二阶方阵上的rotabaxter代数
摘要：Rota-Baxter代数是满足Rota-Baxter线性算子的一类结合代数。Rota-Baxter代数与数学以及物理学等许多领域都有着广泛的联系，越来越多的数学家对其进行了研究，并得到很多重要研究成果，从而Rota-Baxter代数得到了飞快的发展。我们感兴趣的是Rota-Baxter代数的构造问题,这一问题也是许多数学家感兴趣的。本文首先总结了Rota-Baxter代数的概念及其基本性质，并且介绍了Rota-Baxter代数的基本例子及其几个基本例子的简单证明。在本文中最重要的是通过矩阵为工具，重点研究了二阶方阵上的Rota-Baxter代数构造问题。最后，通过计算得出了当权重为0时的二阶方阵上的24种Rota-Baxter算子。
目录
摘要 1
关键词 1
Abstract 1
Keywords 1
引言 1
1 RotaBaxter代数的基本介绍 2
1.1 背景知识 2
1.2 RotaBaxter代数的发展概况 2
1.3 主要研究内容及创新点 3
2 预备知识 3
2.1 RotaBaxter代数的基本概念 3
2.2 RotaBaxter代数的例子 3
2.3 RotaBaxter 代数的性质 4
3 二阶方阵上RotaBaxter代数构造 5
3.1 RotaBaxter代数的矩阵表示形式 5
3.2 二阶方阵上权重为0的RotaBaxter代数构造 5
4 总结 12
致谢 13
参考文献 13
二阶方阵上的RotaBaxter代数
引言
1 RotaBaxter代数的基本介绍
1.1 背景知识
RotaBaxter代数(最开始被称为Baxter代数)是满足RotaBaxter算子并且具有很好特性的代数。RotaBaxter代数是一类结合代数，推广了分析中的积分算子的概念。随后，数学家Rota和Smith[3]将Baxter算子与若干组合恒等式相关联，发现了某些恒等式在代
*好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072*
数学以及组合学中的应用。由于微分代数的研究起始于J. E. Ritt在20世纪30年代对微分方程的代数研究，因此RotaBaxter代数的概念也可以看成是积分分析理论的代数抽象化的定义。
1.2 RotaBaxter代数的发展概况
RotaBaxter代数起源于1960年G. Baxter的论文[14]，主要用来分析概率研究时怎样理解波动理论中的Spitzer恒等式。不久之后，这个概念引起了许多著名卓越的数学家非常大的兴趣，引起了数学界的轰动，例如F. V. Atkinson，P. Cartier和G.C. Rota就是其中的三位杰出代表。Rota最初是以被大家熟知的集合为基础，在集合中创造了关于自由Baxter代数的显式结构，并且将这个显式结构与Waring公式相结合，提供了关于Spitzer恒等式的一系列相关证明。Baxter曾在一篇重要文献[3]中，从更加一般的纯代数角度入手，推导了Spitzer恒等式和其它一些较为重要的恒等式，并且运用对称函数和独立随机变量部分和为例子来突出说明了这些恒等式的重要作用及其应用。在文献中，Rota举出了很多关于Baxter算子的例子，对这些例子之间的关系进行了透彻的分析，并且简单的讨论了关于Baxter代数对对称群的表示理论，利用Baxter算子简化了对称函数和Mobius反演公式的一些相关计算。1970年前后，G.C. Rota的一系列优秀的文章将RotaBaxter代数这个课题带入了代数学和组合学的研究领域，他伟大的研究成果在1990年后使得Baxter代数的发展到了新的阶段，为代数的发展打开了一扇崭新的大门。Cartier[4]也构造了自由Baxter代数的一个显示结构，Baxter代数与对称多项式之间的关系被更加清晰的描述出来。无论在代数学还是在几何学，Baxter代数都有十分广泛的应用，如对称函数、微分代数、累次积分、超几何函数、量子群等等。20世纪70年代末到90年代末，这一时期RotaBaxter代数的发展进入了一个休眠阶段，发展缓慢。而在此阶段，著名的物理学家C.N.杨和R. Baxter在数学物理研究中却探讨了李代数的概念和一类重要算子（被命名为经典的YangBaxter方程(CYBE)），李代数却进一步发展，从而又将RotaBaxter代数拓展到了新的方向，提供了新的思路。
巧合之处在于，在世纪交替的时候，有关RotaBaxter代数的几个研究成果都已经发表成文。1998年，Winkel研究了Baxter序列，继而又把RotaBaxter代数应用到了Connes和Kreimer研究的扰乱性量子场理论的正则化中，这是极其重要的创举，为RotaBaxter代数的发展创造了新的起点。
另一个与数学物理有着密切联系的研究成果是在2000年Aguiar提出的有关权重为0的RotaBaxter代数和经典YangBaxter方程的关系。他进一步证明权重为0的RotaBaxter代数事实上具有dendriform代数结构，其中dendriform代数是Loday在k理论的研究中介绍的。另外，dendriform代数的一个基本例子实质上是已经由Rota提出的源于RotaBaxter代数的shuffle积代数。
2000年，Keigher和他的团队验证了自由RotaBaxter代数可以看做是shuffle积代数的推广，被称为mixable shuffle积。这不仅促进了RotaBaxter代数的进一步研究，也暗示了这些代数领域与shuffle积的紧密关系。同年，Hoffman介绍了shuffle积的另一个推广——quasishuffle积，曾在多个ζ值理论和量子场理论中发挥了关键的作用。
紧接着，与RotaBaxter代数相关的许多文章已经问世，其与量子场论、Hopf代数、交换代数、组合和数论都有着密切的联系。RotaBaxter代数一直在不断的发展中，许多优秀卓越的数学家、数学物理学家发现了其中的奥秘，并且揭开了RotaBaxter代数的美丽面纱，让更多的数学爱好者对RotaBaxter代数有了更深刻的了解与认识。
1.3 主要研究内容及创新点
本文主要探究的是二阶方阵上的权重为0的RotaBaxter代数的分类问题，最终通过精确的计算构造出24种二阶方阵上权重为0的RotaBaxter算子。
简单介绍了关于RotaBaxter代数的研究背景，讲述了对RotaBaxter代数研究的重要意义，并且突出了其在众多学科多领域的重要应用。
介绍了RotaBaxter代数以及与其相关的概念、性质定理，以及构造性的经典例子等，从而为下文做准备。
以矩阵为工具来探究RotaBaxter算子以及RotaBaxter代数的分类和构造问题，最重要的是给出了二阶方阵上权重为0的RotaBaxter算子分类，即共有24类。
本文的创新之处就在于，将RotaBaxter代数与矩阵结合，确切的说，是将RotaBaxter代数与二阶方阵结合，在矩阵的基础上利用分类讨论的方法探索寻求RotaBaxter算子。
目录
摘要 1
关键词 1
Abstract 1
Keywords 1
引言 1
1 RotaBaxter代数的基本介绍 2
1.1 背景知识 2
1.2 RotaBaxter代数的发展概况 2
1.3 主要研究内容及创新点 3
2 预备知识 3
2.1 RotaBaxter代数的基本概念 3
2.2 RotaBaxter代数的例子 3
2.3 RotaBaxter 代数的性质 4
3 二阶方阵上RotaBaxter代数构造 5
3.1 RotaBaxter代数的矩阵表示形式 5
3.2 二阶方阵上权重为0的RotaBaxter代数构造 5
4 总结 12
致谢 13
参考文献 13
二阶方阵上的RotaBaxter代数
引言
1 RotaBaxter代数的基本介绍
1.1 背景知识
RotaBaxter代数(最开始被称为Baxter代数)是满足RotaBaxter算子并且具有很好特性的代数。RotaBaxter代数是一类结合代数，推广了分析中的积分算子的概念。随后，数学家Rota和Smith[3]将Baxter算子与若干组合恒等式相关联，发现了某些恒等式在代
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数学以及组合学中的应用。由于微分代数的研究起始于J. E. Ritt在20世纪30年代对微分方程的代数研究，因此RotaBaxter代数的概念也可以看成是积分分析理论的代数抽象化的定义。
1.2 RotaBaxter代数的发展概况
RotaBaxter代数起源于1960年G. Baxter的论文[14]，主要用来分析概率研究时怎样理解波动理论中的Spitzer恒等式。不久之后，这个概念引起了许多著名卓越的数学家非常大的兴趣，引起了数学界的轰动，例如F. V. Atkinson，P. Cartier和G.C. Rota就是其中的三位杰出代表。Rota最初是以被大家熟知的集合为基础，在集合中创造了关于自由Baxter代数的显式结构，并且将这个显式结构与Waring公式相结合，提供了关于Spitzer恒等式的一系列相关证明。Baxter曾在一篇重要文献[3]中，从更加一般的纯代数角度入手，推导了Spitzer恒等式和其它一些较为重要的恒等式，并且运用对称函数和独立随机变量部分和为例子来突出说明了这些恒等式的重要作用及其应用。在文献中，Rota举出了很多关于Baxter算子的例子，对这些例子之间的关系进行了透彻的分析，并且简单的讨论了关于Baxter代数对对称群的表示理论，利用Baxter算子简化了对称函数和Mobius反演公式的一些相关计算。1970年前后，G.C. Rota的一系列优秀的文章将RotaBaxter代数这个课题带入了代数学和组合学的研究领域，他伟大的研究成果在1990年后使得Baxter代数的发展到了新的阶段，为代数的发展打开了一扇崭新的大门。Cartier[4]也构造了自由Baxter代数的一个显示结构，Baxter代数与对称多项式之间的关系被更加清晰的描述出来。无论在代数学还是在几何学，Baxter代数都有十分广泛的应用，如对称函数、微分代数、累次积分、超几何函数、量子群等等。20世纪70年代末到90年代末，这一时期RotaBaxter代数的发展进入了一个休眠阶段，发展缓慢。而在此阶段，著名的物理学家C.N.杨和R. Baxter在数学物理研究中却探讨了李代数的概念和一类重要算子（被命名为经典的YangBaxter方程(CYBE)），李代数却进一步发展，从而又将RotaBaxter代数拓展到了新的方向，提供了新的思路。
巧合之处在于，在世纪交替的时候，有关RotaBaxter代数的几个研究成果都已经发表成文。1998年，Winkel研究了Baxter序列，继而又把RotaBaxter代数应用到了Connes和Kreimer研究的扰乱性量子场理论的正则化中，这是极其重要的创举，为RotaBaxter代数的发展创造了新的起点。
另一个与数学物理有着密切联系的研究成果是在2000年Aguiar提出的有关权重为0的RotaBaxter代数和经典YangBaxter方程的关系。他进一步证明权重为0的RotaBaxter代数事实上具有dendriform代数结构，其中dendriform代数是Loday在k理论的研究中介绍的。另外，dendriform代数的一个基本例子实质上是已经由Rota提出的源于RotaBaxter代数的shuffle积代数。
2000年，Keigher和他的团队验证了自由RotaBaxter代数可以看做是shuffle积代数的推广，被称为mixable shuffle积。这不仅促进了RotaBaxter代数的进一步研究，也暗示了这些代数领域与shuffle积的紧密关系。同年，Hoffman介绍了shuffle积的另一个推广——quasishuffle积，曾在多个ζ值理论和量子场理论中发挥了关键的作用。
紧接着，与RotaBaxter代数相关的许多文章已经问世，其与量子场论、Hopf代数、交换代数、组合和数论都有着密切的联系。RotaBaxter代数一直在不断的发展中，许多优秀卓越的数学家、数学物理学家发现了其中的奥秘，并且揭开了RotaBaxter代数的美丽面纱，让更多的数学爱好者对RotaBaxter代数有了更深刻的了解与认识。
1.3 主要研究内容及创新点
本文主要探究的是二阶方阵上的权重为0的RotaBaxter代数的分类问题，最终通过精确的计算构造出24种二阶方阵上权重为0的RotaBaxter算子。
简单介绍了关于RotaBaxter代数的研究背景，讲述了对RotaBaxter代数研究的重要意义，并且突出了其在众多学科多领域的重要应用。
介绍了RotaBaxter代数以及与其相关的概念、性质定理，以及构造性的经典例子等，从而为下文做准备。
以矩阵为工具来探究RotaBaxter算子以及RotaBaxter代数的分类和构造问题，最重要的是给出了二阶方阵上权重为0的RotaBaxter算子分类，即共有24类。
本文的创新之处就在于，将RotaBaxter代数与矩阵结合，确切的说，是将RotaBaxter代数与二阶方阵结合，在矩阵的基础上利用分类讨论的方法探索寻求RotaBaxter算子。
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