被弹性环加强的椭圆孔周热应力分析
目 录
1 引言 1
1.1 椭圆孔周热应力集中问题概述 1
1.2 课题的研究背景及意义 1
1.3 课题研究的主要内容及方法 2
2 二维问题的基本方程 3
2.1 引言 3
2.2 保角变换 4
2.3 解析延拓 4
2.4 问题描述 5
2.5 本章小结 6
3 理论推导计算及数值分析与讨论 6
3.1 理论推导计算 6
3.2 数值分析与讨论 14
3.2.1 单向热流 14
3.2.2 双向热流 18
4 总结与展望 21
4.1 总结 21
4.2 展望 21
致 谢 22
参 考 文 献 23
附录 24
1 引言
在结构设计的过程中，为了满足某些生产需要，需要在结构上设计椭圆孔，此时在椭圆孔的附近则产生应力提高的区域，这被称之为应力集中区。应力集中区中的最大应力通常超过“平均应力”的好多倍，若设计的椭圆孔处于平均热流的状态下，此时无限板受到热应力的作用。而本文研究的课题是被弹性环加强的椭圆孔周热应力分析。这在力学领域中是一个非常重要的课题。在工程中，开孔板中经常出现的构件，由于椭圆孔的存在破坏了原有结构的几何连续性，导致在椭圆孔附近产生了局部应力集中的现象。此时为了使应力集中有所降低，在结构设计中，工程师们通常采用在椭圆孔外装上一层弹性环的方法。
1.1 椭圆孔周热应力集中问题概述
在结构设计过程中有时需要用到开椭圆孔的各种板,同时无限板收到均匀热流的作用而产生热胀冷缩,我们称之为热应力。热应力的集中有一些 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: %3^5`1^9`1^6^0`7^2#
不好的影响，比如能使零部件产生疲劳裂纹，而疲劳裂纹会使零件发生破坏，它也会使得脆性材料发生静载断裂。在热应力集中的区域，应力的最大值，通常也称做峰值应力，通常影响它的因素有孔的几何形状的改变和作用在构件上的加载方式等。随着科技生产力的大力发展，逐渐诞生许多测试应力集中的办法，例如散斑干涉法、云纹法、电测法、光弹性法等这些实验方法都可以测试到材料的热应力集中。随着越来越多的软件的开发和飞速发展的计算机技术，这几年来有限元法以及边界元法的迅速发展，为寻找热应力集中的数值解寻找到了新的方法。大大减轻了工作者的工作量，而且结果可以更加精确可靠。
1.2 课题的研究背景及意义
实际上人们已经花了100多年的时间来研究这些问题。1989年G.Kirch 发表了他的第一篇论文分析了受拉板中圆孔附近的应力状态。这篇论文被公认为是这一问题研究的开始。后来又有人基于这篇论文采用复变函数论的方法，提出了一种全新的解决任意孔洞附近应力集中问题的一个有效方法。这种方法使我们在解决椭圆孔洞附近的应力集中问题时表现优越。
这个时期人们发现这个问题发展的初期工作是要通过实践探索弹性力学的基本的相关规律，其中最主要的成就是胡克 在1678年发表的胡克定律即弹性体的变形与外力成正比的定律。这个问题理论基础的建立时期是其中的第二个时期，在这个时期内也出现了许多成功的方法，其中比较出名的是，在1822到1828年间，A.-L柯西 发表了一系列关于应变、应变分量、应力和应力分量的概念的论文，并在此基础上建立了弹性力学的几何方程、平衡微分方程，以及各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。
热应力问题的研究在工程方面具有重要意义，从而引起了很多研究人员的重视。1958年，萨文 提出了孔附近的应力集中问题；2007年，王志良，杨影丹，张立翔 用计算复变函数法求解含圆孔板的应力场；2009年，陈文涛 分析了含孔功能梯度材料板应力分布；2013年，李姝 对有限大含孔板的应力集中进行了分析；2013年，杨权权 分析了含孔或夹杂功能梯度材料二维问题；2007年，李亚波，罗茂功 对开椭圆孔板的应力进行了分析研究；2012年，田小改，刘卓 对不同板宽的孔边应力集中问题进行研究；2002年，路见可 用平面弹性复变方法研究应力；1995年，Kadis和Coff 发现均匀升温会在椭圆夹杂的内部产生均匀的应力场现象；1998年，Kattis和Meguid 发现椭圆夹杂在均匀温变的情况下会产生热弹性场的现象；2006年，Chao和Shen 对圆形夹杂内外的点热源进行了一系列解释。对于人们来说，更具普遍性的椭圆夹杂问题到如今仍没有很明显的研究成果。
现在很多工程中需要应用到带有椭圆孔的结构，而带有椭圆孔的结构因为长短轴的不同，发生破坏的难易程度也有所不同。此时我们需要给椭圆孔加上一个弹性环来维护结构的稳定性，而不同材料弹性环的弹性模量不同，并且如果弹性环的厚度不同，维护无限板的稳定性的强度也都会不同。同时，若结构处于一种均匀热流的状态中，在温度的作用下，使无限板产生热胀冷缩，形成热应力，也会影响结构的稳定性。总的来说，我们要通过分析被弹性环加强的椭圆孔周热应力，来更好的保持结构的稳定性，使之产生更好的经济效益。
1.3 课题研究的主要内容及方法
通过完成本毕业设计课题，使学生学会运用复变函数、材料力学、高等数学等基础知识及MATLAB等专业软件分析被弹性环加强的椭圆孔周热应力分布。通过分析，首先对结构中含有椭圆孔时的热应力集中现象形成直观深刻的认识，同时能够理解加强环对椭圆孔周热应力集中的缓解作用。通过本次设计提高学生的理论分析和工程实践能力，达到专业培养目标要求。
完成这个课题首先要认真复习材料力学、高等数学等有关的专业知识，并做好外文资料的翻译工作。其次学习数学弹性力学相关理论，学会运用保角变换和复势方法求解含椭圆孔无限大板在均匀热流作用下的应力场。然后基于上述求解方法与结果，结合应力与位移连续性条件，进一步分析椭圆孔周具有加强环时板内的热应力场。之后利用MATLAB对上述理论推导获得的方程编程求解。最后基于MATLAB程序进行绘图，给出数值图形结果。
2 二维问题的基本方程
2.1 引言
弹性力学是固体力学的重要组成部分，弹性力学研究的是弹性物体在某些外界因素促进下所造成的变形和内力，即弹性理论。弹性力学是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，它常被人们应用于土木、机械、水利、船舶等领域。
弹性体属于变形体的范畴，它通常在受到外力时会发生变形，在外力是弹性体承受力的允许范围内，将外力去除，弹性体就会恢复到原来的状态。绝对弹性体是绝不存在的。在外力消失后，物体的残余变形很小，此时就把它当作弹性体来处理。
弹性力学是固体力学的其中一个重要分支，它被大量适用于土木、船舶和化工等工程领域。弹性力学从建立到发展，经历过错误和复杂，如今已经非常成熟，它简单但是不失精确，自20世纪以来，弹性力学的发展速度变得越来越快，研究成果也极其丰富，它的研究领域也得到了很大的扩展。
在弹性力学一系列问题中，其中许多都可以归纳为寻求符合一定条件的调和函数或双调和函数。调和函数被用于分析函数的实部或虚部，而分析函数的组合形式能够形成双调和函数，所以对于弹性力学来说，它的大部分问题都可以转化为解析函数的边值问题，从而让弹性理论借用到了复变函数理论的研究成果， 找到了一种及其适合的分析问题的途径。到如今，仅有的从已知到位置的顺次求解方法是弹性问题的复势方法。这一方法由Kolosoff 和Muskhelishvili 发展的，并经过不断地努力进行完善，这是二十世纪力学领域的一个十分重要的成果，到现在仍然适用于许多科学研究工作者。
1 引言 1
1.1 椭圆孔周热应力集中问题概述 1
1.2 课题的研究背景及意义 1
1.3 课题研究的主要内容及方法 2
2 二维问题的基本方程 3
2.1 引言 3
2.2 保角变换 4
2.3 解析延拓 4
2.4 问题描述 5
2.5 本章小结 6
3 理论推导计算及数值分析与讨论 6
3.1 理论推导计算 6
3.2 数值分析与讨论 14
3.2.1 单向热流 14
3.2.2 双向热流 18
4 总结与展望 21
4.1 总结 21
4.2 展望 21
致 谢 22
参 考 文 献 23
附录 24
1 引言
在结构设计的过程中，为了满足某些生产需要，需要在结构上设计椭圆孔，此时在椭圆孔的附近则产生应力提高的区域，这被称之为应力集中区。应力集中区中的最大应力通常超过“平均应力”的好多倍，若设计的椭圆孔处于平均热流的状态下，此时无限板受到热应力的作用。而本文研究的课题是被弹性环加强的椭圆孔周热应力分析。这在力学领域中是一个非常重要的课题。在工程中，开孔板中经常出现的构件，由于椭圆孔的存在破坏了原有结构的几何连续性，导致在椭圆孔附近产生了局部应力集中的现象。此时为了使应力集中有所降低，在结构设计中，工程师们通常采用在椭圆孔外装上一层弹性环的方法。
1.1 椭圆孔周热应力集中问题概述
在结构设计过程中有时需要用到开椭圆孔的各种板,同时无限板收到均匀热流的作用而产生热胀冷缩,我们称之为热应力。热应力的集中有一些 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: %3^5`1^9`1^6^0`7^2#
不好的影响，比如能使零部件产生疲劳裂纹，而疲劳裂纹会使零件发生破坏，它也会使得脆性材料发生静载断裂。在热应力集中的区域，应力的最大值，通常也称做峰值应力，通常影响它的因素有孔的几何形状的改变和作用在构件上的加载方式等。随着科技生产力的大力发展，逐渐诞生许多测试应力集中的办法，例如散斑干涉法、云纹法、电测法、光弹性法等这些实验方法都可以测试到材料的热应力集中。随着越来越多的软件的开发和飞速发展的计算机技术，这几年来有限元法以及边界元法的迅速发展，为寻找热应力集中的数值解寻找到了新的方法。大大减轻了工作者的工作量，而且结果可以更加精确可靠。
1.2 课题的研究背景及意义
实际上人们已经花了100多年的时间来研究这些问题。1989年G.Kirch 发表了他的第一篇论文分析了受拉板中圆孔附近的应力状态。这篇论文被公认为是这一问题研究的开始。后来又有人基于这篇论文采用复变函数论的方法，提出了一种全新的解决任意孔洞附近应力集中问题的一个有效方法。这种方法使我们在解决椭圆孔洞附近的应力集中问题时表现优越。
这个时期人们发现这个问题发展的初期工作是要通过实践探索弹性力学的基本的相关规律，其中最主要的成就是胡克 在1678年发表的胡克定律即弹性体的变形与外力成正比的定律。这个问题理论基础的建立时期是其中的第二个时期，在这个时期内也出现了许多成功的方法，其中比较出名的是，在1822到1828年间，A.-L柯西 发表了一系列关于应变、应变分量、应力和应力分量的概念的论文，并在此基础上建立了弹性力学的几何方程、平衡微分方程，以及各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。
热应力问题的研究在工程方面具有重要意义，从而引起了很多研究人员的重视。1958年，萨文 提出了孔附近的应力集中问题；2007年，王志良，杨影丹，张立翔 用计算复变函数法求解含圆孔板的应力场；2009年，陈文涛 分析了含孔功能梯度材料板应力分布；2013年，李姝 对有限大含孔板的应力集中进行了分析；2013年，杨权权 分析了含孔或夹杂功能梯度材料二维问题；2007年，李亚波，罗茂功 对开椭圆孔板的应力进行了分析研究；2012年，田小改，刘卓 对不同板宽的孔边应力集中问题进行研究；2002年，路见可 用平面弹性复变方法研究应力；1995年，Kadis和Coff 发现均匀升温会在椭圆夹杂的内部产生均匀的应力场现象；1998年，Kattis和Meguid 发现椭圆夹杂在均匀温变的情况下会产生热弹性场的现象；2006年，Chao和Shen 对圆形夹杂内外的点热源进行了一系列解释。对于人们来说，更具普遍性的椭圆夹杂问题到如今仍没有很明显的研究成果。
现在很多工程中需要应用到带有椭圆孔的结构，而带有椭圆孔的结构因为长短轴的不同，发生破坏的难易程度也有所不同。此时我们需要给椭圆孔加上一个弹性环来维护结构的稳定性，而不同材料弹性环的弹性模量不同，并且如果弹性环的厚度不同，维护无限板的稳定性的强度也都会不同。同时，若结构处于一种均匀热流的状态中，在温度的作用下，使无限板产生热胀冷缩，形成热应力，也会影响结构的稳定性。总的来说，我们要通过分析被弹性环加强的椭圆孔周热应力，来更好的保持结构的稳定性，使之产生更好的经济效益。
1.3 课题研究的主要内容及方法
通过完成本毕业设计课题，使学生学会运用复变函数、材料力学、高等数学等基础知识及MATLAB等专业软件分析被弹性环加强的椭圆孔周热应力分布。通过分析，首先对结构中含有椭圆孔时的热应力集中现象形成直观深刻的认识，同时能够理解加强环对椭圆孔周热应力集中的缓解作用。通过本次设计提高学生的理论分析和工程实践能力，达到专业培养目标要求。
完成这个课题首先要认真复习材料力学、高等数学等有关的专业知识，并做好外文资料的翻译工作。其次学习数学弹性力学相关理论，学会运用保角变换和复势方法求解含椭圆孔无限大板在均匀热流作用下的应力场。然后基于上述求解方法与结果，结合应力与位移连续性条件，进一步分析椭圆孔周具有加强环时板内的热应力场。之后利用MATLAB对上述理论推导获得的方程编程求解。最后基于MATLAB程序进行绘图，给出数值图形结果。
2 二维问题的基本方程
2.1 引言
弹性力学是固体力学的重要组成部分，弹性力学研究的是弹性物体在某些外界因素促进下所造成的变形和内力，即弹性理论。弹性力学是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，它常被人们应用于土木、机械、水利、船舶等领域。
弹性体属于变形体的范畴，它通常在受到外力时会发生变形，在外力是弹性体承受力的允许范围内，将外力去除，弹性体就会恢复到原来的状态。绝对弹性体是绝不存在的。在外力消失后，物体的残余变形很小，此时就把它当作弹性体来处理。
弹性力学是固体力学的其中一个重要分支，它被大量适用于土木、船舶和化工等工程领域。弹性力学从建立到发展，经历过错误和复杂，如今已经非常成熟，它简单但是不失精确，自20世纪以来，弹性力学的发展速度变得越来越快，研究成果也极其丰富，它的研究领域也得到了很大的扩展。
在弹性力学一系列问题中，其中许多都可以归纳为寻求符合一定条件的调和函数或双调和函数。调和函数被用于分析函数的实部或虚部，而分析函数的组合形式能够形成双调和函数，所以对于弹性力学来说，它的大部分问题都可以转化为解析函数的边值问题，从而让弹性理论借用到了复变函数理论的研究成果， 找到了一种及其适合的分析问题的途径。到如今，仅有的从已知到位置的顺次求解方法是弹性问题的复势方法。这一方法由Kolosoff 和Muskhelishvili 发展的，并经过不断地努力进行完善，这是二十世纪力学领域的一个十分重要的成果，到现在仍然适用于许多科学研究工作者。
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