振荡微分方程的拟合型st？rmerverlet方法
摘要：弹性力学、天体力学、分子动力学、生态学以及量子物理领域中的诸多问题都可以将其归结为二阶振荡微分方程的形式。本文研究一类可改写成一阶微分方程组的二阶微分方程的初值问题。求解一阶微分方程组的经典方法是St?rmer-Verlet方法。一阶微分方程组可以转化为Hamilton函数，大量Hamilton系统都具有振荡解，尽管St?rmer-Verlet方法可以较好地保持系统的辛性甚至较精确地保持能量，但不能保持精确解的振荡性质。着眼于二阶振荡方程的结构特点，本文将St?rmer-Verlet方法进一步改造得到辛对称St?rmer-Verlet方法的一般格式，并通过对常用的测试问题进行数值试验，验证新的方法与传统非保结构方法相比较在计算精度和计算效率的优势。
目录
摘要1
关键词1
Abstract1
Key words1
引言1
1常见微分方程的方法3
1.1龙格库塔方法3
1.2分段龙格库塔（PRK）方法4
1.3 RKN方法5
1.4更新权依赖于频率的RK型方法6
1.5 一般振荡Hamilton系统的零色散与零耗散（相拟合与振幅拟合）的分块PRK方法
6
1.6辛对称ERKN方法7
1.7 St?rmerVerlet方法8
2修正的St?rmerVerlet方法的构造9
3 数值实验 12
3.1 杜菲问题12
3.2 二体问题13
4总结 14
致谢14
参考文献15
振荡微分方程的拟合型St?rmerVerlet方法
引言
引言
本文针对一类特殊二阶微分方程建立高效的拟合型St?rmerVerlet方法。 St?rmerVerlet方法具有辛性以及对称性，数值实验时在保结构和计算效率等方面具有一定的优势，至今已发展成为一类非常重要的数值方法[1]。由于有摩擦的单振子、偶合振子以及变质量动力学问题[2,3,4,5]，量子力学的量子有阻尼振子问题[6,7]都可以归结为我们所研究的方程，因此本选题具有重要的理
*好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^3^5^1^9^1^6^0^7^2^*
论意义和应用价值。
弹性力学、天体力学、分子动力学、生态学和量子物理领域中的诸多问题都可以归结为二阶振荡微分方程的形式。一些典型的微分方程，例如线性方程和某些特殊的非线性方程，可以使用基本的计算方法来求出它的解析解，而且在理论上也可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来。但是大多数的微分方程往往都是很难或者不能获得它的封闭形式的解析解；有时即使能求出它的解析解，也会因为其表达式过于复杂而根本不具有实用性。事实上，从应用的角度看。一般只要求得到解在若干点上的近似解或是解的便于人们计算的近似表达式（满足所规定的精度要求），这就是我们所谓的数值解。常微分方程的数值方法有着十分悠久的历史。牛顿莱布尼兹以及早期积分的发现者们为了解决各种实际问题都曾经使用过有限差分。差分方法的系统创始于Taylor（1715），1768年Euler提出了关于初值问题的方法，而对它的第一次详细的分析则是由柯西（Cauchy）在1840年给出的。由Runge（1895），Heun（1900）以及Kutta（1901）提出的RungeKutta方法在理论上可以达到任意的精度。Fehlberg在1970年发表的嵌入的RungeKutta方法引入了自适应变步长的思想，得到了RungeKuttaFehlberg方法，使得计算效率有了显著的提高。
本文主要研究一种特殊二阶微分方程的初值问题
（1）
问题（1）可以改写为一阶微分方程组
（2） St?rmer (1907)，Verlet (1967) 提出了求解一阶微分方程组（2）的St?rmerVerlet方法[1] ，其格式如下
（3）
Hamilton系统最初是由William Rowan Hamilton在1834年研究光学问题时最先提出的。后来人们发现自然科学中的许多问题都可以由Hamilton系统来描述。Hamilton系统的一般形式为[1]
（4）
其中，H（，，，，）表示系统的总能量，，（i=1，，d）分别表示位置坐标以及动量坐标，d表示自由变量的维数，，是H的偏导数。只要Hamilton系统（4）的初始值确定，那么该系统的解在任意的时刻其H的值都保持不变，且该定值为。要研究Hamilton系统（4）就必须要考虑辛性，可以说辛性是Hamilton系统（4）的本质属性之一。我们常见的求解Hamilton系统（4）的方法（例如辛RK，辛PRK，辛RKN）大多数是辛的。
Hamilton系统在弹性力学、天体力学、电子学、分子动力学、生态学和量子物理等领域有广泛应用，一阶微分方程组（2）可以转化为Hamilton函数。辛性是Hamilton系统的一个重要特性，为了在数值解中保持辛性，Suris、 冯康等发展了辛方法[8]。大量Hamilton系统都具有振荡解，尽管St?rmerVerlet能够较好地保持系统的辛性甚至较精确地保持系统的能量，但不能保持精确解的振荡性质。
2012年，陈朝霞等对一阶振荡微分方程组，根据零色散与零耗散条件和部分阶条件构造了更新系数依赖于系统主频率与步长乘积的四阶和五阶适应性RK类方法。通过对基因调控网络的计算，证明新方法比文献中的同阶常系数RK方法和若干有名的适应性方法更高效[9]。
2012年，陈朝霞等研究对应于辛PRK方法的有根树的阶条件，得到一类求解一般振荡Hamilton系统的零色散与零耗散（相拟合与振幅拟合）的分块PRK方法，该方法的部分系数依赖于系统的主频率与步长乘积，使得其用于求解标准的线性振动系统时没有截断误差[10]。
2012年，对于二阶受扰动振子系统，陈朝霞等得到了ERKN (extended RungeKutta Nystr?m) 方法的辛条件、对称性条件。所导出的两个对称辛ERKN方法在对几个经典的Hamilton系统测试问题的数值实验中比文献中的若干著名的高效数值方法效率更高，更能精确地保持Hamilton能量[11]。
2013年，游雄，陈朝霞等对二阶振荡方程应用三角拟合技术构造了一类五阶和一类六阶适应性的Numerov型方法，新方法的精度与计算效率明显优于传统方法[12]。
目录
摘要1
关键词1
Abstract1
Key words1
引言1
1常见微分方程的方法3
1.1龙格库塔方法3
1.2分段龙格库塔（PRK）方法4
1.3 RKN方法5
1.4更新权依赖于频率的RK型方法6
1.5 一般振荡Hamilton系统的零色散与零耗散（相拟合与振幅拟合）的分块PRK方法
6
1.6辛对称ERKN方法7
1.7 St?rmerVerlet方法8
2修正的St?rmerVerlet方法的构造9
3 数值实验 12
3.1 杜菲问题12
3.2 二体问题13
4总结 14
致谢14
参考文献15
振荡微分方程的拟合型St?rmerVerlet方法
引言
引言
本文针对一类特殊二阶微分方程建立高效的拟合型St?rmerVerlet方法。 St?rmerVerlet方法具有辛性以及对称性，数值实验时在保结构和计算效率等方面具有一定的优势，至今已发展成为一类非常重要的数值方法[1]。由于有摩擦的单振子、偶合振子以及变质量动力学问题[2,3,4,5]，量子力学的量子有阻尼振子问题[6,7]都可以归结为我们所研究的方程，因此本选题具有重要的理
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论意义和应用价值。
弹性力学、天体力学、分子动力学、生态学和量子物理领域中的诸多问题都可以归结为二阶振荡微分方程的形式。一些典型的微分方程，例如线性方程和某些特殊的非线性方程，可以使用基本的计算方法来求出它的解析解，而且在理论上也可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来。但是大多数的微分方程往往都是很难或者不能获得它的封闭形式的解析解；有时即使能求出它的解析解，也会因为其表达式过于复杂而根本不具有实用性。事实上，从应用的角度看。一般只要求得到解在若干点上的近似解或是解的便于人们计算的近似表达式（满足所规定的精度要求），这就是我们所谓的数值解。常微分方程的数值方法有着十分悠久的历史。牛顿莱布尼兹以及早期积分的发现者们为了解决各种实际问题都曾经使用过有限差分。差分方法的系统创始于Taylor（1715），1768年Euler提出了关于初值问题的方法，而对它的第一次详细的分析则是由柯西（Cauchy）在1840年给出的。由Runge（1895），Heun（1900）以及Kutta（1901）提出的RungeKutta方法在理论上可以达到任意的精度。Fehlberg在1970年发表的嵌入的RungeKutta方法引入了自适应变步长的思想，得到了RungeKuttaFehlberg方法，使得计算效率有了显著的提高。
本文主要研究一种特殊二阶微分方程的初值问题
（1）
问题（1）可以改写为一阶微分方程组
（2） St?rmer (1907)，Verlet (1967) 提出了求解一阶微分方程组（2）的St?rmerVerlet方法[1] ，其格式如下
（3）
Hamilton系统最初是由William Rowan Hamilton在1834年研究光学问题时最先提出的。后来人们发现自然科学中的许多问题都可以由Hamilton系统来描述。Hamilton系统的一般形式为[1]
（4）
其中，H（，，，，）表示系统的总能量，，（i=1，，d）分别表示位置坐标以及动量坐标，d表示自由变量的维数，，是H的偏导数。只要Hamilton系统（4）的初始值确定，那么该系统的解在任意的时刻其H的值都保持不变，且该定值为。要研究Hamilton系统（4）就必须要考虑辛性，可以说辛性是Hamilton系统（4）的本质属性之一。我们常见的求解Hamilton系统（4）的方法（例如辛RK，辛PRK，辛RKN）大多数是辛的。
Hamilton系统在弹性力学、天体力学、电子学、分子动力学、生态学和量子物理等领域有广泛应用，一阶微分方程组（2）可以转化为Hamilton函数。辛性是Hamilton系统的一个重要特性，为了在数值解中保持辛性，Suris、 冯康等发展了辛方法[8]。大量Hamilton系统都具有振荡解，尽管St?rmerVerlet能够较好地保持系统的辛性甚至较精确地保持系统的能量，但不能保持精确解的振荡性质。
2012年，陈朝霞等对一阶振荡微分方程组，根据零色散与零耗散条件和部分阶条件构造了更新系数依赖于系统主频率与步长乘积的四阶和五阶适应性RK类方法。通过对基因调控网络的计算，证明新方法比文献中的同阶常系数RK方法和若干有名的适应性方法更高效[9]。
2012年，陈朝霞等研究对应于辛PRK方法的有根树的阶条件，得到一类求解一般振荡Hamilton系统的零色散与零耗散（相拟合与振幅拟合）的分块PRK方法，该方法的部分系数依赖于系统的主频率与步长乘积，使得其用于求解标准的线性振动系统时没有截断误差[10]。
2012年，对于二阶受扰动振子系统，陈朝霞等得到了ERKN (extended RungeKutta Nystr?m) 方法的辛条件、对称性条件。所导出的两个对称辛ERKN方法在对几个经典的Hamilton系统测试问题的数值实验中比文献中的若干著名的高效数值方法效率更高，更能精确地保持Hamilton能量[11]。
2013年，游雄，陈朝霞等对二阶振荡方程应用三角拟合技术构造了一类五阶和一类六阶适应性的Numerov型方法，新方法的精度与计算效率明显优于传统方法[12]。
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