离散混沌系统的函数射影同步算法研究
在本文中，我们基于Lyapunov稳定性理论，对离散型混沌系统的函数射影同步算法进行了研究。通过设置适当的控制子，我们就二维Lorenz离散系统、二维Henon映射、三维Rossler离散系统以及三维Henon映射分别实现了同结构离散混沌系统与异结构离散混沌系统的函数射影同步。最后，通过数值模拟与仿真验证了算法的有效性。
目录
摘要 1
关键词 1
Abstract. 1
Key words 1
第1章 绪论 2
1.1 引言 2
1.2 混沌同步 2
1.3 本文的主要工作 4
第2章 几种典型的离散混沌系统及函数射影同步算法理论 5
2.1 几种典型的离散混沌系统 5
2.2 离散混沌系统的函数射影同步算法的理论分析 7
第3章 几种典型离散混沌系统的函数射影同步算法的数值仿真 10
3.1 引言 10
3.2 二维离散混沌系统的函数射影同步 10
3.2.1 同结构二维离散混沌系统的函数射影同步 10
3.2.2 异结构二维离散混沌系统的函数射影同步 12
3.3 三维离散超混沌系统的函数射影同步 13
3.3.1 同结构三维离散超混沌系统的函数射影同步 13
3.3.2 异结构三维离散超混沌系统的函数射影同步 15
第4章 总结与展望 17
致谢 18
参考文献 19
离散混沌系统的函数射影同步算法研究
引言
第1章 绪论
1.1 引言
混沌学是非线性系统科学的重要代表之一，也是近年来的研究热点之一。一般而言，混沌是指确定性非线性系统的内在随机性，它对初始条件极其微小的变化表现出高度的敏感性和不稳定性。关于混沌的最早的数学定义是由李天岩和James A.Yorke于1975年在美国《数学月刊》上一篇题为《周期三意味着混沌》的论文中提出的，被称为LiYorke定义或LiYorke定理[1]。
定义1.1 LiYorke定义：
上的连续自映射被称 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: &351916072&
为是混沌的，如果其满足：
（1）的周期点的周期无上界。
（2）存在的不可数子集，不含周期点，使得
对于，，有
对于及任意周期点，有
除了LiYorke定义，混沌还有别的定义，如Devaney定义，Marotto定理等。混沌的定义虽然不统一，但是混沌的主要基本特征都包含在这些定义里。混沌主要有以下特征[2]:
（1）对初始条件的敏感性。
（2）内随机性。
（3）正的Lyapunov指数。
Lyapunov指数：
设是连续可微函数，对于任意给定的初值，称
为在初值轨道的Lyapunov指数。其中，正的Lyapunov指数是系统产生混沌的必要条件。
1.2 混沌同步
早期，混沌的奇异性与复杂性使得人们认为混沌不可控制，且不可预测，但是经过20世纪90年代以来人们在混沌控制领域的大量研究，混沌的可控制性与可预测性得以发现，并且被广泛应用于各个领域[3]。其中,混沌同步就是混沌控制的一种，数学定义如下：
已知如下两个混沌系统
为维驱动系统
为维响应系统，其中，，为系统的状态变量。，为系统的状态变量函数，两者既可以相同，也可以不同。为控制函数。如果，则称两个混沌系统实现了混沌同步。
自从Pecora和Carroll在1990年提出驱动响应法实现了混沌同步[4]以来，混沌同步衍生出了很多分支，主要有完全同步、广义同步、时滞同步、相同步、射影同步以及函数射影同步等[56]，实现混沌同步的算法也有很多，如OGY算法[7]、自适应控制算法[8]、级联同步算法[9]以及函数级联同步算法[1011]等。本文主要介绍以下几种混沌同步并给出相应算法。
（1）同结构同步
两个混沌系统的结构和参数在完全相同条件下的同步[2]。例如：二维Lorenz离散系统的混沌同步，其中，驱动系统为：
响应系统为：
（2）异结构同步
两个混沌系统的结构和参数均为不同类型下的同步[2]。例如：二维Lorenz离散系统与二维Henon映射的混沌同步，其中，驱动系统为：
响应系统为：
（3）射影同步
假设两个混沌系统，，其中为驱动系统，为响应系统，，，是需要设计的控制子。
定义误差，，其中为非零常数。如果，则称两个混沌系统实现了射影同步。
（4）函数射影同步
在（3）射影同步的基础上，将误差中的非零常数改为函数，即，。如果，则称两个混沌系统实现了函数射影同步。
1.3 本文的主要工作
目前，人们对混沌同步算法的研究大多停留在连续型混沌系统上，但是由于神经网络、生物工程、物理过程及化学变化等许多领域的数学模型都属于离散型混沌系统，所以对这类混沌系统的研究就更加具有实际意义。故本文以离散混沌系统为研究对象，基于Lyapunov稳定性理论，通过设置适当的控制子，分别实现了同结构离散混沌系统和异结构离散混沌系统的函数射影同步。最后，借助数值模拟与仿真验证了算法的有效性。具体章节安排如下：
（1）在第2章中，首先给出了几种典型的离散混沌系统：二维Lorenz离散系统、二维Henon映射、三维Rossler离散系统以及三维Henon映射，并通过matlab给出了各个系统的混沌吸引子，接着对离散（超）混沌系统的函数射影同步算法进行了理论分析。
（2）在第3章中，分别实现了二维离散混沌系统中同结构二维Lorenz离散系统的函数射影同步、同结构二维Henon映射的函数射影同步、二维Lorenz离散系统与二维Henon映射的函数射影同步，以及三维离散超混沌系统中同结构三维Rossler离散系统的函数射影同步、同结构三维Henon映射的函数射影同步、三维Rossler离散系统与三维Henon映射的函数射影同步，通过数值仿真验证了函数射影同步算法的有效性。
(3)在第4章中，总结并展望。
第2章 几种典型的离散混沌系统及函数射影同步算法理论
在本章节中，我们首先有针对性地选取了几种典型的离散混沌系统：二维Lorenz离散系统、二维Henon映射、三维Rossler离散系统以及三维Henon映射，并给出了各个系统的混沌吸引子，之后基于离散超混沌系统和离散混沌系统，给出了函数射影同步算法的理论分析及严格的理论证明。
目录
摘要 1
关键词 1
Abstract. 1
Key words 1
第1章 绪论 2
1.1 引言 2
1.2 混沌同步 2
1.3 本文的主要工作 4
第2章 几种典型的离散混沌系统及函数射影同步算法理论 5
2.1 几种典型的离散混沌系统 5
2.2 离散混沌系统的函数射影同步算法的理论分析 7
第3章 几种典型离散混沌系统的函数射影同步算法的数值仿真 10
3.1 引言 10
3.2 二维离散混沌系统的函数射影同步 10
3.2.1 同结构二维离散混沌系统的函数射影同步 10
3.2.2 异结构二维离散混沌系统的函数射影同步 12
3.3 三维离散超混沌系统的函数射影同步 13
3.3.1 同结构三维离散超混沌系统的函数射影同步 13
3.3.2 异结构三维离散超混沌系统的函数射影同步 15
第4章 总结与展望 17
致谢 18
参考文献 19
离散混沌系统的函数射影同步算法研究
引言
第1章 绪论
1.1 引言
混沌学是非线性系统科学的重要代表之一，也是近年来的研究热点之一。一般而言，混沌是指确定性非线性系统的内在随机性，它对初始条件极其微小的变化表现出高度的敏感性和不稳定性。关于混沌的最早的数学定义是由李天岩和James A.Yorke于1975年在美国《数学月刊》上一篇题为《周期三意味着混沌》的论文中提出的，被称为LiYorke定义或LiYorke定理[1]。
定义1.1 LiYorke定义：
上的连续自映射被称 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: &351916072&
为是混沌的，如果其满足：
（1）的周期点的周期无上界。
（2）存在的不可数子集，不含周期点，使得
对于，，有
对于及任意周期点，有
除了LiYorke定义，混沌还有别的定义，如Devaney定义，Marotto定理等。混沌的定义虽然不统一，但是混沌的主要基本特征都包含在这些定义里。混沌主要有以下特征[2]:
（1）对初始条件的敏感性。
（2）内随机性。
（3）正的Lyapunov指数。
Lyapunov指数：
设是连续可微函数，对于任意给定的初值，称
为在初值轨道的Lyapunov指数。其中，正的Lyapunov指数是系统产生混沌的必要条件。
1.2 混沌同步
早期，混沌的奇异性与复杂性使得人们认为混沌不可控制，且不可预测，但是经过20世纪90年代以来人们在混沌控制领域的大量研究，混沌的可控制性与可预测性得以发现，并且被广泛应用于各个领域[3]。其中,混沌同步就是混沌控制的一种，数学定义如下：
已知如下两个混沌系统
为维驱动系统
为维响应系统，其中，，为系统的状态变量。，为系统的状态变量函数，两者既可以相同，也可以不同。为控制函数。如果，则称两个混沌系统实现了混沌同步。
自从Pecora和Carroll在1990年提出驱动响应法实现了混沌同步[4]以来，混沌同步衍生出了很多分支，主要有完全同步、广义同步、时滞同步、相同步、射影同步以及函数射影同步等[56]，实现混沌同步的算法也有很多，如OGY算法[7]、自适应控制算法[8]、级联同步算法[9]以及函数级联同步算法[1011]等。本文主要介绍以下几种混沌同步并给出相应算法。
（1）同结构同步
两个混沌系统的结构和参数在完全相同条件下的同步[2]。例如：二维Lorenz离散系统的混沌同步，其中，驱动系统为：
响应系统为：
（2）异结构同步
两个混沌系统的结构和参数均为不同类型下的同步[2]。例如：二维Lorenz离散系统与二维Henon映射的混沌同步，其中，驱动系统为：
响应系统为：
（3）射影同步
假设两个混沌系统，，其中为驱动系统，为响应系统，，，是需要设计的控制子。
定义误差，，其中为非零常数。如果，则称两个混沌系统实现了射影同步。
（4）函数射影同步
在（3）射影同步的基础上，将误差中的非零常数改为函数，即，。如果，则称两个混沌系统实现了函数射影同步。
1.3 本文的主要工作
目前，人们对混沌同步算法的研究大多停留在连续型混沌系统上，但是由于神经网络、生物工程、物理过程及化学变化等许多领域的数学模型都属于离散型混沌系统，所以对这类混沌系统的研究就更加具有实际意义。故本文以离散混沌系统为研究对象，基于Lyapunov稳定性理论，通过设置适当的控制子，分别实现了同结构离散混沌系统和异结构离散混沌系统的函数射影同步。最后，借助数值模拟与仿真验证了算法的有效性。具体章节安排如下：
（1）在第2章中，首先给出了几种典型的离散混沌系统：二维Lorenz离散系统、二维Henon映射、三维Rossler离散系统以及三维Henon映射，并通过matlab给出了各个系统的混沌吸引子，接着对离散（超）混沌系统的函数射影同步算法进行了理论分析。
（2）在第3章中，分别实现了二维离散混沌系统中同结构二维Lorenz离散系统的函数射影同步、同结构二维Henon映射的函数射影同步、二维Lorenz离散系统与二维Henon映射的函数射影同步，以及三维离散超混沌系统中同结构三维Rossler离散系统的函数射影同步、同结构三维Henon映射的函数射影同步、三维Rossler离散系统与三维Henon映射的函数射影同步，通过数值仿真验证了函数射影同步算法的有效性。
(3)在第4章中，总结并展望。
第2章 几种典型的离散混沌系统及函数射影同步算法理论
在本章节中，我们首先有针对性地选取了几种典型的离散混沌系统：二维Lorenz离散系统、二维Henon映射、三维Rossler离散系统以及三维Henon映射，并给出了各个系统的混沌吸引子，之后基于离散超混沌系统和离散混沌系统，给出了函数射影同步算法的理论分析及严格的理论证明。
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