矩阵的迹及其应用(附件)【字数：7395】
摘 要摘 要 矩阵理论既是经典数学的基础，又是一门很具有实用价值的数学理论。 随着矩阵理论的迅速发展，矩阵的迹在许多领域都有相当多的应用，如逼近论、数值计算、滤波、随机控制和统计估计等等，其许多量的计算都会最终归结到矩阵的迹的运算。关于矩阵的迹的不等式的新结果也是层出不穷，它们有的是经典的不等式的改进、推广，有的则是完全新型的不等式，更有的则是应用的深入和拓广。矩阵的迹已经成为国内外数学学者关注的一个热点研究。本文首先介绍了矩阵的迹的研究现状、定义和其基本性质。然后采用由一般到特殊的方法，介绍了一般的矩阵的迹的性质和相关的推广证明；接着介绍了Hermite矩阵和Neumann矩阵的迹的性质和相关推广证明。最后一部分介绍的是矩阵的迹的应用，从逼近论和统计检验两个方面的应用为例作具体说明。关键词迹；特征值；Hermite矩阵；Neumann矩阵；不等式
目录
第一章 绪论 1
第二章 矩阵迹的一般性质及其推广 3
2.1 迹的定义 3
2.2 迹的性质 3
第三章 Hermite矩阵迹的性质及其推广 6
3.1 定义及相关定理 6
3.2 Hermite矩阵的迹的相关定理 7
3.3 Hermite矩阵迹的推广 8
第四章 Neumann矩阵迹的研究及其推广 11
4.1 两个引理 11
4.2 Neumann矩阵的迹及相关定理 12
4.3 Neumann矩阵迹的相关推论 13
第五章 矩阵幂的迹及其他 15
5.1 矩阵幂的迹 15
5.2 一些其他迹的相关定理 17
第六章 矩阵迹的应用 18
6.1矩阵逼近 18
6.2统计检验中的应用 20
结 论 22
致 谢 23
参考文献 24
第一章 绪论
恩格斯曾经说过，数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。从恩格斯那时到现在，尽管数学的内涵已经大大拓展了，人们对现实世界中的数量关系和空间形式的认识和理解已今非昔比，数学体系已构成包括纯粹数学及应用数学内含的众 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
多分支学科和许多新兴交叉学科的庞大的科学体系。矩阵作为基础数学工具的一种，在整个数学体系中占据着不可或缺的地位。矩阵不仅作为高等代数学的常见工具，同样也常见于统计分析等的应用数学学科中。矩阵的研究历史相当久远，拉丁方阵和幻方早在史前时代就已经被人类所研究。在经历了日本数学家关孝和、微积分发现者之一戈特弗里德威廉莱布尼茨、加布里尔克拉默、高斯、德国数学家费迪南艾森斯坦之后，英国数学家凯利首先引入了矩阵的概念来化简记号，规范了矩阵的符号及名称，讨论了矩阵的性质，得到了著名的凯利─哈密顿定理，矩阵理论正式成型。在经历了前人的不懈努力和科技的进步，矩阵的理论体系如今已经得到了长足的发展和完善，并在当代的各个领域当中有着广泛的应用。
在矩阵的迹的理论当中，尤其是矩阵的迹的不等式，在解决实际问题、理论问题的方面有着突出的作用。矩阵的迹的不等式主要以数量和函数的不等式作为主要的讨论对象，再从某一个特定的方面来研究一类数量或矩阵的不等式（见文献【4】）。随着矩阵理论的迅速发展及其在自然科学、工程技术和社会经济等这些领域的广泛应用，关于矩阵的迹的不等式的新结果也是层出不穷，它们有的是经典的不等式的改进、推广，有的则是完全新型的不等式，更有的则是应用的深入和拓广。矩阵的迹的一些重要的不等式包括非负矩阵迹的不等式、Hilbert空间有界线性算子迹的不等式、半正定Hermite矩阵迹的不等式和著名的Neumann不等式及其推广应用(见文献【2】)。
矩阵的迹的应用相对于矩阵的秩、行列式、特征值和条件数来说则要简单许多，然而，矩阵的迹在许多领域都有相当多的应用，如逼近论、数值计算、滤波、随机控制和统计估计等等，许多量的计算都会最终归结到矩阵的迹的运算。因此，矩阵的迹已经成为国内外数学学者关注的一个热点研究。它的无穷奥秘正吸引这国内外学者的一步步探索和研究。
本文首先给出了一般矩阵迹的相关性质和定理的论证；然后给出了著名的Hermite和Neumann矩阵的迹的性质及其推广证明；最后给出了矩阵幂的迹及其他一些迹的定理，并且介绍了矩阵的迹在逼近论和统计检验这两个方面的应用。
相关符号表
矩阵A的转置
矩阵A的共轭
矩阵A的共轭转置
矩阵A的逆矩阵
≥0 表示A的半正定矩阵（实对称矩阵或Hermite阵）
>0 表示A的正定阵（实对称阵或Hermite阵）
（K） 矩阵A的k阶复合阵
1/2 半正定A的半正定平方根
Cn 所有n维复向量的全体
tr 矩阵A的迹
方阵A的特征值
矩阵A的奇异阵
第二章 矩阵迹的一般性质及其推广
2.1 迹的定义
nn矩阵A的对角元素和称为矩阵A的迹（trace），记作tr（A）
设有nn阶矩阵A，则矩阵A的迹就等于A的所有特征值的和，即矩阵A主对角线上的所有元素的总和[3]。
引理2.1.1[2] 设是矩阵A的全部特征值，那么
引理2.1.2[2] 因为相似矩阵具有相同的特征多项式，从而它们具有相同的特征值，
所以相似矩阵具有相同的矩阵
引理2.1.3[2] 设，则有
2.2迹的性质
线性：设，则对任意a，b∈C，有tr(aA+bB)=atrA+btrB；
，=；
目录
第一章 绪论 1
第二章 矩阵迹的一般性质及其推广 3
2.1 迹的定义 3
2.2 迹的性质 3
第三章 Hermite矩阵迹的性质及其推广 6
3.1 定义及相关定理 6
3.2 Hermite矩阵的迹的相关定理 7
3.3 Hermite矩阵迹的推广 8
第四章 Neumann矩阵迹的研究及其推广 11
4.1 两个引理 11
4.2 Neumann矩阵的迹及相关定理 12
4.3 Neumann矩阵迹的相关推论 13
第五章 矩阵幂的迹及其他 15
5.1 矩阵幂的迹 15
5.2 一些其他迹的相关定理 17
第六章 矩阵迹的应用 18
6.1矩阵逼近 18
6.2统计检验中的应用 20
结 论 22
致 谢 23
参考文献 24
第一章 绪论
恩格斯曾经说过，数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。从恩格斯那时到现在，尽管数学的内涵已经大大拓展了，人们对现实世界中的数量关系和空间形式的认识和理解已今非昔比，数学体系已构成包括纯粹数学及应用数学内含的众 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
多分支学科和许多新兴交叉学科的庞大的科学体系。矩阵作为基础数学工具的一种，在整个数学体系中占据着不可或缺的地位。矩阵不仅作为高等代数学的常见工具，同样也常见于统计分析等的应用数学学科中。矩阵的研究历史相当久远，拉丁方阵和幻方早在史前时代就已经被人类所研究。在经历了日本数学家关孝和、微积分发现者之一戈特弗里德威廉莱布尼茨、加布里尔克拉默、高斯、德国数学家费迪南艾森斯坦之后，英国数学家凯利首先引入了矩阵的概念来化简记号，规范了矩阵的符号及名称，讨论了矩阵的性质，得到了著名的凯利─哈密顿定理，矩阵理论正式成型。在经历了前人的不懈努力和科技的进步，矩阵的理论体系如今已经得到了长足的发展和完善，并在当代的各个领域当中有着广泛的应用。
在矩阵的迹的理论当中，尤其是矩阵的迹的不等式，在解决实际问题、理论问题的方面有着突出的作用。矩阵的迹的不等式主要以数量和函数的不等式作为主要的讨论对象，再从某一个特定的方面来研究一类数量或矩阵的不等式（见文献【4】）。随着矩阵理论的迅速发展及其在自然科学、工程技术和社会经济等这些领域的广泛应用，关于矩阵的迹的不等式的新结果也是层出不穷，它们有的是经典的不等式的改进、推广，有的则是完全新型的不等式，更有的则是应用的深入和拓广。矩阵的迹的一些重要的不等式包括非负矩阵迹的不等式、Hilbert空间有界线性算子迹的不等式、半正定Hermite矩阵迹的不等式和著名的Neumann不等式及其推广应用(见文献【2】)。
矩阵的迹的应用相对于矩阵的秩、行列式、特征值和条件数来说则要简单许多，然而，矩阵的迹在许多领域都有相当多的应用，如逼近论、数值计算、滤波、随机控制和统计估计等等，许多量的计算都会最终归结到矩阵的迹的运算。因此，矩阵的迹已经成为国内外数学学者关注的一个热点研究。它的无穷奥秘正吸引这国内外学者的一步步探索和研究。
本文首先给出了一般矩阵迹的相关性质和定理的论证；然后给出了著名的Hermite和Neumann矩阵的迹的性质及其推广证明；最后给出了矩阵幂的迹及其他一些迹的定理，并且介绍了矩阵的迹在逼近论和统计检验这两个方面的应用。
相关符号表
矩阵A的转置
矩阵A的共轭
矩阵A的共轭转置
矩阵A的逆矩阵
≥0 表示A的半正定矩阵（实对称矩阵或Hermite阵）
>0 表示A的正定阵（实对称阵或Hermite阵）
（K） 矩阵A的k阶复合阵
1/2 半正定A的半正定平方根
Cn 所有n维复向量的全体
tr 矩阵A的迹
方阵A的特征值
矩阵A的奇异阵
第二章 矩阵迹的一般性质及其推广
2.1 迹的定义
nn矩阵A的对角元素和称为矩阵A的迹（trace），记作tr（A）
设有nn阶矩阵A，则矩阵A的迹就等于A的所有特征值的和，即矩阵A主对角线上的所有元素的总和[3]。
引理2.1.1[2] 设是矩阵A的全部特征值，那么
引理2.1.2[2] 因为相似矩阵具有相同的特征多项式，从而它们具有相同的特征值，
所以相似矩阵具有相同的矩阵
引理2.1.3[2] 设，则有
2.2迹的性质
线性：设，则对任意a，b∈C，有tr(aA+bB)=atrA+btrB；
，=；
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