MATLAB在离散系统仿真中的应用
目 录
1 引言 1
1.1 研究背景 1
1.2 研究现状 1
1.3 主要工作 2
2 预备知识 2
2.1 基本概念 2
2.2 自治系统在 Lyapunov意义下的渐近稳定性 4
3 主要工作 5
3.1 自治系统状态反馈控制器设计 5
3.2 不确定离散时间线性时不变系统的稳定性判据 6
3.3 不确定离散线性系统状态反馈控制器设计 8
4 数值算例 10
结 论 15
致 谢 16
参 考 文 献 17
附 录 18
1 引言
1.1 研究背景
从自动控制理论的发展，它已经取得了世人瞩目的成就，形成了比较完整的科学--控制科学。一个在控制科学的主要问题是该对象的适当的控制器设计，使系统能按预期轨迹稳定运行。系统控制的理论和实践对人类影响特别大，尤其在20世纪对人类生产生活的影响更为显著。在系统控制理论中，线性系统理论是既是最基础又是最成熟的。无论是第二十世纪40-50经典控制理论的兴起，或现代控制理论第二十世纪60年代兴起，工程师或研究人员，如果你想设计的控制器，然后，他们的主要任务是分析被控对象并建立数学模型的。假如模型并不精确，或控制系统在操作过程中有些参数会发生变化，也会让这个系统不稳定或者质量较差。
在工业控制领域，工业生产过程中，生产设备，运输系统和其他控制指标，其动态特性的数学模型往往难以准确地描述它。基于该模型所使用的模型控制器设计是对象的只有逼近实际。使用的一个数学模型不能充分反映一个控制系统，它可以被称为系统的不确定性。 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥3^5`1^9`1^6^0`7^2$
r /> 当然，人们想要对控制系统分析与设计方法，获得数学模型的控制以及某些信息来指导分析的模型和控制系统设计中的不确定性，使得闭环系统是稳定的或满足特定性能目标。基于导致产生和发展的鲁棒控制问题的思考，它可以定量分析和综合不确定系统。对于鲁棒控制理论问题，探讨的可以分为两个方面：一方面是控制法合成，另一方面是控制系统的鲁棒性剖析。发展过程中的鲁棒控制，人们学会了从理论和实践都基于鲁棒分析及合成为不确定性系统模型在在工程实践的意义。
到了20世纪90年代之后，LMI方法慢慢代替了基于Riccati方程的控制设计方法，而且获得了丰富的研究成果。这段时间内有效地解决了LMI的求解问题，极大地推动了LMI方法的发展。
1.2 研究现状
现在，当然有很多标准可以用于线性定常系统或其他不同类型的问题，如果还可以在线性，非线性，稳定和可变系统的有效利用，则是俄国数学家Lyapunov在19世纪所提出的方法。几乎全部的问题都可以变化为一个类Riccati方程或LMI的求解。尤其，到了20世纪90年代之后，LMI方法慢慢代替了基于Riccati方程的控制设计方法，而且获得了丰富的研究成果。
1999年，其中具有代表性的De Oliveira[4]的一个新的离散时间系统的鲁棒稳定性条件是近年来鲁棒控制的高引用率的参考。2001年，新的参数依赖Lyapunov稳定性条件被Apkarian[5]提出。虽然附加变量法具有里程碑的意义，如果沿着De Oliveira的思路，他设计的附加变量的方法依然是保守的。2000年，Peaucelle[6]推行了De Oliveira的思路，在参数依赖Lyapunov函数的基础上，研究了不确定系统的鲁棒D-稳定条件。2001年、2002年，Ramos[7,8]沿着一条新的思绪（矩阵多项式展开）出发，给出了新的构造参数依赖Lyapunov函数的方法。2006，对不确定线性系统的鲁棒稳定性问题是Oliveira Peres[9]利用Lyapunov函数进行讨论。
1.3 主要工作
正确理解每个概念，给出范数有界不确定系统渐近稳定的充分条件，设计了相应的状态反馈控制器。并给出算例，通过运用Matlab LMI工具箱求解LMI判据，判断系统的稳定性，并画出状态响应图，验证方法的有效性。
2 预备知识
2.1 基本概念
2.1.1 线性系统的状态空间描述
用 表示环境对系统的作用，这个为输入；用 表示系统对环境的作用，这个为输出， 、 为输入输出变量的个数。在每一时刻的系统状态变量是系统的内部变量，它表示为 。
控制系统由古典控制理论和现代控制理论组成。古典控制理论只表示外部变量，不涉及内部结构和内部变量，也就是说，只能看出外部变量之间的因果关系。这个模型对系统的描述是不够完整的，不能够反映内部变化。而线性控制理论既用到外部变量又用到内部变量， 是反映内部状态的变量， 是输入变量， 是输出变量。一个是 和 之间因果关系的数学表达式，这个表达式可以是微分方程（用于连续系统），也可以是差分方程（用于离散系统）；另一个是 ， 和 之间的数学表达式，这个表达式为输出方程，这个描述可以全部表示系统的一切动力学特性。 连续系统是比较普遍的，但离散系统是最基础的，也是最基本的，连续系统的分析也是通过离散系统分析后得到的。
⑴控制系统的状态是系统在每个时刻的状态。
⑵可以完整描绘动态系统时域行为的所含变量个数最少的变量组称为系统的状态变量。它应能确定系统未来的演化行为。所谓完全表征是指：
①在任何时刻 ，状态变量的值 是在系统的瞬间表达；
②当输入和状态变量都可以确定时，状态变量就可以全部确定系统的情况。
状态变量的最小体现在状态变量的系统状态变量为系统行为的最低数量的必要的完整的表征，和变量的数目会破坏完整性，用 表示。
⑶如果一个系统有 个单独的状态向量 ，用它们作为向量的分量 称为状态向量，即
⑷状态空间可以看作是一个状态变量 的空间坐标轴，因此此空间中的一个向量表示系统的一部分状态。系统在任何时刻的状态，都可以用状态空间中的一个点来表示。如果时间 对应一个初始状态 ，我们可以得到状态空间的一个初始点，随着时间的推移， 在状态空间描述的路径，这是状态的轨迹。
2.1.3 Lyapunov第一方法和Lyapunov第二方法
Lyapunov第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方程的显示解来对稳定性进行分析，是一个间接的方法。所以该方法也称为Lyapunov间接法。
Lyapunov第二方法不是求解微分方程组，而是通过构造所谓的Lyapunov函数（标量函数）来直接判断运动的稳定性。因此，该方法Lyapunov直接法。
Lyapunov第二方法目前仍是研究非线性、时变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的基本工具。
1 引言 1
1.1 研究背景 1
1.2 研究现状 1
1.3 主要工作 2
2 预备知识 2
2.1 基本概念 2
2.2 自治系统在 Lyapunov意义下的渐近稳定性 4
3 主要工作 5
3.1 自治系统状态反馈控制器设计 5
3.2 不确定离散时间线性时不变系统的稳定性判据 6
3.3 不确定离散线性系统状态反馈控制器设计 8
4 数值算例 10
结 论 15
致 谢 16
参 考 文 献 17
附 录 18
1 引言
1.1 研究背景
从自动控制理论的发展，它已经取得了世人瞩目的成就，形成了比较完整的科学--控制科学。一个在控制科学的主要问题是该对象的适当的控制器设计，使系统能按预期轨迹稳定运行。系统控制的理论和实践对人类影响特别大，尤其在20世纪对人类生产生活的影响更为显著。在系统控制理论中，线性系统理论是既是最基础又是最成熟的。无论是第二十世纪40-50经典控制理论的兴起，或现代控制理论第二十世纪60年代兴起，工程师或研究人员，如果你想设计的控制器，然后，他们的主要任务是分析被控对象并建立数学模型的。假如模型并不精确，或控制系统在操作过程中有些参数会发生变化，也会让这个系统不稳定或者质量较差。
在工业控制领域，工业生产过程中，生产设备，运输系统和其他控制指标，其动态特性的数学模型往往难以准确地描述它。基于该模型所使用的模型控制器设计是对象的只有逼近实际。使用的一个数学模型不能充分反映一个控制系统，它可以被称为系统的不确定性。
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到了20世纪90年代之后，LMI方法慢慢代替了基于Riccati方程的控制设计方法，而且获得了丰富的研究成果。这段时间内有效地解决了LMI的求解问题，极大地推动了LMI方法的发展。
1.2 研究现状
现在，当然有很多标准可以用于线性定常系统或其他不同类型的问题，如果还可以在线性，非线性，稳定和可变系统的有效利用，则是俄国数学家Lyapunov在19世纪所提出的方法。几乎全部的问题都可以变化为一个类Riccati方程或LMI的求解。尤其，到了20世纪90年代之后，LMI方法慢慢代替了基于Riccati方程的控制设计方法，而且获得了丰富的研究成果。
1999年，其中具有代表性的De Oliveira[4]的一个新的离散时间系统的鲁棒稳定性条件是近年来鲁棒控制的高引用率的参考。2001年，新的参数依赖Lyapunov稳定性条件被Apkarian[5]提出。虽然附加变量法具有里程碑的意义，如果沿着De Oliveira的思路，他设计的附加变量的方法依然是保守的。2000年，Peaucelle[6]推行了De Oliveira的思路，在参数依赖Lyapunov函数的基础上，研究了不确定系统的鲁棒D-稳定条件。2001年、2002年，Ramos[7,8]沿着一条新的思绪（矩阵多项式展开）出发，给出了新的构造参数依赖Lyapunov函数的方法。2006，对不确定线性系统的鲁棒稳定性问题是Oliveira Peres[9]利用Lyapunov函数进行讨论。
1.3 主要工作
正确理解每个概念，给出范数有界不确定系统渐近稳定的充分条件，设计了相应的状态反馈控制器。并给出算例，通过运用Matlab LMI工具箱求解LMI判据，判断系统的稳定性，并画出状态响应图，验证方法的有效性。
2 预备知识
2.1 基本概念
2.1.1 线性系统的状态空间描述
用 表示环境对系统的作用，这个为输入；用 表示系统对环境的作用，这个为输出， 、 为输入输出变量的个数。在每一时刻的系统状态变量是系统的内部变量，它表示为 。
控制系统由古典控制理论和现代控制理论组成。古典控制理论只表示外部变量，不涉及内部结构和内部变量，也就是说，只能看出外部变量之间的因果关系。这个模型对系统的描述是不够完整的，不能够反映内部变化。而线性控制理论既用到外部变量又用到内部变量， 是反映内部状态的变量， 是输入变量， 是输出变量。一个是 和 之间因果关系的数学表达式，
⑴控制系统的状态是系统在每个时刻的状态。
⑵可以完整描绘动态系统时域行为的所含变量个数最少的变量组称为系统的状态变量。它应能确定系统未来的演化行为。所谓完全表征是指：
①在任何时刻 ，状态变量的值 是在系统的瞬间表达；
②当输入和状态变量都可以确定时，状态变量就可以全部确定系统的情况。
状态变量的最小体现在状态变量的系统状态变量为系统行为的最低数量的必要的完整的表征，和变量的数目会破坏完整性，用 表示。
⑶如果一个系统有 个单独的状态向量 ，用它们作为向量的分量 称为状态向量，即
⑷状态空间可以看作是一个状态变量 的空间坐标轴，因此此空间中的一个向量表示系统的一部分状态。系统在任何时刻的状态，都可以用状态空间中的一个点来表示。如果时间 对应一个初始状态 ，我们可以得到状态空间的一个初始点，随着时间的推移， 在状态空间描述的路径，这是状态的轨迹。
2.1.3 Lyapunov第一方法和Lyapunov第二方法
Lyapunov第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方程的显示解来对稳定性进行分析，是一个间接的方法。所以该方法也称为Lyapunov间接法。
Lyapunov第二方法不是求解微分方程组，而是通过构造所谓的Lyapunov函数（标量函数）来直接判断运动的稳定性。因此，该方法Lyapunov直接法。
Lyapunov第二方法目前仍是研究非线性、时变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的基本工具。
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