含圆形夹杂相无限大基体热弹性问题
目 录
1 引言 1
1.1 复合材料的发展简介 1
1.2 纤维复合材料的简介 1
1.3 界面热应力问题概述 2
1.4 本课题的研究的内容及方法 2
2 二维问题基本方程 2
2.1 引言 3
2.2 基本方程 3
3 理论分析 4
3.1温度场的计算 4
3.2应力场的计算 6
3.4 本章小结 8
4. 数值结果和讨论 8
4.1导热系数变化对界面热应力的影响 8
4.2剪切模量变化对界面热应力的影响 11
4.3 热膨胀系数变化对界面热应力的影响 14
4.4 本章小结 16
5 结论和展望 177
5.1 结论 17
5.2 展望 18
致谢 19
参考文献 20
附录 1 21
1 引言
纤维复合材料由于具有高比强度、高比模量等优异的力学性能，已经成为现代复合材料研究领域的一个重要分支。但是，纤维复合材料受界面结合状况的影响特别大。在基体中加入适当的纤维复合材料，可以提高材料的性能。因此，研究纤维复合材料在热环境中受均匀热流的影响有着重大意义。
1.1 复合材料简介
人类文明的发展经历了几百万年的时间，回看人类发展的历史，我们所知的石器时代、铜器时代、铁器时代、复合材料时代，都是以材料的发展和进步来进行划分的。材料在人类发展史的作用中是不容忽视的，好比万丈高楼的基石一样，支撑着人类的文明。而在新的世纪里，材料的主体作用仍然无法撼动，因此开发与研究新材料将是科技文明进步不可 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: 3 5 1 9 1 6 0 7 2
缺少的条件。复合材料是21世纪迅速发展的材料之一，因为材料的复合化是发展的必然规律，同时复合材料的灵活和所提高的性能，受到更广泛的关注。复合材料不同于化合物和合金材料，它是由两种或两种以上的材料简单的混合而成，这几种材料在复合材料中作为独立形态的而存在，而没有明显的化学结合。几种材料的组成，不仅保留原组成材料的主要特色，并且通过复合效应，使原材料获得原来所不具备的性能。对于复合材料的历史可追溯到久远的古代，古人当时已用草茎来增强泥土的粘合性来作为住房墙的主要材料。在古埃及，当时修建金字塔，所用的石灰、火山灰等材料作为粘合剂，混合砂石等作为砌料，这是现今发现的最早最原始的颗粒增强型复合材料。1940～1945年期间美国首次用玻璃纤维增强聚酯树脂、以手糊工艺制造军用雷达罩和飞机油箱，为树脂基复合材料在军事工业中的应用开辟了途。1944年美国空军第一次用树脂基复合材料夹层结构制造飞机机身、机翼；1946年纤维缠绕成型在美国获得专利；1950年真空袋和压力袋成型工艺研究成功并试制成功直升飞机的螺旋桨；1949年玻璃纤维预混料研制成功，利用传统的对模法压制出表面光洁的树脂基复合材料零件；20世纪60年代美国用纤维缠绕工艺研制成功"北极星A"导弹发动机壳体。早期发展的现代复合材料，由于生产量大，性能相对较低，使用面广，所以被称为常用复合材料。后来随着科技的不断进步，在原先的基础上发展出性能高的先进复合材料。而随着航天航空技术的发展，对于材料的强度、模量、韧性、耐热性、抗环境能力和加工性能都高，所以原先的复合材料不能满足，故出现了高性能树脂基先进复合材料。以后在日常生活中陆续出现金属基和陶瓷基等先进复合材料的应用。到2020年，只有复合材料才有潜力获得20-25%的性能提升，其中陶瓷基和聚合物基复合材料的密度、刚度、强度、韧性和抗高温能力都可能有如此大的改善，而被列为最优先发展的材料”。
1.2 纤维复合材料简介
纤维复合材料具有强度高、换和热应力、耐腐蚀性、耐磨性、耐热性和韧性好等优点。材料中混合纤维材料，可以有效的提高材料的弹性模量、强度、刚度等力学性的物理性能，使材料能够更好地应用于各种环境中。
纤维复合材料可分为几大类。1.纤维增强聚合物基体复合材料；2.增强纤维，玻璃纤维、碳纤维、聚芳酰胺纤维、硼纤维、碳化硅纤维；3.树脂基体。
1.3 界面热应力问题概述
两种材料结合，因为热胀冷缩的属性，分别发生体积变化，两种材料的热膨胀系数不相同，体积变化不同步，在结合处会产生界面热应力，如果两种材料结合紧密，会导致复合材料弯曲，如果两种材料结合力小于热应力，两种材料的界面会发生变形错配，导致脱层。
1.4 本课题研究内容及方法
运用数学弹性力学的复变函数方法，推导出含圆形夹杂在均匀热流中的应力分析。利用MATLAB编程求出未知系数，就可以通过公式求出夹杂周围的应力。最后将数据通过ORIGIN绘图软件画出函数图形。可以简洁明了的看出夹杂附近的应力分布规律。ORIGIN软件是美国Originnlab公司推出的数据分析和制图软件，是公认的简单易学、操作灵活、功能强大的软件，既可以满足一般用户的制图需要，也可以满足高级用户数据分析、函数拟合的需要。计算机绘图表不但省时、省力，而且可视效果更好、精确度更高。
纤维复合材料由于具有高比强度、高比模量等优异的力学性能，已经成为现代复合材料研究领域的一个重要分支。但是，纤维复合材料的性能受界面结合状况的影响很大。在基体中加入合适的复合材料，可以提高材料的性能，进而可以有效的将材料运用到各种适当的环境中。尤其当结构处于高温环境时，通过合理控制材料性能的变化规律，可以有效缓解结构内的界面热应力。因此研究纤维复合材料界面强度的影响规律有着重要的意义。在力学中，界面和纤维分别可用基体和夹杂来描述。本章将研究含复合材料任意方向均匀热流作用下二维热应力分布问题。
2 二维问题基本方程
2.1 引言
弹性力学的许多问题可归结为寻求满足一定条件的调和函数或双调和函数。解析函数的实部或虚部都是调和函数,解析函数的某种组合形式可构成双调和函数,于是弹性力学的许多问题可转化为解析函数的边值问题，从而使弹性理论借助于复变函数理论的研究成果,找到了一种近乎完美的分析途径。弹性问题的复势方法是迄今唯一能从已知到未知顺次求解的分析方法。这一方法由Kolosoff和Muskhelishvili发展并完善,是二十世纪力学领域的一大重要成果,至今仍为许多科学研究工作者所采用。另外,在二十世纪七十年代,刘殿魁等人将经典弹性力学中复变函数方法进行了推广,提出了分析二维弹性波散射与动应力集中问题的复变函数法。本文所讨论的平面热弹性问题采用和发展了这一方法。
（3.9） （3.10）
其中， 。
公式（3.9）和（3.10）组成一个含有 个方程的线性方程组，且这个方程组中含有 个未知系数 ， ， 和 ，所以这些系数可以由这些方程来完全确定。利用MATLAB编程求得这些未知系数，进而每一层环内的复势函数也可以确定，最终基体内的温度场可以由公式（2.5）确定。
4 数值结果和讨论
作为算例，我们假设夹杂剪切模量为 ，热膨胀系数为 和热导系数 ，基体的剪切模量为 ，热膨胀系数为 和热导系数 。
1 引言 1
1.1 复合材料的发展简介 1
1.2 纤维复合材料的简介 1
1.3 界面热应力问题概述 2
1.4 本课题的研究的内容及方法 2
2 二维问题基本方程 2
2.1 引言 3
2.2 基本方程 3
3 理论分析 4
3.1温度场的计算 4
3.2应力场的计算 6
3.4 本章小结 8
4. 数值结果和讨论 8
4.1导热系数变化对界面热应力的影响 8
4.2剪切模量变化对界面热应力的影响 11
4.3 热膨胀系数变化对界面热应力的影响 14
4.4 本章小结 16
5 结论和展望 177
5.1 结论 17
5.2 展望 18
致谢 19
参考文献 20
附录 1 21
1 引言
纤维复合材料由于具有高比强度、高比模量等优异的力学性能，已经成为现代复合材料研究领域的一个重要分支。但是，纤维复合材料受界面结合状况的影响特别大。在基体中加入适当的纤维复合材料，可以提高材料的性能。因此，研究纤维复合材料在热环境中受均匀热流的影响有着重大意义。
1.1 复合材料简介
人类文明的发展经历了几百万年的时间，回看人类发展的历史，我们所知的石器时代、铜器时代、铁器时代、复合材料时代，都是以材料的发展和进步来进行划分的。材料在人类发展史的作用中是不容忽视的，好比万丈高楼的基石一样，支撑着人类的文明。而在新的世纪里，材料的主体作用仍然无法撼动，因此开发与研究新材料将是科技文明进步不可 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: 3 5 1 9 1 6 0 7 2
缺少的条件。复合材料是21世纪迅速发展的材料之一，因为材料的复合化是发展的必然规律，同时复合材料的灵活和所提高的性能，受到更广泛的关注。复合材料不同于化合物和合金材料，它是由两种或两种以上的材料简单的混合而成，这几种材料在复合材料中作为独立形态的而存在，而没有明显的化学结合。几种材料的组成，不仅保留原组成材料的主要特色，并且通过复合效应，使原材料获得原来所不具备的性能。对于复合材料的历史可追溯到久远的古代，古人当时已用草茎来增强泥土的粘合性来作为住房墙的主要材料。在古埃及，当时修建金字塔，所用的石灰、火山灰等材料作为粘合剂，混合砂石等作为砌料，这是现今发现的最早最原始的颗粒增强型复合材料。1940～1945年期间美国首次用玻璃纤维增强聚酯树脂、以手糊工艺制造军用雷达罩和飞机油箱，为树脂基复合材料在军事工业中的应用开辟了途。1944年美国空军第一次用树脂基复合材料夹层结构制造飞机机身、机翼；1946年纤维缠绕成型在美国获得专利；1950年真空袋和压力袋成型工艺研究成功并试制成功直升飞机的螺旋桨；1949年玻璃纤维预混料研制成功，利用传统的对模法压制出表面光洁的树脂基复合材料零件；20世纪60年代美国用纤维缠绕工艺研制成功"北极星A"导弹发动机壳体。早期发展的现代复合材料，由于生产量大，性能相对较低，使用面广，所以被称为常用复合材料。后来随着科技的不断进步，在原先的基础上发展出性能高的先进复合材料。而随着航天航空技术的发展，对于材料的强度、模量、韧性、耐热性、抗环境能力和加工性能都高，所以原先的复合材料不能满足，故出现了高性能树脂基先进复合材料。以后在日常生活中陆续出现金属基和陶瓷基等先进复合材料的应用。到2020年，只有复合材料才有潜力获得20-25%的性能提升，其中陶瓷基和聚合物基复合材料的密度、刚度、强度、韧性和抗高温能力都可能有如此大的改善，而被列为最优先发展的材料”。
1.2 纤维复合材料简介
纤维复合材料具有强度高、换和热应力、耐腐蚀性、耐磨性、耐热性和韧性好等优点。材料中混合纤维材料，可以有效的提高材料的弹性模量、强度、刚度等力学性的物理性能，使材料能够更好地应用于各种环境中。
纤维复合材料可分为几大类。1.纤维增强聚合物基体复合材料；2.增强纤维，玻璃纤维、碳纤维、聚芳酰胺纤维、硼纤维、碳化硅纤维；3.树脂基体。
1.3 界面热应力问题概述
两种材料结合，因为热胀冷缩的属性，分别发生体积变化，两种材料的热膨胀系数不相同，体积变化不同步，在结合处会产生界面热应力，如果两种材料结合紧密，会导致复合材料弯曲，如果两种材料结合力小于热应力，两种材料的界面会发生变形错配，导致脱层。
1.4 本课题研究内容及方法
运用数学弹性力学的复变函数方法，推导出含圆形夹杂在均匀热流中的应力分析。利用MATLAB编程求出未知系数，就可以通过公式求出夹杂周围的应力。最后将数据通过ORIGIN绘图软件画出函数图形。可以简洁明了的看出夹杂附近的应力分布规律。ORIGIN软件是美国Originnlab公司推出的数据分析和制图软件，是公认的简单易学、操作灵活、功能强大的软件，既可以满足一般用户的制图需要，也可以满足高级用户数据分析、函数拟合的需要。计算机绘图表不但省时、省力，而且可视效果更好、精确度更高。
纤维复合材料由于具有高比强度、高比模量等优异的力学性能，已经成为现代复合材料研究领域的一个重要分支。但是，纤维复合材料的性能受界面结合状况的影响很大。在基体中加入合适的复合材料，可以提高材料的性能，进而可以有效的将材料运用到各种适当的环境中。尤其当结构处于高温环境时，通过合理控制材料性能的变化规律，可以有效缓解结构内的界面热应力。因此研究纤维复合材料界面强度的影响规律有着重要的意义。在力学中，界面和纤维分别可用基体和夹杂来描述。本章将研究含复合材料任意方向均匀热流作用下二维热应力分布问题。
2 二维问题基本方程
2.1 引言
弹性力学的许多问题可归结为寻求满足一定条件的调和函数或双调和函数。解析函数的实部或虚部都是调和函数,解析函数的某种组合形式可构成双调和函数,于是弹性力学的许多问题可转化为解析函数的边值问题，从而使弹性理论借助于复变函数理论的研究成果,找到了一种近乎完美的分析途径。弹性问题的复势方法是迄今唯一能从已知到未知顺次求解的分析方法。这一方法由Kolosoff和Muskhelishvili发展并完善,是二十世纪力学领域的一大重要成果,至今仍为许多科学研究工作者所采用。另外,在二十世纪七十年代,刘殿魁等人将经典弹性力学中复变函数方法进行了推广,提出了分析二维弹性波散射与动应力集中问题的复变函数法。本文所讨论的平面热弹性问题采用和发展了这一方法。
（3.9） （3.10）
其中， 。
公式（3.9）和（3.10）组成一个含有 个方程的线性方程组，且这个方程组中含有 个未知系数 ， ， 和 ，所以这些系数可以由这些方程来完全确定。利用MATLAB编程求得这些未知系数，进而每一层环内的复势函数也可以确定，最终基体内的温度场可以由公式（2.5）确定。
4 数值结果和讨论
作为算例，我们假设夹杂剪切模量为 ，热膨胀系数为 和热导系数 ，基体的剪切模量为 ，热膨胀系数为 和热导系数 。
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