外界对系统做功的微观解释
外界对系统做功的微观解释[20191211094719]
摘 要
在普通物理教科书中，一般会运用到分子运动论来解释气体的实验定律，并从微观上来解释热力学第二定律的统计意义。对于热力学第一定律却没有从微观上来解释。外界对系统做功的微观解释这篇论文主要是从微观的角度来阐述外界对系统的做功。一般课本中对于这个问题就没有进行过具体的讨论。即使提到的一些在数学过程中却又不是很完善，因此我在这篇论文中主要是运用量子统计的方法来对外界对系统做功进行解释。在玻尔兹曼系统下我进行了具体的数学推证过程，同时在波色和费米系统中的做功我也进行了推证。
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关键字:外界对系统做功玻尔兹曼系统波色系统费米系统
目 录
第一章 引言
1.1热力学第一定律的建立及其伟大的历史作用
1.1.1历史的科学背景
1.1.2自然科学的发展
1.1.3热力学第一定律的确立
1.1.4第一定律的伟大历史作用
1.2本课题的研究目的和意义
第二章 外界对系统做功的微观解释
2.1 外界对系统做功的宏观解释..
2.2 外界对系统做功的微观解释..
2.2.1 玻尔兹曼系统下外界对系统做功
2.2.2 波色系统下外界对系统做功
2.2.3 菲米系统下外界对系统做功
结束语
参考文献
致谢
第一章 引言
1.1热力学第一定律的建立及其伟大历史作用
1.1.1历史的科学背景
人类使用热能为自己服务有着悠久的历史, 火的发明和利用是人类支配自然力的伟大开端, 是人类文明进步的里程碑。中国古代就对火(热) 的本性进行了探讨, 殷商时期形成的“ 五行说” 一金、木、水、火、土, 就把火(热) 看成是构成宇宙万物的五种元素之一。北宋时刘昼更明确指出: “ 金性苞水, 木性藏火, 故炼金则水出, 钻木而生火。”古希腊米利都学派的那拉克西曼德(Anxaimander , 约公元前611一547) 把看成是与土、水、气并列的一种原素, 它们都是由某种原始物质形成的世界四大主要元素。恩培多克勒(Em 讲docels , 约公元前500一430) 更明确提出四元素学说, 认为万物都是水、火、土、气四元素在不同数量上不同比例的配合, 与我国的五行说十分相似。但是人类对热的本质的认识却是很晚的事情。18世纪中期, 苏格兰科学家布莱克等人提出了热质说。这种理论认为, 热是由一种特殊的没有重量的流体物质, 即热质(热素) 所组成, 并用以较圆满地解释了诸如由热传导从而导致热平衡、相变潜热和量热学等热现象, 因而这种学说为当时一些著名科学家所接受, 成为十八世纪热力学占统治地位的理论。
但任何一种学说和理论, 都必须接受实践的检验。17 9 8 年和17 9 9 年, 伦福德(C.R umford 1753一1814 ) 和戴维(H.L 抽Davy, 177 8一1829 ) 先后以金属钻屑实验和两块冰在真空容器中摩擦融化的实例, 对热质说进行反驳, 无可争辩的事实, 迫使人们去寻找更新的理论。十九世纪以来, 热之唯动说渐渐地为更多的人们所注意。特别是英国化学家和物理学家克鲁克斯(M.Crookes,1832一1919) 所做的风车叶轮旋转实验, 证明了热的本质就是分子无规则运动的结论。
热动说较好地解释了热质说无法解释的现象, 如摩擦生热等。使人们对热的本质的认识大大地进了一步。戴维以冰块摩擦生热融化为例而写成的名为《论热、光及光的复合》的论文, 为热功相当提供了有相当说服力的实例, 激励着更多的人去探讨这一问题。
1.1.2自然科学的发展
机械能守恒是能量守恒定律在机械运动中的特殊情况, 早在力学形成之初便有了量守恒的萌芽,十七世纪已构成了明确的运动不灭思想, 几百年来,永动机未能造成的事实,也从反面提供了能量守恒的例证。1835年哈密顿原理的提出, 致使机械能守恒已经成为力学中的基本内容. 十九世纪二、三十年代, 电磁学规律陆续发现, 人们自然对电与磁、电与热, 电与化学等关系密切注视, 法拉第(M.凡r a d ya,179 1一18 67 ) 的许多工作都涉及能量转化现象, 如电磁感应、电化学和光的磁效应等等, 他所发表的论文, 明确表达了他对“力”( 即现代的能量,以下同) 的统一性和等价性基本概念的理解, 而塞贝克于18 21 年发现的温差电现象则是“自然力” 互相转化的又一重要例论。
在当时, 拉瓦锡(A.L.Lavoisiser,1743一1794 )和拉普拉斯(P S M Lanlace,1749一1827) 早已证明某一化学反应过程所放出的热量等于它的逆反应过程所吸收的热量, 李比希(J.Liebig,1803一1873) 设想动物的体热和它的机械活动的能量, 可能来自食物的化学能。莫尔( F Mohr .1806一1879)则进一步理解为不同形式的“力”都是“机械力” 的表现, 他认为: 除了54 种化学元素之外, 自然界还有一种动因, 叫做“力” , 力在适当条件下可以表现为运动, 化学亲和力、凝聚、电、光、热和磁, 从这些运动形式中的每一种可以得出一切其余形式. 总之, 到了十九世纪四十年代前后, 各种自然现象之间相互联系和转化的事实已被相继发现, 欧洲科学思想中已经普遍蕴含着一种气氛, 即以一种联系的观点去观察自然。这些思想为热力学第一定律的最终建立创造了良好的科学环境。
1.1.3热力学第一定律的确立
在物理学界普遍接受能量守恒观点的基础上,1850 年, 德国物理学家克劳修斯(R C lausius ,1822一1888) 考虑一无限小过程, 计算做功和消耗的热量与气体某一状态函数u 之间的联系, 将这种关系完整地表述为dQ = du + dw。热力学第一定律首次以明确的数学形式表述出来。1 8 51 年, 开尔文(即W.Thomson ,) 明确地把函数u 称为物体所需要的机械能。这样就全面阐述了能、功和热量之间的关系,1867 年, 汤姆生和泰特又将u 改为内能,并一直沿用至今。但是这一重要原理的发现者焦耳、迈尔、亥姆霍兹等人都只着重从量上去表述能量守恒, 而没有从质上去强调运动的不灭性, 恩格斯首先指出了这种表述的不完善性, 他认为运动的不灭不能仅仅从数量上去把握, 还必须从质的转化上去理解, 他指出: “ 运动的不生不灭, 仅仅从量的方面概括它, 这种狭隘的消极的表述日益被那种关于能的转化的积极的表述所代替, 在这里, 过程的质的内容第一次获得了自己的权利” 。(恩格斯《反杜林论》,1970年版Pll ), 能量可以从一种形式转化为另一种形式, 而在这种转化的过程中能量的总和保持不变。从而将能的守恒完整而科学地拓展为能量的转化与守恒定律。。
1.1.4第一定律的伟大历史作用
能量守恒和转化定律的发现是人类认识自然的一个伟大进步, 它揭示自然界是一个互相联系、互相转化的统一体, 第一在空前广阔的领域里把自然界各种运动形式联系起来, 以近乎系统的形式描绘出一幅自然界联系的清晰图象。在理论上, 定律的发现对自然科学的发展和建立辩证唯物主义自然观提供了坚实的基础。在实践上, 它对于永动机之不可能实现, 给了科学上的最后判决, 使人们走出幻想的境界, 从而致力于研究各种能量形式相互转化的具体条件, 以求最有效地利用自然界提供的各种各样的能源。热力学第一定律的建立, 为自然科学领域增添了崭新的内容, 同时也大大推动了哲学理论的前进。现在, 随着自然科学的不断发展, 能量守恒和转化定律经受了一次又一次的考验, 并且在新的科学事实面前不断得到新的充实与发展。特别是相对论中质能关系式的总结, 使人们对这一定律的认识又大大地深化了一步, 即在能量和质量之间也能发生转换
1.2本课题的研究目的和意义
本课题的目的是要用统计物理的方法讨论外界对系统的功。目前高校中物理教材对热力学第一定律的解释一般都要从微观上给出解释,但是在解释系统做功时，往往又回到牛顿经典力学上去了。因此本文主要运用量子统计理论对引起热力学系统内能变化的做功给出完整的理论推证过程。之前的一些文章也提到过一些用玻尔兹曼分布处理理想气体的方法但是对于真实气体呢则少有人提到过。本文将要用量子统计的方法对外界进行系统做功进行具体的说明.当然一些学者也是做过一些玻尔兹曼系统下的外界对系统做工的微观解释，但是其中的数学过程往往却是被忽略的，这样让广大学子在观看的时候难道就会很大,特别是刚刚接触的学生。还有就是在玻尔兹曼系统和波色系统中的外界对系统做功的围观解释就没有提及了。这里我们在另外两个系统也会给出微观解释。
从微观的角度讨论外界对系统做功就让书中本来难以明白的，让人感觉比较生硬的部分变得更加让人容易接受。
第二章 外界对系统做功的微观解释
2.1 外界对系统做功的宏观解释
对两个无限小状态的微元过程中，系统内能的改变量、外界对系统做的功和系统从外界吸收的热量这些量之间的关系可以由热力学第一定律给出来：d U= dW+ dQ。在宏观上来看，功和热量都是属于过程量，并且都是内能改变的量度，各个量之间的关系就是能量守恒在热力学过程中的体现。从这方面来看学生们一般还是比较容易接受的。
2.2 外界对系统做功的微观解释
以近独立粒子系统的粒子来看，宏观中系统的内能则是热力学系统中的粒子进行无规则运动总能量的统计平均值，设粒子的各能级分别为 ， ，，每个能级上的粒子数分别为 ， ， ，；因此其内能就可以表示为 。这时候如果将内能表达式两边同时进行微分的话内能的改变量就可以写成：
这就可以看出来内能的改变量可以分成两个部分：其分别为 与 。将这个公式跟热力学第一定律 进行比较假设可以得出以下的两个公式： ， 。 外界对系统所做的功 ，我们可以将这个看成是保持系统粒子分布不变的情况下通过改变粒子的能及从而使内能发生了变化，这个宏观上就表现为做功过程。如果这个过程是准静态的过程，dW就可以表现为Ydy的这种形式。期中dy是外参量的改变量，Y是与外界参量y相对应的外界对系统的广义力。在一般的情况下，粒子的能量是外参量的函数，当外参量改变，此时 外界对处于能级 的一个粒子的力变为 ，于是在无穷小的准静态过程中，当外参量有dy的改变时，外界对系统的功为： ，于是就有
，与前面的假设一致。
2.2.1 玻尔兹曼系统下外界对系统做功
以理想气体为例。以一定单原子分子为研究对象，总分子数为N，假设没有外场作用分子运动看成是粒子在容器内自由运动。我们已经知道定域系统和满足经典极限条件的波色（费米）系统都遵从玻尔兹曼分布。
内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值。所以
（1）
引入配分函数 ：
（ 为能级 的简并度） （2）
则广义作用力为:
( )
（3）
由经典统计理论计算 :
首先讨论一维自由粒子。设粒子处在长度为L的一维容器中，周期性边界条件要求，粒子的可能运动状态，其德布罗意波波长 的整数倍等于容器的长度L，即：
， （4）
根据波矢量大小 与波长的关系，并考虑一维空间中波动可以有两个传播方向，可求 可能值为
， （5）
将上式带入德布罗意关系
得一维自由粒子动量可能值为
， （6）
对于三维自由粒子，设粒子处在边长为L的立方容器内，粒子三个动量分量可能值为
，
，
，
， ， 表征三维自由粒子运动状态的量子数。三维自由粒子能量可能值为 （7）
在体积 内
到 数目为
到 数目为
到 数目为
因此自由粒子的量子态数为
（8）
在 范围内分子可能的微观态数为
（9）
将7，9两式代入
摘 要
在普通物理教科书中，一般会运用到分子运动论来解释气体的实验定律，并从微观上来解释热力学第二定律的统计意义。对于热力学第一定律却没有从微观上来解释。外界对系统做功的微观解释这篇论文主要是从微观的角度来阐述外界对系统的做功。一般课本中对于这个问题就没有进行过具体的讨论。即使提到的一些在数学过程中却又不是很完善，因此我在这篇论文中主要是运用量子统计的方法来对外界对系统做功进行解释。在玻尔兹曼系统下我进行了具体的数学推证过程，同时在波色和费米系统中的做功我也进行了推证。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:外界对系统做功玻尔兹曼系统波色系统费米系统
目 录
第一章 引言
1.1热力学第一定律的建立及其伟大的历史作用
1.1.1历史的科学背景
1.1.2自然科学的发展
1.1.3热力学第一定律的确立
1.1.4第一定律的伟大历史作用
1.2本课题的研究目的和意义
第二章 外界对系统做功的微观解释
2.1 外界对系统做功的宏观解释..
2.2 外界对系统做功的微观解释..
2.2.1 玻尔兹曼系统下外界对系统做功
2.2.2 波色系统下外界对系统做功
2.2.3 菲米系统下外界对系统做功
结束语
参考文献
致谢
第一章 引言
1.1热力学第一定律的建立及其伟大历史作用
1.1.1历史的科学背景
人类使用热能为自己服务有着悠久的历史, 火的发明和利用是人类支配自然力的伟大开端, 是人类文明进步的里程碑。中国古代就对火(热) 的本性进行了探讨, 殷商时期形成的“ 五行说” 一金、木、水、火、土, 就把火(热) 看成是构成宇宙万物的五种元素之一。北宋时刘昼更明确指出: “ 金性苞水, 木性藏火, 故炼金则水出, 钻木而生火。”古希腊米利都学派的那拉克西曼德(Anxaimander , 约公元前611一547) 把看成是与土、水、气并列的一种原素, 它们都是由某种原始物质形成的世界四大主要元素。恩培多克勒(Em 讲docels , 约公元前500一430) 更明确提出四元素学说, 认为万物都是水、火、土、气四元素在不同数量上不同比例的配合, 与我国的五行说十分相似。但是人类对热的本质的认识却是很晚的事情。18世纪中期, 苏格兰科学家布莱克等人提出了热质说。这种理论认为, 热是由一种特殊的没有重量的流体物质, 即热质(热素) 所组成, 并用以较圆满地解释了诸如由热传导从而导致热平衡、相变潜热和量热学等热现象, 因而这种学说为当时一些著名科学家所接受, 成为十八世纪热力学占统治地位的理论。
但任何一种学说和理论, 都必须接受实践的检验。17 9 8 年和17 9 9 年, 伦福德(C.R umford 1753一1814 ) 和戴维(H.L 抽Davy, 177 8一1829 ) 先后以金属钻屑实验和两块冰在真空容器中摩擦融化的实例, 对热质说进行反驳, 无可争辩的事实, 迫使人们去寻找更新的理论。十九世纪以来, 热之唯动说渐渐地为更多的人们所注意。特别是英国化学家和物理学家克鲁克斯(M.Crookes,1832一1919) 所做的风车叶轮旋转实验, 证明了热的本质就是分子无规则运动的结论。
热动说较好地解释了热质说无法解释的现象, 如摩擦生热等。使人们对热的本质的认识大大地进了一步。戴维以冰块摩擦生热融化为例而写成的名为《论热、光及光的复合》的论文, 为热功相当提供了有相当说服力的实例, 激励着更多的人去探讨这一问题。
1.1.2自然科学的发展
机械能守恒是能量守恒定律在机械运动中的特殊情况, 早在力学形成之初便有了量守恒的萌芽,十七世纪已构成了明确的运动不灭思想, 几百年来,永动机未能造成的事实,也从反面提供了能量守恒的例证。1835年哈密顿原理的提出, 致使机械能守恒已经成为力学中的基本内容. 十九世纪二、三十年代, 电磁学规律陆续发现, 人们自然对电与磁、电与热, 电与化学等关系密切注视, 法拉第(M.凡r a d ya,179 1一18 67 ) 的许多工作都涉及能量转化现象, 如电磁感应、电化学和光的磁效应等等, 他所发表的论文, 明确表达了他对“力”( 即现代的能量,以下同) 的统一性和等价性基本概念的理解, 而塞贝克于18 21 年发现的温差电现象则是“自然力” 互相转化的又一重要例论。
在当时, 拉瓦锡(A.L.Lavoisiser,1743一1794 )和拉普拉斯(P S M Lanlace,1749一1827) 早已证明某一化学反应过程所放出的热量等于它的逆反应过程所吸收的热量, 李比希(J.Liebig,1803一1873) 设想动物的体热和它的机械活动的能量, 可能来自食物的化学能。莫尔( F Mohr .1806一1879)则进一步理解为不同形式的“力”都是“机械力” 的表现, 他认为: 除了54 种化学元素之外, 自然界还有一种动因, 叫做“力” , 力在适当条件下可以表现为运动, 化学亲和力、凝聚、电、光、热和磁, 从这些运动形式中的每一种可以得出一切其余形式. 总之, 到了十九世纪四十年代前后, 各种自然现象之间相互联系和转化的事实已被相继发现, 欧洲科学思想中已经普遍蕴含着一种气氛, 即以一种联系的观点去观察自然。这些思想为热力学第一定律的最终建立创造了良好的科学环境。
1.1.3热力学第一定律的确立
在物理学界普遍接受能量守恒观点的基础上,1850 年, 德国物理学家克劳修斯(R C lausius ,1822一1888) 考虑一无限小过程, 计算做功和消耗的热量与气体某一状态函数u 之间的联系, 将这种关系完整地表述为dQ = du + dw。热力学第一定律首次以明确的数学形式表述出来。1 8 51 年, 开尔文(即W.Thomson ,) 明确地把函数u 称为物体所需要的机械能。这样就全面阐述了能、功和热量之间的关系,1867 年, 汤姆生和泰特又将u 改为内能,并一直沿用至今。但是这一重要原理的发现者焦耳、迈尔、亥姆霍兹等人都只着重从量上去表述能量守恒, 而没有从质上去强调运动的不灭性, 恩格斯首先指出了这种表述的不完善性, 他认为运动的不灭不能仅仅从数量上去把握, 还必须从质的转化上去理解, 他指出: “ 运动的不生不灭, 仅仅从量的方面概括它, 这种狭隘的消极的表述日益被那种关于能的转化的积极的表述所代替, 在这里, 过程的质的内容第一次获得了自己的权利” 。(恩格斯《反杜林论》,1970年版Pll ), 能量可以从一种形式转化为另一种形式, 而在这种转化的过程中能量的总和保持不变。从而将能的守恒完整而科学地拓展为能量的转化与守恒定律。。
1.1.4第一定律的伟大历史作用
能量守恒和转化定律的发现是人类认识自然的一个伟大进步, 它揭示自然界是一个互相联系、互相转化的统一体, 第一在空前广阔的领域里把自然界各种运动形式联系起来, 以近乎系统的形式描绘出一幅自然界联系的清晰图象。在理论上, 定律的发现对自然科学的发展和建立辩证唯物主义自然观提供了坚实的基础。在实践上, 它对于永动机之不可能实现, 给了科学上的最后判决, 使人们走出幻想的境界, 从而致力于研究各种能量形式相互转化的具体条件, 以求最有效地利用自然界提供的各种各样的能源。热力学第一定律的建立, 为自然科学领域增添了崭新的内容, 同时也大大推动了哲学理论的前进。现在, 随着自然科学的不断发展, 能量守恒和转化定律经受了一次又一次的考验, 并且在新的科学事实面前不断得到新的充实与发展。特别是相对论中质能关系式的总结, 使人们对这一定律的认识又大大地深化了一步, 即在能量和质量之间也能发生转换
1.2本课题的研究目的和意义
本课题的目的是要用统计物理的方法讨论外界对系统的功。目前高校中物理教材对热力学第一定律的解释一般都要从微观上给出解释,但是在解释系统做功时，往往又回到牛顿经典力学上去了。因此本文主要运用量子统计理论对引起热力学系统内能变化的做功给出完整的理论推证过程。之前的一些文章也提到过一些用玻尔兹曼分布处理理想气体的方法但是对于真实气体呢则少有人提到过。本文将要用量子统计的方法对外界进行系统做功进行具体的说明.当然一些学者也是做过一些玻尔兹曼系统下的外界对系统做工的微观解释，但是其中的数学过程往往却是被忽略的，这样让广大学子在观看的时候难道就会很大,特别是刚刚接触的学生。还有就是在玻尔兹曼系统和波色系统中的外界对系统做功的围观解释就没有提及了。这里我们在另外两个系统也会给出微观解释。
从微观的角度讨论外界对系统做功就让书中本来难以明白的，让人感觉比较生硬的部分变得更加让人容易接受。
第二章 外界对系统做功的微观解释
2.1 外界对系统做功的宏观解释
对两个无限小状态的微元过程中，系统内能的改变量、外界对系统做的功和系统从外界吸收的热量这些量之间的关系可以由热力学第一定律给出来：d U= dW+ dQ。在宏观上来看，功和热量都是属于过程量，并且都是内能改变的量度，各个量之间的关系就是能量守恒在热力学过程中的体现。从这方面来看学生们一般还是比较容易接受的。
2.2 外界对系统做功的微观解释
以近独立粒子系统的粒子来看，宏观中系统的内能则是热力学系统中的粒子进行无规则运动总能量的统计平均值，设粒子的各能级分别为 ， ，，每个能级上的粒子数分别为 ， ， ，；因此其内能就可以表示为 。这时候如果将内能表达式两边同时进行微分的话内能的改变量就可以写成：
这就可以看出来内能的改变量可以分成两个部分：其分别为 与 。将这个公式跟热力学第一定律 进行比较假设可以得出以下的两个公式： ， 。 外界对系统所做的功 ，我们可以将这个看成是保持系统粒子分布不变的情况下通过改变粒子的能及从而使内能发生了变化，这个宏观上就表现为做功过程。如果这个过程是准静态的过程，dW就可以表现为Ydy的这种形式。期中dy是外参量的改变量，Y是与外界参量y相对应的外界对系统的广义力。在一般的情况下，粒子的能量是外参量的函数，当外参量改变，此时 外界对处于能级 的一个粒子的力变为 ，于是在无穷小的准静态过程中，当外参量有dy的改变时，外界对系统的功为： ，于是就有
，与前面的假设一致。
2.2.1 玻尔兹曼系统下外界对系统做功
以理想气体为例。以一定单原子分子为研究对象，总分子数为N，假设没有外场作用分子运动看成是粒子在容器内自由运动。我们已经知道定域系统和满足经典极限条件的波色（费米）系统都遵从玻尔兹曼分布。
内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值。所以
（1）
引入配分函数 ：
（ 为能级 的简并度） （2）
则广义作用力为:
( )
（3）
由经典统计理论计算 :
首先讨论一维自由粒子。设粒子处在长度为L的一维容器中，周期性边界条件要求，粒子的可能运动状态，其德布罗意波波长 的整数倍等于容器的长度L，即：
， （4）
根据波矢量大小 与波长的关系，并考虑一维空间中波动可以有两个传播方向，可求 可能值为
， （5）
将上式带入德布罗意关系
得一维自由粒子动量可能值为
， （6）
对于三维自由粒子，设粒子处在边长为L的立方容器内，粒子三个动量分量可能值为
，
，
，
， ， 表征三维自由粒子运动状态的量子数。三维自由粒子能量可能值为 （7）
在体积 内
到 数目为
到 数目为
到 数目为
因此自由粒子的量子态数为
（8）
在 范围内分子可能的微观态数为
（9）
将7，9两式代入
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