细分曲面研究A
目 录
1 绪论 1
1.1 细分曲面的研究背景 1
1.2 课题的研究目的与意义 2
2 基础知识 2
2.1 拓扑规则 2
2.2 几何规则 3
2.3 常用的细分方法 3
3 loop细分曲面 4
3.1 loop细分曲面的简单介绍： 4
3.2 Loop细分的拓扑规则： 4
3.3 loop细分的几何规则： 5
3.4 改进后懒小波细分小波 6
3.5 双正交的loop细分小波： 7
3.6 小波细分后的重构 10
4 算法的实现 11
4.1 双正交的loop细分小波的实现 11
结 论 15
致 谢 16
参考文献 17
1 绪论
近年来，在表示复杂自由曲面上，细分的方法拥有绝对的优越性，具有拓扑任意的连续的或者非连续的曲面，随着研究者们越来越多的关注和研究，细分方法在计算机动画造型技术和曲面造型方面取得了极大的成功，但是如何能够简单，在尽量减轻计算机的工作量的情况下，又能很好地表现出具体抽象图像的特征，这就是本文要研究的内容，本来介绍了一种现在运用广泛的，并且具有一定代表性的采样方法：loop细分的采样方法。
1.1 细分曲面的研究背景
曲面造型作为计算机图形学和计算机几何造型技术的一门学科，已经越来越多的运用到我们的生活当中。最早的曲面造型技术是运用在飞机，船舶的外形采样工艺，已经发展了六七十多年，有很多曲面造型的方法，但是随着信息技术和多媒体技术的发展，为了能找到更加简单的提取三维曲面的方法就是本文所 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: 3 5 1 9 1 6 0 7 2
要研究的内容。
现在随着信息技术的一步步发展，多媒体数字化越来越深入人们的生活，更多的三维应用出现在人们的生活中，简单的构造图像的方法已经难以满足人们的需求，这样就出现了细分方法作为曲面曲线的离散化构造方法，构造出简单的重构图像。
细分方法是曲面的一种离散化构造方法，是多边形网格表示方法与离散方法的结合。细分方法先把一个基面细分成若干个相同的基面。在本课题要研究的问题中运用的基面是三角形网格，用三角形网格的方法进行不断地细分下去，就是现在普遍运用的loop细分的曲面造型方法。
在曲面造型中，由于单一的参数曲面仅限于表示拓扑上等价于一张纸或一张圆柱面的曲面，难以表示复杂拓扑结构的自由曲面，所以我们利用细分曲面来研究解决在构造复杂拓扑的表面的同时使曲面的边界尽量达到光滑的效果的这些困难复杂的问题。简单的拓扑后细分Loop对于参数样条曲面，在处理任意拓扑曲面时有局限性，Loop细分中新点的位置由与其相邻的顶点坐标插值而成，对于新的边点有相同的定义 ，更新原有的控制点也有相同的定义 ，不同的由控制点的阶数可以得到控制点的边数，依次类推求出各个边点和控制点，重合所有不同的边点和控制点就得到了我们要求的Loop细分小波的懒小波。但是，这样细分后可能会出现相异的边点，对此，我们将细分曲面的方法进行改进，引入双正交的Loop细分小波，改造对边点 具有更好的选择方法的小波函数，这样就要求对懒小波进行局部的提升。对定义边点的基函数和周围的四个尺度的函数线性组合后正交，得到一个4*4的线性方程组，通过找到对应的系数求解出未知的量，就得到了改进后的提升因子 。得到提升因子 后对上文得到的懒小波进行重构，得到相应的边点和控制点来达到最终细分的目的。
大体来说，细分就是将一定的拓扑规则与几何规则作用于初始网格而产生新的网格，并不断重复这一过程直到生成光滑的极限曲线或曲面的过程。细分的目的是对粗的信号表示不断加细产生细化的信号表示，并且细化了的信号保持粗信号的特征与结构。
1.2 课题的研究目的与意义
研究细分曲面为更加简便的拓扑出一个三维几何媒体提供了有效的解决方法。被广泛的应用于几何设计、计算机动画、多分辨率建模等不能简单的使用计算机网格取样的三维数组模型的领域。经过很长时间的研究与发现，细分方法在构造二阶以上的连续曲面方面表现的尤为突出。特别是本文要着重介绍的loop细分的曲面造型方法，在力求保证曲面质量的同时，提高曲面造型能力，对生成的曲面能比较好的把控，在计算机图形学领域有着深远的作用，同时，通过简单的方法能达到基本采样的目的，减轻了计算机运算的负担,我相信在不久的将来，细分曲面的研究会越来越多的融入并运用在我们的生活当中，3D图像也会更多的出现在荧幕，动画中。
2 基础知识
2.1 拓扑规则
在实际的细分取样时，必须要运用一定的规则找到取样的物体有特征的点，保持物体之间某种特定的联系，使选取的点不能相互重叠并具有一定的特征性，这时就引入拓扑规则，拓扑规则在各个要素之间建立起来联系，对这些规则进行调整改进，选取更具有特征的并且能建立起联系的点。
拓扑（Topology）一词来源于希腊，拓扑学是现代数学中的重要分支，在研究几何形状上起到了重要的作用，主要研究空间图形在连续的或者不连续的变化下的图形。
对于二维 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: 3 5 1 9 1 6 0 7 2
平面上的图形而言，二维图形都是由一定的边和点构成，首先先选取一部分有特征的点，称为控制点，所有控制点能构成一个多边形，按照特定的几何规则选取新的控制点，以此类推，不断地反复选取新的控制点。
推广于二维曲面的拓扑规则的就是三维平面的拓扑，就是著名的Doo-Sabin细分曲面，适用于任意拓扑的初始基网格，与二维平面不同的是，三维曲面上的拓扑有两种形式，选取特定的点和选取特定的面。对所选取的点或者面按照一定的规则进行分裂操作，选取所有分裂的点和面。
2.2 几何规则
几何规则是对上面拓扑规则作用后选到的有特征的点和面进行重新的定义，每一种细分方法重新定义公式都不同，但是对于重定义基本上理解就是在两个点，两个面之间取中间点或者中间面，每两个点或者面的位置上用相同的选取方法选取的点或者面后，表示出新的点或者面，对这些面进行连接重构，就可以得到我们所要求得重新构造点或者面来代替原图像后的图像，重构后的图像是在原图像的基础上进行的简单的细分处理，得到的重构后的图像依然能表现出原图像的特征。
2.3 常用的细分方法
常用的细分方法有很多种，不同的细分方法也有它对应的拓扑规则和几何规则。现在运用的比较多的有三种方法，分别是Doo-Sabin细分曲面、Catmull-Clark细分曲面和loop细分曲面，由于能力的限制，本论文就不一一介绍所有的细分的方法了，主要介绍了关于loop细分曲面的方法。
本文要介绍的就是当今被广泛应用于计算机辅助几何设计中的loop细分曲面造型技术。解决了不同的拓扑曲面造型问题。Loop是由Charles loop在他的毕业论文中提到的，在二次三角形box样条基础上推广出来的一种造型技术。
3 (美)多布 著，李建平，杨万年 译：小波十讲，国防工业出版社，2004-5
1 绪论 1
1.1 细分曲面的研究背景 1
1.2 课题的研究目的与意义 2
2 基础知识 2
2.1 拓扑规则 2
2.2 几何规则 3
2.3 常用的细分方法 3
3 loop细分曲面 4
3.1 loop细分曲面的简单介绍： 4
3.2 Loop细分的拓扑规则： 4
3.3 loop细分的几何规则： 5
3.4 改进后懒小波细分小波 6
3.5 双正交的loop细分小波： 7
3.6 小波细分后的重构 10
4 算法的实现 11
4.1 双正交的loop细分小波的实现 11
结 论 15
致 谢 16
参考文献 17
1 绪论
近年来，在表示复杂自由曲面上，细分的方法拥有绝对的优越性，具有拓扑任意的连续的或者非连续的曲面，随着研究者们越来越多的关注和研究，细分方法在计算机动画造型技术和曲面造型方面取得了极大的成功，但是如何能够简单，在尽量减轻计算机的工作量的情况下，又能很好地表现出具体抽象图像的特征，这就是本文要研究的内容，本来介绍了一种现在运用广泛的，并且具有一定代表性的采样方法：loop细分的采样方法。
1.1 细分曲面的研究背景
曲面造型作为计算机图形学和计算机几何造型技术的一门学科，已经越来越多的运用到我们的生活当中。最早的曲面造型技术是运用在飞机，船舶的外形采样工艺，已经发展了六七十多年，有很多曲面造型的方法，但是随着信息技术和多媒体技术的发展，为了能找到更加简单的提取三维曲面的方法就是本文所 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: 3 5 1 9 1 6 0 7 2
要研究的内容。
现在随着信息技术的一步步发展，多媒体数字化越来越深入人们的生活，更多的三维应用出现在人们的生活中，简单的构造图像的方法已经难以满足人们的需求，这样就出现了细分方法作为曲面曲线的离散化构造方法，构造出简单的重构图像。
细分方法是曲面的一种离散化构造方法，是多边形网格表示方法与离散方法的结合。细分方法先把一个基面细分成若干个相同的基面。在本课题要研究的问题中运用的基面是三角形网格，用三角形网格的方法进行不断地细分下去，就是现在普遍运用的loop细分的曲面造型方法。
在曲面造型中，由于单一的参数曲面仅限于表示拓扑上等价于一张纸或一张圆柱面的曲面，难以表示复杂拓扑结构的自由曲面，所以我们利用细分曲面来研究解决在构造复杂拓扑的表面的同时使曲面的边界尽量达到光滑的效果的这些困难复杂的问题。简单的拓扑后细分Loop对于参数样条曲面，在处理任意拓扑曲面时有局限性，Loop细分中新点的位置由与其相邻的顶点坐标插值而成，对于新的边点有相同的定义 ，更新原有的控制点也有相同的定义 ，不同的由控制点的阶数可以得到控制点的边数，依次类推求出各个边点和控制点，重合所有不同的边点和控制点就得到了我们要求的Loop细分小波的懒小波。但是，这样细分后可能会出现相异的边点，对此，我们将细分曲面的方法进行改进，引入双正交的Loop细分小波，改造对边点 具有更好的选择方法的小波函数，这样就要求对懒小波进行局部的提升。对定义边点的基函数和周围的四个尺度的函数线性组合后正交，得到一个4*4的线性方程组，通过找到对应的系数求解出未知的量，就得到了改进后的提升因子 。得到提升因子 后对上文得到的懒小波进行重构，得到相应的边点和控制点来达到最终细分的目的。
大体来说，细分就是将一定的拓扑规则与几何规则作用于初始网格而产生新的网格，并不断重复这一过程直到生成光滑的极限曲线或曲面的过程。细分的目的是对粗的信号表示不断加细产生细化的信号表示，并且细化了的信号保持粗信号的特征与结构。
1.2 课题的研究目的与意义
研究细分曲面为更加简便的拓扑出一个三维几何媒体提供了有效的解决方法。被广泛的应用于几何设计、计算机动画、多分辨率建模等不能简单的使用计算机网格取样的三维数组模型的领域。经过很长时间的研究与发现，细分方法在构造二阶以上的连续曲面方面表现的尤为突出。特别是本文要着重介绍的loop细分的曲面造型方法，在力求保证曲面质量的同时，提高曲面造型能力，对生成的曲面能比较好的把控，在计算机图形学领域有着深远的作用，同时，通过简单的方法能达到基本采样的目的，减轻了计算机运算的负担,我相信在不久的将来，细分曲面的研究会越来越多的融入并运用在我们的生活当中，3D图像也会更多的出现在荧幕，动画中。
2 基础知识
2.1 拓扑规则
在实际的细分取样时，必须要运用一定的规则找到取样的物体有特征的点，保持物体之间某种特定的联系，使选取的点不能相互重叠并具有一定的特征性，这时就引入拓扑规则，拓扑规则在各个要素之间建立起来联系，对这些规则进行调整改进，选取更具有特征的并且能建立起联系的点。
拓扑（Topology）一词来源于希腊，拓扑学是现代数学中的重要分支，在研究几何形状上起到了重要的作用，主要研究空间图形在连续的或者不连续的变化下的图形。
对于二维 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: 3 5 1 9 1 6 0 7 2
平面上的图形而言，二维图形都是由一定的边和点构成，首先先选取一部分有特征的点，称为控制点，所有控制点能构成一个多边形，按照特定的几何规则选取新的控制点，以此类推，不断地反复选取新的控制点。
推广于二维曲面的拓扑规则的就是三维平面的拓扑，就是著名的Doo-Sabin细分曲面，适用于任意拓扑的初始基网格，与二维平面不同的是，三维曲面上的拓扑有两种形式，选取特定的点和选取特定的面。对所选取的点或者面按照一定的规则进行分裂操作，选取所有分裂的点和面。
2.2 几何规则
几何规则是对上面拓扑规则作用后选到的有特征的点和面进行重新的定义，每一种细分方法重新定义公式都不同，但是对于重定义基本上理解就是在两个点，两个面之间取中间点或者中间面，每两个点或者面的位置上用相同的选取方法选取的点或者面后，表示出新的点或者面，对这些面进行连接重构，就可以得到我们所要求得重新构造点或者面来代替原图像后的图像，重构后的图像是在原图像的基础上进行的简单的细分处理，得到的重构后的图像依然能表现出原图像的特征。
2.3 常用的细分方法
常用的细分方法有很多种，不同的细分方法也有它对应的拓扑规则和几何规则。现在运用的比较多的有三种方法，分别是Doo-Sabin细分曲面、Catmull-Clark细分曲面和loop细分曲面，由于能力的限制，本论文就不一一介绍所有的细分的方法了，主要介绍了关于loop细分曲面的方法。
本文要介绍的就是当今被广泛应用于计算机辅助几何设计中的loop细分曲面造型技术。解决了不同的拓扑曲面造型问题。Loop是由Charles loop在他的毕业论文中提到的，在二次三角形box样条基础上推广出来的一种造型技术。
3 (美)多布 著，李建平，杨万年 译：小波十讲，国防工业出版社，2004-5
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