一类duffingvanderpol方程的动力学研究
本文研究的是一类duffing-van?der?pol方程的动力学行为。为研究这类非线性方程的动力学特征，本文以弹簧振子问题为例介绍了研究非线性动力系统的数值方法，在此基础上研究了duffing方程的动力学特性，进而给出duffing-van?der?pol方程在某参数变化情况下的相图和Poincare截面图。通过比较摄动参数不同情况下图像的变化与特征，我们能观测到其复杂的周期现象与混沌区域的变化特征，并揭示其复杂的动力学行为。 关键词 非线性方程，动力学行为，duffing-van der pol方程， Poincare截面图
目 录
1 引言 1
1.1 研究问题 1
1.1 研究背景 1
1.3 研究方法 2
1.4 研究意义 3
2 一类duffing型方程的动力学研究 3
2.1非线性动力学系统 3
2.1.1非线性弹簧振子运动系统 3
2.1.2 位置速度相平面 4
2.1.3硬弹簧和软弹簧振子 5
2.2 duffing型方程的动力学特性 9
3 DuffingVan der Pol系统的动力学行为 13
3.1 相图、Poincare截面图、分岔图 13
3.2 分岔参数变化的系统的动力学特性 14
3.2.1 时，系统随变化的动力学行为 15
3.2.2 时，系统随变化的动力学行为 17
结 论 22
致 谢 23
参 考 文 献 24
引言
1.1 研究问题
现如今非线性系统已经应用于实际工程领域的各个方面，而传统的研究线性系统的方法已经不能被完全的用于解决这类非线性问题。在这一方面，Duffing型方程和Van der Pol型方程是非线性振动理论中常用的两种微分方程。Duffing方程是指形如
的微分方程，而Van der pol方程是指形如
，
而Duffing Van de Pol方程，则结合了两种非线性微分方程的特点， *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
这方面的研究存在于大量文献中。在研究背景里给了一定的介绍，本文将研究形如
的Duffing Van der pol方程的动力学特性，其中是变化的小参数。
1.1 研究背景
随着现代社会科学的不断发展进步，学科与学科之间的联系也越来越紧密，尤其是数学在各个领域的作用也越来越重要和突出。比如说：在工程上研究广泛的代表非线性振动系统的Duffing与Van der pol系统。其实，在许多实际问题之中非线性问题是时常出现的，非线性系统是指不按比例、不成直线，或者代表不规则的运动和突变的系统。非线性融入各个专业，渗透各个领域。例如正常成人的脑电图和心脏跳动图并不是规则有规律的，而是混沌的。混沌是复杂的，其动力学特性也比非混沌系统丰富的多。非线性系统具有与线性系统完全不同的动力学特性。它是更加复杂和需要深入调查的，因此需要去通过研究，体会心得来掌握研究方法，并能去取代传统的线性化方法进而解决非线性问题。到二十世纪下，非线性科学的研究受到了很大的追捧，因为它不仅具有重要的科学意义，而且还具有广泛的应用前景。在当代，非线性与复杂性也已成为人们关注的具有挑战性的研究方向。特别是近几十年来，受应用科学，尤其是受发展迅速的计算机科学的促进以及数学科学本身的发展和工程实际问题领域的需要，非线性动力系统已成为数学学科中发展最迅速，成果最丰富的领域之一，在社会科学，自然科学，经济学，工程技术，管理科学乃至人文艺术等诸多领域中都有着广泛的应用。在非线性系统中有两类非线性振动系统研究是较为典型的，就是上面所提到的：Duffing系统与Van der pol系统。
Duffing方程是非线性理论中常用的代表性微分方程，它是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型。在工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程，比如电气工程领域的一些问题的研究。Van der pol方程是用电感耦合晶体管振荡电路作为例子推导出非线性振荡器的简化的数学模型，在物理学、生物学、神经学甚至经济学中，van der pol振荡也已经成为描述振荡过程的一种基础模型。所以作为非线性振动系统典型的代表，将两者结合起来，DuffingVan der Pol振子具有更加丰富的动力学特性。DuffingVan der Pol 系统的非线性部分将会同时含有Duffing 系统三次非线性恢复力项和 Van der Pol 系统维持自激振动的非线性阻尼项。此类作为两种非常典型的非线性系统的组合，必然有其更加重要的研究意义。目前，DuffingVan der Pol 系统已经在工程学、物理学等领域作为一种重要的研究模型，并且研究地位也在进一步上升。
1.2 研究现状
由于DuffingVan der Pol是两种典型的非线性系统的组合，具有两方程的动力学特性，所以，在这一领域的研究国内外都给予了高度的关注，也通过相关的努力有了许多可观，惊喜的成果。
在国外的研究上：Holmes和Rand[1]研究了形如的DuffingVan der Pol振子的局部和全局分岔行为。Tsuda等人[2]研究了含时滞的DuffingVan der Pol振子的主共振和1∶2亚谐共振的混沌运动。
在国内的研究上：徐健等人[3]研究位移反馈控制的DuffingVan der Pol振子的主共振时，发现倍周期分岔和环面破损是导致混沌运动出现的两种途径。符五久[4]用Melnikov函数方法研究Duffingvan der pol方程的Hopf分岔问题，并获得了DuffingVan der pol系统的Hopf分岔条件。李欣业，张振民，张华彪，高仕赵[5]研究了Duffingvan der Pol振子在一类时滞反馈控制下零解的稳定性问题以及极限环的振幅和稳定性问题。张天舒，林延新[6]研究了DuffingVan der pol 系统在参数激励下的动力学行为与混沌同步问题，创新的提出了利用全局吸引子和吸引域的变化的方法来研究DuffingVan der pol振子在参数激励下混沌吸引子及吸引域的形成与激变，更加形象具体的反应出整个变化过程，揭示了对称系统更为丰富的对称破裂激变现象。
目 录
1 引言 1
1.1 研究问题 1
1.1 研究背景 1
1.3 研究方法 2
1.4 研究意义 3
2 一类duffing型方程的动力学研究 3
2.1非线性动力学系统 3
2.1.1非线性弹簧振子运动系统 3
2.1.2 位置速度相平面 4
2.1.3硬弹簧和软弹簧振子 5
2.2 duffing型方程的动力学特性 9
3 DuffingVan der Pol系统的动力学行为 13
3.1 相图、Poincare截面图、分岔图 13
3.2 分岔参数变化的系统的动力学特性 14
3.2.1 时，系统随变化的动力学行为 15
3.2.2 时，系统随变化的动力学行为 17
结 论 22
致 谢 23
参 考 文 献 24
引言
1.1 研究问题
现如今非线性系统已经应用于实际工程领域的各个方面，而传统的研究线性系统的方法已经不能被完全的用于解决这类非线性问题。在这一方面，Duffing型方程和Van der Pol型方程是非线性振动理论中常用的两种微分方程。Duffing方程是指形如
的微分方程，而Van der pol方程是指形如
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这方面的研究存在于大量文献中。在研究背景里给了一定的介绍，本文将研究形如
的Duffing Van der pol方程的动力学特性，其中是变化的小参数。
1.1 研究背景
随着现代社会科学的不断发展进步，学科与学科之间的联系也越来越紧密，尤其是数学在各个领域的作用也越来越重要和突出。比如说：在工程上研究广泛的代表非线性振动系统的Duffing与Van der pol系统。其实，在许多实际问题之中非线性问题是时常出现的，非线性系统是指不按比例、不成直线，或者代表不规则的运动和突变的系统。非线性融入各个专业，渗透各个领域。例如正常成人的脑电图和心脏跳动图并不是规则有规律的，而是混沌的。混沌是复杂的，其动力学特性也比非混沌系统丰富的多。非线性系统具有与线性系统完全不同的动力学特性。它是更加复杂和需要深入调查的，因此需要去通过研究，体会心得来掌握研究方法，并能去取代传统的线性化方法进而解决非线性问题。到二十世纪下，非线性科学的研究受到了很大的追捧，因为它不仅具有重要的科学意义，而且还具有广泛的应用前景。在当代，非线性与复杂性也已成为人们关注的具有挑战性的研究方向。特别是近几十年来，受应用科学，尤其是受发展迅速的计算机科学的促进以及数学科学本身的发展和工程实际问题领域的需要，非线性动力系统已成为数学学科中发展最迅速，成果最丰富的领域之一，在社会科学，自然科学，经济学，工程技术，管理科学乃至人文艺术等诸多领域中都有着广泛的应用。在非线性系统中有两类非线性振动系统研究是较为典型的，就是上面所提到的：Duffing系统与Van der pol系统。
Duffing方程是非线性理论中常用的代表性微分方程，它是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型。在工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程，比如电气工程领域的一些问题的研究。Van der pol方程是用电感耦合晶体管振荡电路作为例子推导出非线性振荡器的简化的数学模型，在物理学、生物学、神经学甚至经济学中，van der pol振荡也已经成为描述振荡过程的一种基础模型。所以作为非线性振动系统典型的代表，将两者结合起来，DuffingVan der Pol振子具有更加丰富的动力学特性。DuffingVan der Pol 系统的非线性部分将会同时含有Duffing 系统三次非线性恢复力项和 Van der Pol 系统维持自激振动的非线性阻尼项。此类作为两种非常典型的非线性系统的组合，必然有其更加重要的研究意义。目前，DuffingVan der Pol 系统已经在工程学、物理学等领域作为一种重要的研究模型，并且研究地位也在进一步上升。
1.2 研究现状
由于DuffingVan der Pol是两种典型的非线性系统的组合，具有两方程的动力学特性，所以，在这一领域的研究国内外都给予了高度的关注，也通过相关的努力有了许多可观，惊喜的成果。
在国外的研究上：Holmes和Rand[1]研究了形如的DuffingVan der Pol振子的局部和全局分岔行为。Tsuda等人[2]研究了含时滞的DuffingVan der Pol振子的主共振和1∶2亚谐共振的混沌运动。
在国内的研究上：徐健等人[3]研究位移反馈控制的DuffingVan der Pol振子的主共振时，发现倍周期分岔和环面破损是导致混沌运动出现的两种途径。符五久[4]用Melnikov函数方法研究Duffingvan der pol方程的Hopf分岔问题，并获得了DuffingVan der pol系统的Hopf分岔条件。李欣业，张振民，张华彪，高仕赵[5]研究了Duffingvan der Pol振子在一类时滞反馈控制下零解的稳定性问题以及极限环的振幅和稳定性问题。张天舒，林延新[6]研究了DuffingVan der pol 系统在参数激励下的动力学行为与混沌同步问题，创新的提出了利用全局吸引子和吸引域的变化的方法来研究DuffingVan der pol振子在参数激励下混沌吸引子及吸引域的形成与激变，更加形象具体的反应出整个变化过程，揭示了对称系统更为丰富的对称破裂激变现象。
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