矩阵三角分解的性质应用及其算法研究(附件)【字数：5539】
摘 要摘 要 本文对矩阵三角分解的理论分析做了一个比较简单的概括总结，给出了矩阵三角分解的几个基本定理. 其次，介绍了我们在科学计算中经常遇到的一些特殊矩阵的逆矩阵的快速三角分解算法，如Vandermonde(范德蒙)矩阵、Hankle矩阵. 本文的结构如下第一章是绪论. 其中第一节先介绍了研究矩阵三角分解的目的及其研究背景. 第二节总结了一些矩阵三角分解的研究现状与发展. 第二章主要给出了矩阵三角分解的基本概念. 总结了矩阵三角分解的几个基本定理，并且给出了矩阵三角分解的几种常用方法，如分解、分解、分解，以及一些比较简单的数值案例. 第三章，我们意识到，最基本的三角分解对于解决一些比较特殊的矩阵，计算量是比较繁杂的. 所以我们总结了大量文献中两种特殊矩阵的逆矩阵的快速三角分解算法，包括范德蒙矩阵、Hankel矩阵.关键词分解；分解；分解；范德蒙矩阵；Hankel矩阵
目 录
第一章 绪论1
1.1 研究背景1
1.2 矩阵三角分解的研究现状与发展1
第二章 矩阵的三角分解2
2.1 矩阵三角分解2
2.1.1 矩阵三角分解的几个基本定理2
2.1.2 矩阵的分解9
2.1.3 数值案例9
第三章 特殊矩阵的逆矩阵的快速三角分解算法13
3.1 引理13
3.2 范德蒙型矩阵及其逆矩阵的快速三角分解算法14
3.3 Hankel矩阵及其逆矩阵的快速三角分解算法17
结语22
致谢23
参考文献24
绪论
1.1研究背景
矩阵是线性代数的重要研究对象.不管对于数学专业的学生学习高等代数或者非数学专业的学生学习线性代数来说，学习和理解它都是十分必要的.而矩阵的三角分解又是矩阵的基本分解方法之一，在许多问题中都起着重要作用，诸如在生产成本的计算、人口流动问题、计算机图形变换等领域中的应用非常广泛.
随着当今时代的计算机技术的突飞猛进的发展，使得科学计算作为科学研究的有效手段，成为了三大科学方法之一，与科学理论和科学实验相并重.近50年来，随着科学技术 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
的迅猛发展，国防科技和国民经济建设的很多领域都提出了许多大型和超大型的计算问题，这些问题就需要我们的计算机拥有更高的速度和更大的信息存储量.因此利用矩阵的三角分解可能就可以将矩阵的计算量降低一个数量级，即由一般的降低到或者更低，所以矩阵三角分解非常具有理论意义和现实意义.
1.2 矩阵三角分解的研究现状与发展
目前已经有很多国内外的知名学者对矩阵的三角分解进行研究，矩阵的三角分解对于矩阵问题的解决有着很重要的作用.目前各大高校也分别出版了各自的关于矩阵三角分解方面的书籍来帮助了解和学习矩阵.这些文献分别对矩阵三角分解的性质和应用做了比较深入的阐述.比如在王树梅等前辈在《矩阵三角分解在数字水印中的应用》一文中，就将矩阵三角分解很好的应用进了数字水印中，计算量又小又能很好的保障我们的信息安全；再如周秋生等前辈在《正定矩阵三角分解法在方差分量估计中的应用》一文中，介绍了矩阵三角分解在如今土木工程中起的巨大作用.
其实，矩阵的三角分解看上去可能仅仅是一个数学问题，但是它已经和我们的生活与工作息息相关.矩阵的三角分解在上述的信息安全、土木工程等应用中都起着不可忽视的作用.
矩阵的三角分解
2.1 矩阵三角分解
矩阵三角分解的定义[11]：存在方阵，该方阵可以分解成两个矩阵、的乘积，其中是上三角矩阵，是下三角矩阵，那么称该方阵可作三角分解或分解.此时，该三角分解又分两种情况.一、如果是单位下三角矩阵，为上三角矩阵，那么该三角分解是杜利特分解；二、如果是下三角矩阵，而是单位上三角矩阵，那么该三角分解是克劳特分解.
2.2 矩阵三角分解的几个基本定理
定理 2.1[11] 阶非奇异矩阵可作三角分解的充要条件是，这里为的阶顺序主子式.
证明[1] 必要性.设矩阵满足三角分解，是非奇异的，将其写成分块形式：
这里，和分别为，和的阶顺序主子式.首先由得，，从而得，；因此.
充分性.对阶数做数学归纳.
当时，，结论成立.
假设当时结论成立，即，其中和分别是下三角矩阵和上三角矩阵.若，则由可得和可逆.
则当时，
由归纳法原理可作三角分解.
上面的定理和证明给出了非奇异矩阵可作三角分解的充要条件，但是由于
目 录
第一章 绪论1
1.1 研究背景1
1.2 矩阵三角分解的研究现状与发展1
第二章 矩阵的三角分解2
2.1 矩阵三角分解2
2.1.1 矩阵三角分解的几个基本定理2
2.1.2 矩阵的分解9
2.1.3 数值案例9
第三章 特殊矩阵的逆矩阵的快速三角分解算法13
3.1 引理13
3.2 范德蒙型矩阵及其逆矩阵的快速三角分解算法14
3.3 Hankel矩阵及其逆矩阵的快速三角分解算法17
结语22
致谢23
参考文献24
绪论
1.1研究背景
矩阵是线性代数的重要研究对象.不管对于数学专业的学生学习高等代数或者非数学专业的学生学习线性代数来说，学习和理解它都是十分必要的.而矩阵的三角分解又是矩阵的基本分解方法之一，在许多问题中都起着重要作用，诸如在生产成本的计算、人口流动问题、计算机图形变换等领域中的应用非常广泛.
随着当今时代的计算机技术的突飞猛进的发展，使得科学计算作为科学研究的有效手段，成为了三大科学方法之一，与科学理论和科学实验相并重.近50年来，随着科学技术 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
的迅猛发展，国防科技和国民经济建设的很多领域都提出了许多大型和超大型的计算问题，这些问题就需要我们的计算机拥有更高的速度和更大的信息存储量.因此利用矩阵的三角分解可能就可以将矩阵的计算量降低一个数量级，即由一般的降低到或者更低，所以矩阵三角分解非常具有理论意义和现实意义.
1.2 矩阵三角分解的研究现状与发展
目前已经有很多国内外的知名学者对矩阵的三角分解进行研究，矩阵的三角分解对于矩阵问题的解决有着很重要的作用.目前各大高校也分别出版了各自的关于矩阵三角分解方面的书籍来帮助了解和学习矩阵.这些文献分别对矩阵三角分解的性质和应用做了比较深入的阐述.比如在王树梅等前辈在《矩阵三角分解在数字水印中的应用》一文中，就将矩阵三角分解很好的应用进了数字水印中，计算量又小又能很好的保障我们的信息安全；再如周秋生等前辈在《正定矩阵三角分解法在方差分量估计中的应用》一文中，介绍了矩阵三角分解在如今土木工程中起的巨大作用.
其实，矩阵的三角分解看上去可能仅仅是一个数学问题，但是它已经和我们的生活与工作息息相关.矩阵的三角分解在上述的信息安全、土木工程等应用中都起着不可忽视的作用.
矩阵的三角分解
2.1 矩阵三角分解
矩阵三角分解的定义[11]：存在方阵，该方阵可以分解成两个矩阵、的乘积，其中是上三角矩阵，是下三角矩阵，那么称该方阵可作三角分解或分解.此时，该三角分解又分两种情况.一、如果是单位下三角矩阵，为上三角矩阵，那么该三角分解是杜利特分解；二、如果是下三角矩阵，而是单位上三角矩阵，那么该三角分解是克劳特分解.
2.2 矩阵三角分解的几个基本定理
定理 2.1[11] 阶非奇异矩阵可作三角分解的充要条件是，这里为的阶顺序主子式.
证明[1] 必要性.设矩阵满足三角分解，是非奇异的，将其写成分块形式：
这里，和分别为，和的阶顺序主子式.首先由得，，从而得，；因此.
充分性.对阶数做数学归纳.
当时，，结论成立.
假设当时结论成立，即，其中和分别是下三角矩阵和上三角矩阵.若，则由可得和可逆.
则当时，
由归纳法原理可作三角分解.
上面的定理和证明给出了非奇异矩阵可作三角分解的充要条件，但是由于
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