矩阵的kronecker积的性质及其应用propertiesandapplicationsofkroneckerprod
摘 要摘 要矩阵的Kronecker积是任意的两个矩阵之间的乘积运算. 这种乘积没有一般的两个矩阵乘积可相乘的条件为前面矩阵的列数必须等于后面矩阵的行数，否则就无法进行乘积运算的限制，为我们的研究提供了方便. 而且矩阵的Kronecker积有着重要的应用价值，在矩阵线性方程和矩阵微分运算的讨论中，应用Kronecker积常会使运算方便简洁.同时矩阵的Kronecker积在诸如信号处理与系统控制等工程领域中也是一种基本的数学工具. 因此对矩阵的Kronecker积的研究具有重要的理论价值和实际应用价值，并且有着广泛的应用前景.本次论文主要研究矩阵的Kronecker积，总结了矩阵的Kronecker积的基本性质，着重研究其不变性以及某些特殊矩阵Kronecker积的性质. 并且给出了矩阵的Kronecker积的应用,如求解一般线性矩阵方程、矩阵微分方程及矩阵函数积的导数.关键词Kronecker积；不变性；线性矩阵方程；矩阵微分方程；导数
目 录
第一章 绪论 1
1.1 研究背景及意义 1
1.2 研究现状 1
1.3 本文主要内容 1
第二章 矩阵的Kronecker积 3
2.1 基本概念 3
2.2 本章小结 3
第三章 矩阵的Kronecker积的性质 4
3.1 矩阵的Kronecker积的性质 4
3.1.1 基本性质 4
3.2 本章小结 7
第四章 特殊矩阵的kronecker积的性质 8
4.1 常见特殊矩阵 8
4.2 亚正定矩阵 10
4.3 kHermitian矩阵 11
4.4 置换矩阵 15
4.5 本章小结 16
第五章 矩阵的Kronecker积的应用 17
5.1线性矩阵方程的求解 17
5.1.1 型矩阵方程 17
5.1.2 型矩阵方程 19
5.1.3 型矩阵方程 20
5.2 矩阵微分方程的求解 21
5.3 矩阵函数积的导数 22
5.4本章小结 24 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: #351916072#
结论 25
致谢 26
参考文献 27
第一章 绪 论
1.1 研究背景及意义
矩阵运算中，乘积问题是一重要问题，众所周知两个矩阵可相乘的前提为前面矩阵的列数必须等于后面矩阵的行数，否则就无法进行乘积运算，但是我们可以求它们的Kronecker积. Kronecker积是两个任意大小的矩阵间的运算，是张量积的特殊形式，以19世纪的德国数学家利奥波德克罗内克的名字命名. 矩阵的Kronecker积是一种很重要的矩阵运算，它不但在数学领域，如矩阵方程、微分方程的研究中有普遍的应用，而且可以解决不同领域中的许多实际的问题，可应用于系统控制等工程领域、计算机领域等.因此对矩阵的Kronecker积的研究具有重要的理论价值和实际应用价值，并且有着广泛的应用前景.
1.2 研究现状
目前，对于矩阵的Kronecker积我们有着非常丰富的内容和成果，其性质已得到充分研究，参见[14]. 另外，科研工作者对一些特殊矩阵，如对角矩阵、正规矩阵、Hermite矩阵、非负矩阵、正定矩阵、半正定矩阵等特殊矩阵的Kronecker积的性质也进行了研究，得出了有用的结论，参见[2,510]. 矩阵的Kronecker积有重要应用价值，如可以利用它给出线性矩阵方程的可解性及其解法，还可以将矩阵微分方程的求解转化为常系数齐次线性微分方程组初值问题的求解，在系统控制等工程领域它可以解决系统稳定性问题，还可求矩阵函数积的导数，具体可参见[1113].
当然，通过对矩阵的Kronecker积的定义、性质和定理的深入研究我们也发现，对于一阶线性矩阵方程来说，已经有了一般的求解方法，但是如何在二阶及其以上矩阵方程中利用Kronecker积是目前我们还没有突破的难题. 而随着矩阵Kronecker积运用的越来越广泛，矩阵Kronecker积的重要性也越来越明显了，对Kronecker积研究实际问题方面也展现出了更多的优势.
1.3 本文主要内容
本文系统总结矩阵的Kronecker积的性质，包括一些特殊矩阵的Kronecker积的性质，并给出其具体应用. 论文章节安排如下：
绪论. 矩阵的Kronecker积的研究前景与意义，以及研究现状.
矩阵的Kronecker积的概念介绍. 介绍一些有关Kronecker积的基本概念，并给出相关例子或证明.
归纳矩阵Kronecker积的性质，特别是不变性，并给出相关证明.
总结几类特殊矩阵的Kronecker积的性质,如对角矩阵、正规矩阵、Hermite矩阵、非负矩阵、正定矩阵、半正定矩阵等特殊矩阵，并给出相关证明.
研究矩阵Kronecker积在线性矩阵方程、矩阵微分方程及导数方面的实际应用，并给出实例证明.
总结、致谢与参考文献.
第二章 矩阵的Kronecker积的概念
2.1 基本概念
定义2.1 设，，则称如下的分块矩阵
为与的Kronecker积（也称为直积或张量积）.
显然是一个块的分块矩阵，所以上式还可以简写为.
例2.1 设，，求和.
解 ,
.
例1.1表明，矩阵的Kronecker积是不满足交换律的，即.
2.2 本章小结
本章主要介绍了矩阵的Kronecker积相关的概念，让我们初步能够更加直观的了解矩阵的Kronecker积. 下面将进一步的归纳矩阵的Kronecker积的基本性质.
矩阵的Kronecker积的性质
3.1 矩阵的Kronecker积的性质
矩阵的Kronecker积广泛应用于许多领域，如矩阵运算、工程、图像、计算机等方面. 为了方便研究，先将其性质归纳起来，然后通过整合理解运用到实际应用中. 本章就一些基本性质进行了总结归纳.
3.1.1 基本性质
用定义易验证矩阵的Kronecker积是满足下列运算律的：
性质3.1 ，.
性质3.2 分配律 .
性质3.3 结合律 .
接下来介绍矩阵的Kronecker积另一些性质，这些性质有助于我们进一步研究Kronecker积.
目 录
第一章 绪论 1
1.1 研究背景及意义 1
1.2 研究现状 1
1.3 本文主要内容 1
第二章 矩阵的Kronecker积 3
2.1 基本概念 3
2.2 本章小结 3
第三章 矩阵的Kronecker积的性质 4
3.1 矩阵的Kronecker积的性质 4
3.1.1 基本性质 4
3.2 本章小结 7
第四章 特殊矩阵的kronecker积的性质 8
4.1 常见特殊矩阵 8
4.2 亚正定矩阵 10
4.3 kHermitian矩阵 11
4.4 置换矩阵 15
4.5 本章小结 16
第五章 矩阵的Kronecker积的应用 17
5.1线性矩阵方程的求解 17
5.1.1 型矩阵方程 17
5.1.2 型矩阵方程 19
5.1.3 型矩阵方程 20
5.2 矩阵微分方程的求解 21
5.3 矩阵函数积的导数 22
5.4本章小结 24 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: #351916072#
结论 25
致谢 26
参考文献 27
第一章 绪 论
1.1 研究背景及意义
矩阵运算中，乘积问题是一重要问题，众所周知两个矩阵可相乘的前提为前面矩阵的列数必须等于后面矩阵的行数，否则就无法进行乘积运算，但是我们可以求它们的Kronecker积. Kronecker积是两个任意大小的矩阵间的运算，是张量积的特殊形式，以19世纪的德国数学家利奥波德克罗内克的名字命名. 矩阵的Kronecker积是一种很重要的矩阵运算，它不但在数学领域，如矩阵方程、微分方程的研究中有普遍的应用，而且可以解决不同领域中的许多实际的问题，可应用于系统控制等工程领域、计算机领域等.因此对矩阵的Kronecker积的研究具有重要的理论价值和实际应用价值，并且有着广泛的应用前景.
1.2 研究现状
目前，对于矩阵的Kronecker积我们有着非常丰富的内容和成果，其性质已得到充分研究，参见[14]. 另外，科研工作者对一些特殊矩阵，如对角矩阵、正规矩阵、Hermite矩阵、非负矩阵、正定矩阵、半正定矩阵等特殊矩阵的Kronecker积的性质也进行了研究，得出了有用的结论，参见[2,510]. 矩阵的Kronecker积有重要应用价值，如可以利用它给出线性矩阵方程的可解性及其解法，还可以将矩阵微分方程的求解转化为常系数齐次线性微分方程组初值问题的求解，在系统控制等工程领域它可以解决系统稳定性问题，还可求矩阵函数积的导数，具体可参见[1113].
当然，通过对矩阵的Kronecker积的定义、性质和定理的深入研究我们也发现，对于一阶线性矩阵方程来说，已经有了一般的求解方法，但是如何在二阶及其以上矩阵方程中利用Kronecker积是目前我们还没有突破的难题. 而随着矩阵Kronecker积运用的越来越广泛，矩阵Kronecker积的重要性也越来越明显了，对Kronecker积研究实际问题方面也展现出了更多的优势.
1.3 本文主要内容
本文系统总结矩阵的Kronecker积的性质，包括一些特殊矩阵的Kronecker积的性质，并给出其具体应用. 论文章节安排如下：
绪论. 矩阵的Kronecker积的研究前景与意义，以及研究现状.
矩阵的Kronecker积的概念介绍. 介绍一些有关Kronecker积的基本概念，并给出相关例子或证明.
归纳矩阵Kronecker积的性质，特别是不变性，并给出相关证明.
总结几类特殊矩阵的Kronecker积的性质,如对角矩阵、正规矩阵、Hermite矩阵、非负矩阵、正定矩阵、半正定矩阵等特殊矩阵，并给出相关证明.
研究矩阵Kronecker积在线性矩阵方程、矩阵微分方程及导数方面的实际应用，并给出实例证明.
总结、致谢与参考文献.
第二章 矩阵的Kronecker积的概念
2.1 基本概念
定义2.1 设，，则称如下的分块矩阵
为与的Kronecker积（也称为直积或张量积）.
显然是一个块的分块矩阵，所以上式还可以简写为.
例2.1 设，，求和.
解 ,
.
例1.1表明，矩阵的Kronecker积是不满足交换律的，即.
2.2 本章小结
本章主要介绍了矩阵的Kronecker积相关的概念，让我们初步能够更加直观的了解矩阵的Kronecker积. 下面将进一步的归纳矩阵的Kronecker积的基本性质.
矩阵的Kronecker积的性质
3.1 矩阵的Kronecker积的性质
矩阵的Kronecker积广泛应用于许多领域，如矩阵运算、工程、图像、计算机等方面. 为了方便研究，先将其性质归纳起来，然后通过整合理解运用到实际应用中. 本章就一些基本性质进行了总结归纳.
3.1.1 基本性质
用定义易验证矩阵的Kronecker积是满足下列运算律的：
性质3.1 ，.
性质3.2 分配律 .
性质3.3 结合律 .
接下来介绍矩阵的Kronecker积另一些性质，这些性质有助于我们进一步研究Kronecker积.
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