刚性生物化学反应系统的随机模拟方法
摘要：本文研究具有快慢反应的刚性系统的慢尺度随机模拟算法。传统的随机模拟算法(SSA)精确地模拟每一个化学反应。但是对于同时具有快反应和慢反应的刚性系统而言，SSA将大量时间用于相对不重要的快反应。本文建立的慢尺度模拟算法，在对快反应采用抽样近似的基础上，着重模拟慢反应，使得模拟效率大为提高。本文利用Matlab数学软件对生物化学反应系统进行了数值模拟，得出如下结论：1) SSA是一个有效且精确的模拟，因为其模拟每一个反应；2) 对于多尺度系统，ssSSA效率比SSA效率高很多；3) 只有满足随机刚性条件的时候我们才可以使用ssSSA；4) ssSSA的关键就是要计算慢尺度倾向性函数，主要是慢反应涉及到的快物质服从何种分布；5) ssSSA是SSA的一个加速方法。
目录
摘要1
关键词1
Abstract 1
Key words 1
引言1
1 1 随机模拟算法2
1.1 基础知识2
1.2 搅匀条件和倾向函数 2
1.3 化学主方程(CME)与反应率方程(RRE) 3
1.4 随机模拟算法 4
1.5 从SSA看反应率方程 5
1.6 数值实验 7
2 慢尺度随机模拟算法 9
2.1 实质快过程 9
2.2 快慢反应和快慢物质的划分 9
2.3 慢尺度随机模拟算法 10
2.3.1 随机刚性条件 10
2.3.2 慢尺度倾向性函数 10
2.3.3 慢尺度随机模拟算法 10
2.4 数值实验 10
3 结论与展望 14
致谢 15
参考文献 15
刚性生物化学反应系统的随机模拟方法
信息与计算科学 蔡娣
引言
引言自然界各种各样的生命活动都是基于生物化学反应的，生物化学反应促成了这多姿多彩的世界。主要有两种方法来分析化学反应系统：1)反应动力学；2)数值模拟(随机)。
生命的基本单位是细胞，细胞活动的基础是一整套精密而复杂的化学反应网络。从化学反应基本原理出发理解
*好棒文|www.hbsrm.com +Q: 3 5 1 9 1 6 0 7 2
生命活动的规律已经成为生物学研究中的一个重要课题，在对生物系统的研究过程中，仅通过实验方法很难了解复杂的调控网络行为，而通过建立数学模型和计算机模拟的方法是了解复杂系统行为，特别是某些动力学性质的重要手段，也是当前研究生物化学反应的主要方法之一。近年来，随着研究的深入，化学反应模型正变得庞大和复杂，数值模拟已经成为研究这些复杂系统不可或缺的工具。本文第一部分主要研究SSA及从SSA角度解反应率方程(常微分方程)，本文第二部分主要研究ssSSA，通过对SSA和ssSSA的研究和数值模拟，本文第三部分简述了结论与对未来的展望。
1 随机模拟算法
1.1 基础知识
从文献[2,3,7]及其中的参考文献中我们可以了解到随机化学动力学的一些基本概念。考虑有种化学物质的分子系统，它们通过个基本反应通道相互作用。基本反应是最简单的反应，随时可能发生。实际上，只有两类基本反应：单分子反应和双分子反应。单分子反应是指单个分子改变其形式；在双分子反应中，两个分子碰撞，然后发生化学变化。所有其他类型的反应（如三分子反应，可逆反应等）都可以分解为上述两个基本反应。
模拟化学反应的时间演化的理想方法是分子动力学。分子动力学精确追踪每个分子的位置和速度。因此分子动力学模拟系统中发生的每一个分子碰撞，包括“反应性”碰撞和“非反应性”碰撞。“反应性”碰撞引起双分子反应，而“非反应性”碰撞中两个碰撞的分子只是彼此弹开而不发生任何化学变化。但是，这样非常细致的分类计算对几乎所有的真实系统都是行不通的。
1.2 搅匀条件和倾向函数
如果连续的反应性碰撞在时间上被很多的非反应性碰撞分隔开的话，那么问题就大大简化了，因为分子的速度与位置被随机化了：速度服从系统温度的MaxwellBoltzmann分布，而在分子在容积中的位置变成为随机均匀的。有两种可能性导致这样的情况：系统是自搅拌的；外源性搅拌或摇晃。这里，我们只考虑这样的搅匀(wellstirred)系统。
尽管要确定一个一般的化学系统的状态，需要给出系统中每一个分子的瞬时位置、瞬时速度以及其物质种类，但搅匀系统状态的确定却很容易并且我们只关注系统状态随时间变化的关系。
为了更好的描述系统状态，我们需要建立数学模型并进行数值模拟：a) 令，其中是时刻中分子的数量；b) 状态改变向量，其中是由反应事件所引起的分子数量的变化量，则反应引起状态变化的更新为；c) 关于反应的最重要的特征量是倾向性函数(propensity function) ，其定义如下：
定义1. 对于给定状态，在接下来的无限小时间间隔内一个反应发生的概率。
定义1是随机化学反应动力学的基本前提，因为其它一切东西与可以由它得到。但其不能简单地在数学上加以假设，必须建立在物理理论的基础之上。这需要找到具体的物理条件，在该条件下满足定义1的函数存在，然后确定函数的形式。这就要求我们主要求出每个的反应概率的变化率常数，从而=随机选取的反应中反应物分子的组合在时间内发生反应的概率。然后，我们可以使用概率论中的加法法则计算概率，这个概率就是当前状态下对反应物分子的所有不同组合的之和。
以下是三类基本反应的倾向性函数表达式：
， (1a)
， (1b)
， (1c)
其中常数对不同的化学反应是高度特异的。对于单分子反应(1a)，由量子力学决定。对于双分子反应(1b)和(1c)，是一对随机选取的反应物分子在随后的时间内碰撞的概率乘以一次这样的碰撞会导致反应发生一次的概率[8]。碰撞因子一般与成反比，即在一个较大的容器中这两个分子更难相遇。对弹射(如在稀有气体中)或扩散(在溶液中)的搅匀分子，碰撞概率因子可以由标准的理论推导给出。
对于一般化学反应式
：， (2)
我们有
，. (3)
若对于任意，有，则可近似得
. (4)
1.3 化学主方程(CME)与反应率方程(RRE)
于在时间内发生多于一个反应的概率小到可以由定义1可知，关于化学反应系统我们至多预测的是：给定，求的概率。由概率论可知，我们将写成系统由时刻的状态，以全部互斥的方式，经过时刻的给定状态，到达时刻的状态的概率之和。由此，我们可以得到
上式右端第一项表示在时刻系统状态已经为，而后在时间区间内没有任何反应发生的概率。第二项表示，如果系统是从时刻系统的状态中去掉一次反应，那么在内反应发生一次的概率。我们取足够小，以至忽略不计，这样就能保证这些在通向时刻状态为的条道路是互斥而有限的。上述方程两端减去，除以，再取极限，我们得到化学主方程(CME)：
目录
摘要1
关键词1
Abstract 1
Key words 1
引言1
1 1 随机模拟算法2
1.1 基础知识2
1.2 搅匀条件和倾向函数 2
1.3 化学主方程(CME)与反应率方程(RRE) 3
1.4 随机模拟算法 4
1.5 从SSA看反应率方程 5
1.6 数值实验 7
2 慢尺度随机模拟算法 9
2.1 实质快过程 9
2.2 快慢反应和快慢物质的划分 9
2.3 慢尺度随机模拟算法 10
2.3.1 随机刚性条件 10
2.3.2 慢尺度倾向性函数 10
2.3.3 慢尺度随机模拟算法 10
2.4 数值实验 10
3 结论与展望 14
致谢 15
参考文献 15
刚性生物化学反应系统的随机模拟方法
信息与计算科学 蔡娣
引言
引言自然界各种各样的生命活动都是基于生物化学反应的，生物化学反应促成了这多姿多彩的世界。主要有两种方法来分析化学反应系统：1)反应动力学；2)数值模拟(随机)。
生命的基本单位是细胞，细胞活动的基础是一整套精密而复杂的化学反应网络。从化学反应基本原理出发理解
*好棒文|www.hbsrm.com +Q: 3 5 1 9 1 6 0 7 2
生命活动的规律已经成为生物学研究中的一个重要课题，在对生物系统的研究过程中，仅通过实验方法很难了解复杂的调控网络行为，而通过建立数学模型和计算机模拟的方法是了解复杂系统行为，特别是某些动力学性质的重要手段，也是当前研究生物化学反应的主要方法之一。近年来，随着研究的深入，化学反应模型正变得庞大和复杂，数值模拟已经成为研究这些复杂系统不可或缺的工具。本文第一部分主要研究SSA及从SSA角度解反应率方程(常微分方程)，本文第二部分主要研究ssSSA，通过对SSA和ssSSA的研究和数值模拟，本文第三部分简述了结论与对未来的展望。
1 随机模拟算法
1.1 基础知识
从文献[2,3,7]及其中的参考文献中我们可以了解到随机化学动力学的一些基本概念。考虑有种化学物质的分子系统，它们通过个基本反应通道相互作用。基本反应是最简单的反应，随时可能发生。实际上，只有两类基本反应：单分子反应和双分子反应。单分子反应是指单个分子改变其形式；在双分子反应中，两个分子碰撞，然后发生化学变化。所有其他类型的反应（如三分子反应，可逆反应等）都可以分解为上述两个基本反应。
模拟化学反应的时间演化的理想方法是分子动力学。分子动力学精确追踪每个分子的位置和速度。因此分子动力学模拟系统中发生的每一个分子碰撞，包括“反应性”碰撞和“非反应性”碰撞。“反应性”碰撞引起双分子反应，而“非反应性”碰撞中两个碰撞的分子只是彼此弹开而不发生任何化学变化。但是，这样非常细致的分类计算对几乎所有的真实系统都是行不通的。
1.2 搅匀条件和倾向函数
如果连续的反应性碰撞在时间上被很多的非反应性碰撞分隔开的话，那么问题就大大简化了，因为分子的速度与位置被随机化了：速度服从系统温度的MaxwellBoltzmann分布，而在分子在容积中的位置变成为随机均匀的。有两种可能性导致这样的情况：系统是自搅拌的；外源性搅拌或摇晃。这里，我们只考虑这样的搅匀(wellstirred)系统。
尽管要确定一个一般的化学系统的状态，需要给出系统中每一个分子的瞬时位置、瞬时速度以及其物质种类，但搅匀系统状态的确定却很容易并且我们只关注系统状态随时间变化的关系。
为了更好的描述系统状态，我们需要建立数学模型并进行数值模拟：a) 令，其中是时刻中分子的数量；b) 状态改变向量，其中是由反应事件所引起的分子数量的变化量，则反应引起状态变化的更新为；c) 关于反应的最重要的特征量是倾向性函数(propensity function) ，其定义如下：
定义1. 对于给定状态，在接下来的无限小时间间隔内一个反应发生的概率。
定义1是随机化学反应动力学的基本前提，因为其它一切东西与可以由它得到。但其不能简单地在数学上加以假设，必须建立在物理理论的基础之上。这需要找到具体的物理条件，在该条件下满足定义1的函数存在，然后确定函数的形式。这就要求我们主要求出每个的反应概率的变化率常数，从而=随机选取的反应中反应物分子的组合在时间内发生反应的概率。然后，我们可以使用概率论中的加法法则计算概率，这个概率就是当前状态下对反应物分子的所有不同组合的之和。
以下是三类基本反应的倾向性函数表达式：
， (1a)
， (1b)
， (1c)
其中常数对不同的化学反应是高度特异的。对于单分子反应(1a)，由量子力学决定。对于双分子反应(1b)和(1c)，是一对随机选取的反应物分子在随后的时间内碰撞的概率乘以一次这样的碰撞会导致反应发生一次的概率[8]。碰撞因子一般与成反比，即在一个较大的容器中这两个分子更难相遇。对弹射(如在稀有气体中)或扩散(在溶液中)的搅匀分子，碰撞概率因子可以由标准的理论推导给出。
对于一般化学反应式
：， (2)
我们有
，. (3)
若对于任意，有，则可近似得
. (4)
1.3 化学主方程(CME)与反应率方程(RRE)
于在时间内发生多于一个反应的概率小到可以由定义1可知，关于化学反应系统我们至多预测的是：给定，求的概率。由概率论可知，我们将写成系统由时刻的状态，以全部互斥的方式，经过时刻的给定状态，到达时刻的状态的概率之和。由此，我们可以得到
上式右端第一项表示在时刻系统状态已经为，而后在时间区间内没有任何反应发生的概率。第二项表示，如果系统是从时刻系统的状态中去掉一次反应，那么在内反应发生一次的概率。我们取足够小，以至忽略不计，这样就能保证这些在通向时刻状态为的条道路是互斥而有限的。上述方程两端减去，除以，再取极限，我们得到化学主方程(CME)：
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