将同时含有轴向拉伸和弹性扭转自由度。桨叶在这两个方向上的较大刚度差异直接导致了微分方程的刚性较大。鉴于上述原因，旋翼动力学方程具有较强非线性、较大刚性比的特征。因此提高这类方程的求解精度便成了动力学研究中的关键问题之一。传统求解方法往往采用模态截断法，且只针对充分简化的结构动力学方程。本课题引入精细时程积分法尝试求解旋翼动力学这类方程。本课题首要任务是理解经典的精细时程积分法及其衍生方法，优选其中精度实现较高的方法应用于微分方程求解。其次是利用MATLAB程序将该方法与四阶Runge-Kutta法等作深入比较，目的是研究它们在积分精度、收敛速度以及数值稳定性等方面的特点。关键词旋翼动力学；非线性系统；精细时程积分；算法比较
目录
第一章 绪论 1
1.1 研究背景 1
1.2 旋翼动力学综述 2
1.2.1 旋翼运动特点 2
1.2.2 旋翼动力学结构 2
1.3 精细时程积分法及其发展 4
1.4 本文主要研究内容 8
第二章 旋翼动力学方程 9
2.1 旋翼动力学方程算法 10
2.2 传统积分方法 11
2.2.1 NEWMARK方法 11
2.2.2 RUNGEKUTTA方法 12
2.3 精细时程积分法 13
2.3.1 方程与正则变换 13
2.3.2 指数矩阵计算 14
2.3.3 不同形式荷载特定解决方案 15
2.3.4 显式精细时程积分法稳定性 16
第三章 精细时程积分法应用 18
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3.1 二自由度动力学方程求解 18
3.2 七自由度动力学方程求解 20
3.3 线性悬臂梁动力学方程求解 23
3.4 桨叶动力学方程求解 26
结 论 29
致 谢 30
参 考 文 献 31
第一章 绪论
1.1 研究背景
直升机因其具有垂直起降与空中悬停等飞行能力而在军用和民用领域中得到了广泛的关注与应用。随着航空业的发展，为直升机提供主要动力的旋翼系统也在不断发展进步。直升机旋翼动力学模型较为复杂，求解也存在一定困难，因此，如何有效地提高旋翼动力学方程的求解精度、缩短设计周期、降低研发成本成为研究先进旋翼构型的关键所在。与此同时，建模过程又是与求解过程相互关联的，在建模时必须采用数值求解方法，二者是紧密联系、不可分割的。
经过几十年的发展，数值求解方法日益进步。其中，钟万勰[1]教授于1994年在大连理工大学学报发表的《结构动力学的精细时程积分法》最为引人注目。钟教授在该文中首次提出对线性定常结构动力系统求解采用精细时程积分法。它的解在积分点处和数值上逼近于精确解的数值结果，数值例题验证了该方法高度精确的特点。2002年，华中科技大学向宇[2]教授通过对精细积分法递推过程的误差分析 ,得出了该方法能获得高精度数值结果的根本原因，即数值积分的相对误差不会随递推过程的进行而扩散。数值结果的精度仅仅取决于初始 Taylor级数展开式的阶次、指数矩阵的最大模特征值以及Duhamel积分项的精度。同时还提出了一种估计和设计精度的方法。2004年，湖南大学周锡元院士和汪梦甫教授[4]将精细积分法的基本原理和高斯积分方法相结合，建立了一个新的精细积分格式，从而省去矩阵求逆的步骤，创造了高斯精细时程积分法。该方法理论上可以达到任意精度，提高了计算效率。2007年，山西大学[5]张素英教授等人参照钟院士的精细时程积分法，结合RungeKutta方法，推导出精细库塔法的算法，综合了二者的优点，有效地改善了数值方法的稳定性。2009年，西安建筑科技大学李青宁[6]教授针对精细积分法带来的矩阵阶数高问题,提出将Wilsonθ法[7]、Newmark法[8]与精细积分法结合来进行求解动力方程,降低了阶数从而提高了计算效率。采用高斯数值积分公式[9]、Simpson公式[10]、RungeKutta方法[11]等积分方法求解非齐次动力方程,使之与降阶的精细积分法相结合,建立了新的精细积分格式,为精细积分法在实际工程中的应用提供了可行的方法。
旋翼动力学方程具有较强非线性、较大刚性比的特征。因此提高这类方程的求解精度便成了动力学研究中的关键问题之一。传统求解方法往往采用模态截断法，且只针对充分简化的结构动力学方程。本课题引入精细时程积分法尝试求解旋翼动力学这类方程。课题首要任务是理解经典的精细时程积分法及其衍生方法和改进，优选其中精度实现较高的方法应用于微分方程求解。其次是将该方法与其它常用的积分数值算法作深入比较，目的是研究它们在收敛速度、数值稳定性以及积分精度方面的特点。其中精细时程积分法以及其它常用算法的程序实现是本课题的难点内容。
1.2 旋翼动力学综述
直升机在飞行时，其旋翼与周围空气产生相对运动，桨叶上所受的力矩和空气动力等随飞行的运动状态呈现规律性变化。因此，研究旋翼动力学是计算直升机性能、飞行质量、振动以及噪声的基础，亦即直升机飞行力学研究的核心问题。一般来说，直升机旋翼上产生的振动频率与激振力随着飞行速度和桨叶挥舞速度的增大而增大。这带来的后果就是飞行的最大速度提不上去，不能充分利用发动机的最大功率。事实上，相比于我们坐过的客机等固定翼飞机而言，直升机旋翼周围的流场要复杂得多。这也给旋翼动力学的发展带来了许多不利因素。旋翼系统不同于简单的多自由度体系，其复杂的运动，如挥舞摆振、变距等等，相互耦合而构成了极为复杂的旋翼结构体系，形成了复杂的结构动力学问题。因此，对旋翼结构进行动力学仿真模拟并不断优化改进动力学方程的求解算法很有必要。
1.2.1 旋翼运动特点
旋翼桨叶的运动十分复杂。一方面桨叶本身绕旋翼轴旋转，另一方面，旋翼随直升机飞行而有牵连运动。
为了消除或减弱因两个翼面风速不一产生的倾覆力矩，避免不必要的后果，可以采取在桨叶根部装上一个水平铰或是采用一个柔性连接的方式。这样，桨叶相对于桨毂上下挥舞，可以消除或减小桨叶根部的弯矩。同样地，在桨叶旋转一圈的过程中，旋转平面内的力也随周期的变化而变化。由于桨叶根部固接在直升机上，会使旋转平面内产生交变弯矩，为了消除或削弱其消极的影响，可以在桨叶根部装置另外一个垂直铰；也可以在旋转平面内采用柔性连接，桨叶就可以前后摆振了。这样，桨叶在旋转时既有挥舞也有摆振，加上桨叶绕自身轴的变距，桨叶上的气动力会与惯性力和弹性力互相耦合，最终达到消除或减弱倾覆力矩的目的。
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第一章 绪论 1
1.1 研究背景 1
1.2 旋翼动力学综述 2
1.2.1 旋翼运动特点 2
1.2.2 旋翼动力学结构 2
1.3 精细时程积分法及其发展 4
1.4 本文主要研究内容 8
第二章 旋翼动力学方程 9
2.1 旋翼动力学方程算法 10
2.2 传统积分方法 11
2.2.1 NEWMARK方法 11
2.2.2 RUNGEKUTTA方法 12
2.3 精细时程积分法 13
2.3.1 方程与正则变换 13
2.3.2 指数矩阵计算 14
2.3.3 不同形式荷载特定解决方案 15
2.3.4 显式精细时程积分法稳定性 16
第三章 精细时程积分法应用 18
*好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
3.1 二自由度动力学方程求解 18
3.2 七自由度动力学方程求解 20
3.3 线性悬臂梁动力学方程求解 23
3.4 桨叶动力学方程求解 26
结 论 29
致 谢 30
参 考 文 献 31
第一章 绪论
1.1 研究背景
直升机因其具有垂直起降与空中悬停等飞行能力而在军用和民用领域中得到了广泛的关注与应用。随着航空业的发展，为直升机提供主要动力的旋翼系统也在不断发展进步。直升机旋翼动力学模型较为复杂，求解也存在一定困难，因此，如何有效地提高旋翼动力学方程的求解精度、缩短设计周期、降低研发成本成为研究先进旋翼构型的关键所在。与此同时，建模过程又是与求解过程相互关联的，在建模时必须采用数值求解方法，二者是紧密联系、不可分割的。
经过几十年的发展，数值求解方法日益进步。其中，钟万勰[1]教授于1994年在大连理工大学学报发表的《结构动力学的精细时程积分法》最为引人注目。钟教授在该文中首次提出对线性定常结构动力系统求解采用精细时程积分法。它的解在积分点处和数值上逼近于精确解的数值结果，数值例题验证了该方法高度精确的特点。2002年，华中科技大学向宇[2]教授通过对精细积分法递推过程的误差分析 ,得出了该方法能获得高精度数值结果的根本原因，即数值积分的相对误差不会随递推过程的进行而扩散。数值结果的精度仅仅取决于初始 Taylor级数展开式的阶次、指数矩阵的最大模特征值以及Duhamel积分项的精度。同时还提出了一种估计和设计精度的方法。2004年，湖南大学周锡元院士和汪梦甫教授[4]将精细积分法的基本原理和高斯积分方法相结合，建立了一个新的精细积分格式，从而省去矩阵求逆的步骤，创造了高斯精细时程积分法。该方法理论上可以达到任意精度，提高了计算效率。2007年，山西大学[5]张素英教授等人参照钟院士的精细时程积分法，结合RungeKutta方法，推导出精细库塔法的算法，综合了二者的优点，有效地改善了数值方法的稳定性。2009年，西安建筑科技大学李青宁[6]教授针对精细积分法带来的矩阵阶数高问题,提出将Wilsonθ法[7]、Newmark法[8]与精细积分法结合来进行求解动力方程,降低了阶数从而提高了计算效率。采用高斯数值积分公式[9]、Simpson公式[10]、RungeKutta方法[11]等积分方法求解非齐次动力方程,使之与降阶的精细积分法相结合,建立了新的精细积分格式,为精细积分法在实际工程中的应用提供了可行的方法。
旋翼动力学方程具有较强非线性、较大刚性比的特征。因此提高这类方程的求解精度便成了动力学研究中的关键问题之一。传统求解方法往往采用模态截断法，且只针对充分简化的结构动力学方程。本课题引入精细时程积分法尝试求解旋翼动力学这类方程。课题首要任务是理解经典的精细时程积分法及其衍生方法和改进，优选其中精度实现较高的方法应用于微分方程求解。其次是将该方法与其它常用的积分数值算法作深入比较，目的是研究它们在收敛速度、数值稳定性以及积分精度方面的特点。其中精细时程积分法以及其它常用算法的程序实现是本课题的难点内容。
1.2 旋翼动力学综述
直升机在飞行时，其旋翼与周围空气产生相对运动，桨叶上所受的力矩和空气动力等随飞行的运动状态呈现规律性变化。因此，研究旋翼动力学是计算直升机性能、飞行质量、振动以及噪声的基础，亦即直升机飞行力学研究的核心问题。一般来说，直升机旋翼上产生的振动频率与激振力随着飞行速度和桨叶挥舞速度的增大而增大。这带来的后果就是飞行的最大速度提不上去，不能充分利用发动机的最大功率。事实上，相比于我们坐过的客机等固定翼飞机而言，直升机旋翼周围的流场要复杂得多。这也给旋翼动力学的发展带来了许多不利因素。旋翼系统不同于简单的多自由度体系，其复杂的运动，如挥舞摆振、变距等等，相互耦合而构成了极为复杂的旋翼结构体系，形成了复杂的结构动力学问题。因此，对旋翼结构进行动力学仿真模拟并不断优化改进动力学方程的求解算法很有必要。
1.2.1 旋翼运动特点
旋翼桨叶的运动十分复杂。一方面桨叶本身绕旋翼轴旋转，另一方面，旋翼随直升机飞行而有牵连运动。
为了消除或减弱因两个翼面风速不一产生的倾覆力矩，避免不必要的后果，可以采取在桨叶根部装上一个水平铰或是采用一个柔性连接的方式。这样，桨叶相对于桨毂上下挥舞，可以消除或减小桨叶根部的弯矩。同样地，在桨叶旋转一圈的过程中，旋转平面内的力也随周期的变化而变化。由于桨叶根部固接在直升机上，会使旋转平面内产生交变弯矩，为了消除或削弱其消极的影响，可以在桨叶根部装置另外一个垂直铰；也可以在旋转平面内采用柔性连接，桨叶就可以前后摆振了。这样，桨叶在旋转时既有挥舞也有摆振，加上桨叶绕自身轴的变距，桨叶上的气动力会与惯性力和弹性力互相耦合，最终达到消除或减弱倾覆力矩的目的。
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