矩阵的广义特征研究(附件)【字数：4531】
摘 要 摘 要人们越来越重视矩阵广义特征值的解法问题,其中广义矩阵的理论是高等代数中的一个重要方面。在测量学、统计学、经济学和线性规划等其它许多领域甚至生活中求解矩阵特征值的方法都有着非常重要的应用。 本文重点在矩阵广义特征值的基本定义的基础上，并深入研究广义特征值的各种性质以及有关应用，同时了解各种算法的对求解广义特征值的作用和意义，比如说QR算法、消元法等比较完善的算法，另外还介绍了其它有关广义特征值的算法，例如初等变换法等。关键词矩阵的逆；矩阵特征值；QR算法；广义特征值
目 录
第一章 绪论 1
1.1研究背景 1
1.2研究意义和目的 1
1.3研究方法 1
第二章 矩阵广义特征值概述 2
2.1 特征值的定义 2
2.2 广义特征值的定义 2
2.3广义特征值问题等价形式 3
第三章 矩阵的逆 5
3.1 矩阵的逆 5
3.2 基本性质 5
3.3基本解法 9
第四章 QR算法 10
4.1 QR算法定义 10
4.2 QR算法原理 10
结 论 16
致 谢 17
参考文献 18
第一章 绪论
1.1研究背景
矩阵的广义特征值有关的性质在大学学习中是十分重要的，同时在生活中也有很大的应用。通过对矩阵广义特征值性质的简单了解和介绍，同时还有对广义特征值的理论分析，然后把求解特征值应用于计算方程组或者特征向量这类数学学习中的问题时都非常重要。
我们所处的时代是各行业都飞速发展的时代，特别在计算机技术和应用方面的迅猛发展，人们越来越重视矩阵特征值的算法问题，并且矩阵特征值在日常生活中的各方面应用也越来越广，越来越与生活密不可分。与此同时，在科技方面、数学和应用类的许多问题，例如振动问题以及运算当中的极限值等等，通常都会使用到求解矩阵特征值的各种方法，而广义特征值的算法在特征 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
值算法当中又是相当重要的。
1.2研究意义和目的
?由于科学的迅速发展以及社会的进步和生活的日新月异，高等代数作为一门常用的基础工具学科目前已经向所有的领域逐渐覆盖，人们对它在各方面的应用也越来越注重。在学习过程中有关特征值问题又是研究矩阵理论的一个十分重要的部分，所以对特征值算法的研究具有十分重要的理论意义和实践意义。数学学习、建筑类还有许多科学研究中都会使用到怎样能够准确求解矩阵特征值的一些方法。本文目的在于对矩阵广义特征值的性质和应用方面进行简单的总结，然后简单地了解求解特征值和特征向量的几种方法，在解决一些生活中有关的复杂问题时可以简单的解决。
1.3研究方法
1、观察法：通过在资料书和图书馆查询了解矩阵广义特征值的相关知识，进行仔细观察,反复研究。
2、资料参考法：通过阅读、网络搜集并整理相关信息，然后得出自己的结论，进一步加深并概述矩阵广义特征值的性质与应用。
3、实际运算法：通过阅读，掌握一定的解法和技巧，并做一些经典例子，了解相关性质。
矩阵广义特征值概述
2.1 特征值的定义
定义 设是数域中线性空间上的线性变换，假设在数域中有数并且中有非零向量，就可以得到
是的特征值，是特征值的特征向量。
2.2 广义特征值的定义
定义2.2.1 在现代许多物理的应用的理论当中，我们经常遇到下面这种类型的广义特征值问题，通过求解得出数，能够满足
（2.1）
同时也存在非零的解。
：阶实对称矩阵；：阶实对称正定矩阵；：维列向量。
当时，上面的等式就变成了求解普通矩阵特征值的问题，因此上面的这个等式一直作为求解矩阵普通特征值问题的典型。
所有形式上和上面这种等式相似的问题，我们把有关这样的矩阵和的问题叫作广义特征值问题。满足（2.1）里要求的数被称作矩阵相对于的一个特征值。另外，属于但不为零的解被称为的特征向量。
定义 2.2.2 如果是对称的正定矩阵，就将所求得解当中二次型矩阵向量叫作，的内积。另外，向量被叫作正交的，但需要满足这个条件。记作。我们一般称呼经过这个内积推出的数叫作范数：
如果一组向量正交，与此同时范数刚好是的话，就把这组向量称为是正规化的。
定义 2.2.3 假如矩阵符合
这里的为对角矩阵，那么则称是正交的。当时，那么则把称为单位正交。
定义 2.2.4 假设有矩阵束，那么相对向量的商就是
为了便于记忆，通常都将商简写成的形式。
2.3广义特征值问题等价形式
假如正定，这样就可以把等式直接变成两种不同但是却等价的形式。
第1种：让乘两端的左边，这样可以得到
我们就能把复杂问题变成矩阵这类简单求解问题。和都是对称矩阵，却通常都不对称。
第2种：矩阵分解得到等式，是一个下三角矩阵。则(2.1)就变化成
使，那么，将其代入化简就能够得到
是对称矩阵。广义特征值问题等式就能够变成对称矩阵的通常矩阵问题等式，这样就可以很方便的进行计算。
2.4特征值部分定理
定理2.4.1 如果都是阶方阵，，，那么可以得到。
定理2.4.2 ,是一定是一个可逆矩阵。
定理2.4.3 ，的simth标准形为。
定理2.4.4 为有限集的充要条件是的simth标准形为，其中。
目 录
第一章 绪论 1
1.1研究背景 1
1.2研究意义和目的 1
1.3研究方法 1
第二章 矩阵广义特征值概述 2
2.1 特征值的定义 2
2.2 广义特征值的定义 2
2.3广义特征值问题等价形式 3
第三章 矩阵的逆 5
3.1 矩阵的逆 5
3.2 基本性质 5
3.3基本解法 9
第四章 QR算法 10
4.1 QR算法定义 10
4.2 QR算法原理 10
结 论 16
致 谢 17
参考文献 18
第一章 绪论
1.1研究背景
矩阵的广义特征值有关的性质在大学学习中是十分重要的，同时在生活中也有很大的应用。通过对矩阵广义特征值性质的简单了解和介绍，同时还有对广义特征值的理论分析，然后把求解特征值应用于计算方程组或者特征向量这类数学学习中的问题时都非常重要。
我们所处的时代是各行业都飞速发展的时代，特别在计算机技术和应用方面的迅猛发展，人们越来越重视矩阵特征值的算法问题，并且矩阵特征值在日常生活中的各方面应用也越来越广，越来越与生活密不可分。与此同时，在科技方面、数学和应用类的许多问题，例如振动问题以及运算当中的极限值等等，通常都会使用到求解矩阵特征值的各种方法，而广义特征值的算法在特征 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
值算法当中又是相当重要的。
1.2研究意义和目的
?由于科学的迅速发展以及社会的进步和生活的日新月异，高等代数作为一门常用的基础工具学科目前已经向所有的领域逐渐覆盖，人们对它在各方面的应用也越来越注重。在学习过程中有关特征值问题又是研究矩阵理论的一个十分重要的部分，所以对特征值算法的研究具有十分重要的理论意义和实践意义。数学学习、建筑类还有许多科学研究中都会使用到怎样能够准确求解矩阵特征值的一些方法。本文目的在于对矩阵广义特征值的性质和应用方面进行简单的总结，然后简单地了解求解特征值和特征向量的几种方法，在解决一些生活中有关的复杂问题时可以简单的解决。
1.3研究方法
1、观察法：通过在资料书和图书馆查询了解矩阵广义特征值的相关知识，进行仔细观察,反复研究。
2、资料参考法：通过阅读、网络搜集并整理相关信息，然后得出自己的结论，进一步加深并概述矩阵广义特征值的性质与应用。
3、实际运算法：通过阅读，掌握一定的解法和技巧，并做一些经典例子，了解相关性质。
矩阵广义特征值概述
2.1 特征值的定义
定义 设是数域中线性空间上的线性变换，假设在数域中有数并且中有非零向量，就可以得到
是的特征值，是特征值的特征向量。
2.2 广义特征值的定义
定义2.2.1 在现代许多物理的应用的理论当中，我们经常遇到下面这种类型的广义特征值问题，通过求解得出数，能够满足
（2.1）
同时也存在非零的解。
：阶实对称矩阵；：阶实对称正定矩阵；：维列向量。
当时，上面的等式就变成了求解普通矩阵特征值的问题，因此上面的这个等式一直作为求解矩阵普通特征值问题的典型。
所有形式上和上面这种等式相似的问题，我们把有关这样的矩阵和的问题叫作广义特征值问题。满足（2.1）里要求的数被称作矩阵相对于的一个特征值。另外，属于但不为零的解被称为的特征向量。
定义 2.2.2 如果是对称的正定矩阵，就将所求得解当中二次型矩阵向量叫作，的内积。另外，向量被叫作正交的，但需要满足这个条件。记作。我们一般称呼经过这个内积推出的数叫作范数：
如果一组向量正交，与此同时范数刚好是的话，就把这组向量称为是正规化的。
定义 2.2.3 假如矩阵符合
这里的为对角矩阵，那么则称是正交的。当时，那么则把称为单位正交。
定义 2.2.4 假设有矩阵束，那么相对向量的商就是
为了便于记忆，通常都将商简写成的形式。
2.3广义特征值问题等价形式
假如正定，这样就可以把等式直接变成两种不同但是却等价的形式。
第1种：让乘两端的左边，这样可以得到
我们就能把复杂问题变成矩阵这类简单求解问题。和都是对称矩阵，却通常都不对称。
第2种：矩阵分解得到等式，是一个下三角矩阵。则(2.1)就变化成
使，那么，将其代入化简就能够得到
是对称矩阵。广义特征值问题等式就能够变成对称矩阵的通常矩阵问题等式，这样就可以很方便的进行计算。
2.4特征值部分定理
定理2.4.1 如果都是阶方阵，，，那么可以得到。
定理2.4.2 ,是一定是一个可逆矩阵。
定理2.4.3 ，的simth标准形为。
定理2.4.4 为有限集的充要条件是的simth标准形为，其中。
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