图像边缘检测的新型算法比较
图像边缘检测的新型算法比较[20191215171312]
摘 要
图像的边缘是图像的基本特征之一，它蕴含着一幅图像的大部分信息，可为图像识别、图像分割、图像压缩等图像处理技术提供依据。因此，图像边缘检测是图像处理技术中的基本问题。边缘检测技术已经有了长足的发展，检测算法多种多样，主要包括经典的微分掩膜算子法以及新型的分数阶微分法、小波变换法、相位一致性法和分数阶傅里叶变换法等。
本文首先概要介绍了图像边缘检测技术的发展历程，并阐明了该项技术的重要性；随后系统介绍了分数阶微分的概念与特点，根据其定义构造出了分数阶差分掩膜算子，并应用到了边缘检测技术当中；接下来主要介绍了小波变换的概念及其多尺度分析的优势，并利用Mallat快速小波变换算法实现了对图像的边缘检测；接着介绍了一种利用图像相位信息的新型图像边缘检测算法，阐明了相位一致性的概念及其鲁棒性强的独特优势；之后对分数阶傅里叶变换的原理与实现进行了系统介绍，并应用到了二维图像的边缘检测当中；最后根据四种新型算法的仿真实验结果，总结出了各自的优缺点，并指出了算法改进的方向。
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关键字:边缘检测；分数阶微分；小波变换；相位一致性；分数阶傅里叶变换
目 录
摘 要 I
ABSTRACT II
第 1 章 绪论 1
1.1 图像边缘检测概论 1
1.2 图像边缘的定义 2
1.3 研究意义 3
1.4 本文章节安排 3
第 2 章 基于分数阶微分的图像边缘检测 5
2.1 分数阶微积分的发展概况 5
2.2 分数阶微积分的定义 5
2.2.1 Grunwald-Letnikov定义 6
2.2.2 Riemann-Liouville定义 6
2.2.3 Caputo定义 7
2.2.4 三种分数阶微积分定义比较 7
2.3 分数阶微分与整数阶微分 7
2.4 分数阶差分掩膜算子 9
2.4.1 分数阶差分定义 9
2.4.2 分数阶差分掩膜算子 9
2.5 基于分数阶微分的图像边缘检测算法 10
2.6 仿真实验 11
2.6.1 无噪声图像 12
2.6.2 噪声图像 15
2.7 本章小结 17
第 3 章 基于小波变换的图像边缘检测 18
3.1 傅里叶变换的局限性 18
3.2 小波变换 18
3.2.1 连续小波变换 19
3.2.2 离散小波变换 20
3.2.3 小波变换的多尺度分析 21
3.2.4 Mallat塔式算法 23
3.3 基于小波变换的边缘检测算法 26
3.4 仿真实验 27
3.4.1 无噪声图像 27
3.4.2 噪声图像 31
3.5 本章小结 33
第 4 章 基于相位一致性的图像边缘检测 34
4.1 图像的相位信息 34
4.2 相位一致性定义 36
4.2.1 基本概念 36
4.2.2 局部能量模型 37
4.2.3 局部能量的估计 40
4.3 基于log Gabor小波的相位一致性计算 41
4.3.1 Gabor函数 41
4.3.2 log Gabor函数 43
4.3.3 改进的相位一致性算法 44
4.4 二维相位一致性计算 45
4.5 基于相位一致性的边缘检测算法 46
4.6 仿真实验 46
4.6.1 无噪声图像 46
4.6.2 噪声图像 47
4.7 本章小结 48
第 5 章 基于分数阶傅里叶变换的图像边缘检测 50
5.1 分数阶傅里叶变换的发展概况 50
5.2 分数阶傅里叶变换的概念 51
5.2.1 基本原理 51
5.2.2 基本性质 52
5.2.3 二维分数阶傅里叶变换 53
5.3 离散分数阶傅里叶变换及其快速算法 54
5.4 基于分数阶傅里叶变换的边缘检测算法 56
5.5 仿真实验 57
5.5.1 无噪声图像 57
5.5.2 噪声图像 59
5.6 本章小结 60
第 6 章 总结与展望 62
参考文献 64
致 谢 68
附 录 69
附录A 源代码 69
附录B 英文文献翻译 87
第 1 章 绪论
1.1 图像边缘检测概论
图像边缘检测作为数字图像处理中的基本问题，对建立在此基础之上的各类研究领域都具有重要的意义。边缘是图像的基本特质，保留着大量信息，可为目标提取提供重要依据。图像边缘存在于图像的不平稳现象当中，即信号的突变点处，包括目标内部、目标之间以及目标与背景之间不同区域的分界线[1]。图像边缘检测正是通过提取图像中的某种特征在不同位置的变化与差异进而确定边缘的位置，剔除大量的次要信息，保留目标的主要结构与特征。
图像中的大部分边缘是由数个像素点的灰度突变构成的，这类边缘可以较为方便的检测出来；但还有一些边缘是灰度变化较为缓慢的模糊边缘，若使用与检测锐边相同的方法来处理则很难得到较好的效果。此外，实际图像中还不可避免的包含着一定强度的噪声，这些噪声在图像中也表现为灰度的突变，造成与实际边缘的混淆，导致边缘检测的效果变差。因此，如何将锐边与模糊边缘同时检测出来，同时排除噪声的干扰，是图像边缘检测的主要难题。
图像边缘检测技术已经有了一定的发展，主要分为经典算法与新型算法两类。经典算法是通过构造微分掩膜算子来寻找灰度突变的像素点，从而确定边缘的位置：如一阶微分的Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子以及二阶微分的Laplacian算子与LOG算子，它们通过寻找图像信号一阶导数的极值点或二阶导数的过零点来进行边缘识别。与其他算子不同，Canny算子是基于三条最优化准则（最大信噪比准则、最优过零点定位准则和多峰值相应准则[2]）而提出的边缘检测算子，在图像进行梯度运算之后又对幅值进行了非极大值抑制以及双阈值分割[2][3]，虽然效果并不一定最优，但对图像边缘检测技术之后的发展带来了很多启示。
新型算法是指通过新型的信号处理技术实现对边缘的提取与检测，如本文主要介绍的四种方法：分数阶微分法、小波变换法、相位一致性法以及分数阶傅里叶变换法。分数阶微分将微分运算从整数阶推广到了分数阶，可以更好的挖掘图像的细节信息；小波变换具有“数学显微镜”的称号，可以在任意尺度下对图像进行描述；相位一致性是一种新的图像特质，可为边缘识别提供新的依据；分数阶傅里叶变换还在发展当中，本文将针对其运用到图像边缘检测中的有效性进行试验。此外，新型算法还有数学形态学方法[4]等。
1.2 图像边缘的定义
图像边缘即我们通常所说的轮廓，它蕴含着图像的大部分特征。在现实生活中，人们往往可以仅通过一个目标的轮廓就识别出该目标，这种现象充分证明了轮廓——即图像边缘对图像识别的重要性。在数字图像处理技术中，通常用像素灰度的变化来定义图像边缘。图像边缘在信号领域内表现为信号的奇异化，也即像素灰度的突变所导致的信号局部断续现象。
图 1 1 阶梯状边缘与屋脊状边缘及其一、二阶导数
根据信号奇异化的种类我们可以将边缘分为两类：阶梯状边缘与屋脊状边缘。两类边缘的简化模型及其一、二阶导数如图 1 1所示（其中第一行为理想模型，第二行为实际模型）。在理想模型中，阶梯状边缘表现为灰度信号的在某处的跳变，屋脊状边缘表现为灰度信号的极值。因此，阶梯状边缘等效于灰度信号一阶导数的极值点或二阶导数的过零点，而屋脊状边缘等效于灰度信号一阶导数的过零点或二阶导数的极值点。
1.3 研究意义
图像边缘检测在现实生活中有广泛的应用，如图像压缩、人脸识别、图像测量、卫星遥感技术甚至精确制导等。这些智能系统的一切行为都需要建立在对现实情况的识别和理解之上，而对现实情况的描述则多以图片、视频等多媒体的形式实现。图像边缘检测可以将一幅图像中的信息以最简洁的方式表现出来，剔除图像中大量的可以认为无用的信息，只保留其主要框架结构，为接下来的目标识别、定位等相应的二次处理提供依据。因此，图像边缘检测技术在一定程度上起到了底层支撑作用。
在图像边缘检测经典算法的基础之上，分析几种新型边缘检测算法的原理，并分别通过仿真实验得到检测效果，观察不同方法的不同特性，可以帮助人们全面认识边缘检测技术并且寻找新的算法思路，同时也可以指导人们在实际应用中针对不同的实际情况选择合适的边缘检测算法。
1.4 本文章节安排
第1章主要介绍了图像边缘检测的重要性、基本概念、主要问题以及发展状况。同时阐明了该项研究的重要意义，并且对经典边缘检测算子进行了简要的说明。此外，该章节还对图像边缘的定义做出了解释，为下文的理论推导打下基础。
第2章系统介绍了分数阶微分的数学理论并将其成功应用到了图像边缘检测当中。文中给出了分数阶微分的三种数学定义，并将分数阶微分与整数阶微分对比，得出了分数阶微分可以得到更加细腻、清晰、完整、连续的边缘检测结果的结论。最后，从分数阶微分的GL定义出发，构造出分数阶差分掩膜算子，并进行了仿真实验，得出该算法可以有效提取出图像的细节信息但鲁棒性差的结论。
第3章系统阐述了小波变换的基本原理，并利用二进小波进行了边缘检测处理。文中由傅里叶变换的局限性引出小波变换的概念，接着介绍了连续与离散小波变换、多尺度分析以及Mallat塔式快速算法。随后将小波变换与非极大值抑制、双阈值分割的方法相结合，得出了基于小波变换的图像边缘检测算法，并进行了仿真实验，取得了很好的效果。
第4章主要介绍了相位一致性的基本概念，并建立起基于log Gabor小波的改进型相位一致性算法。文中详细说明了图像相位信息的重要性以及提取方法，利用局部能量模型对相位一致性的基本定义进行了简化。仿真实验结果表明，该方法符合人类视觉系统的特性，具有较强的抗噪性能。
第5章主要介绍了分数阶傅里叶变换的基本原理、性质及其离散化的快速算法，并从一维扩展到了二维。文中阐明了分数阶傅里叶变换产生的背景以及重要性，并对其快速算法进行了推导与说明，最终应用于二维图像的处理，得出该算法具有一定边缘提取能力，但抗噪性、鲁棒性较差的结论。
第6章对四种新型的图像边缘检测算法进行了对比性的说明，先后总结了四种方法各自的优、缺点，并针对这些特点以及研究中出现的问题提出了未来的研究方向。
第 2 章 基于分数阶微分的图像边缘检测
2.1 分数阶微积分的发展概况
分数阶微积分是用于计算任意阶次的微积分。分数阶微积分的概念令人感到陌生，但它的历史几乎与整数阶次的微积分一样悠久，二者均为微积分理论的重要组成部分。早在1695年，莱布尼茨在一封写给洛必达的信中提出了这样一个问题：“整数阶导数能否自然的推广到非整数阶导数呢？”洛必达当时也并不清楚这个问题的答案，但是却以问代答的反问了莱布尼茨：“如果求导的次数为分数，那会导致什么样的状况呢？”莱布尼茨在回信中说：“这会导致悖论，但总有一天会得到有用的结果的。”
摘 要
图像的边缘是图像的基本特征之一，它蕴含着一幅图像的大部分信息，可为图像识别、图像分割、图像压缩等图像处理技术提供依据。因此，图像边缘检测是图像处理技术中的基本问题。边缘检测技术已经有了长足的发展，检测算法多种多样，主要包括经典的微分掩膜算子法以及新型的分数阶微分法、小波变换法、相位一致性法和分数阶傅里叶变换法等。
本文首先概要介绍了图像边缘检测技术的发展历程，并阐明了该项技术的重要性；随后系统介绍了分数阶微分的概念与特点，根据其定义构造出了分数阶差分掩膜算子，并应用到了边缘检测技术当中；接下来主要介绍了小波变换的概念及其多尺度分析的优势，并利用Mallat快速小波变换算法实现了对图像的边缘检测；接着介绍了一种利用图像相位信息的新型图像边缘检测算法，阐明了相位一致性的概念及其鲁棒性强的独特优势；之后对分数阶傅里叶变换的原理与实现进行了系统介绍，并应用到了二维图像的边缘检测当中；最后根据四种新型算法的仿真实验结果，总结出了各自的优缺点，并指出了算法改进的方向。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:边缘检测；分数阶微分；小波变换；相位一致性；分数阶傅里叶变换
目 录
摘 要 I
ABSTRACT II
第 1 章 绪论 1
1.1 图像边缘检测概论 1
1.2 图像边缘的定义 2
1.3 研究意义 3
1.4 本文章节安排 3
第 2 章 基于分数阶微分的图像边缘检测 5
2.1 分数阶微积分的发展概况 5
2.2 分数阶微积分的定义 5
2.2.1 Grunwald-Letnikov定义 6
2.2.2 Riemann-Liouville定义 6
2.2.3 Caputo定义 7
2.2.4 三种分数阶微积分定义比较 7
2.3 分数阶微分与整数阶微分 7
2.4 分数阶差分掩膜算子 9
2.4.1 分数阶差分定义 9
2.4.2 分数阶差分掩膜算子 9
2.5 基于分数阶微分的图像边缘检测算法 10
2.6 仿真实验 11
2.6.1 无噪声图像 12
2.6.2 噪声图像 15
2.7 本章小结 17
第 3 章 基于小波变换的图像边缘检测 18
3.1 傅里叶变换的局限性 18
3.2 小波变换 18
3.2.1 连续小波变换 19
3.2.2 离散小波变换 20
3.2.3 小波变换的多尺度分析 21
3.2.4 Mallat塔式算法 23
3.3 基于小波变换的边缘检测算法 26
3.4 仿真实验 27
3.4.1 无噪声图像 27
3.4.2 噪声图像 31
3.5 本章小结 33
第 4 章 基于相位一致性的图像边缘检测 34
4.1 图像的相位信息 34
4.2 相位一致性定义 36
4.2.1 基本概念 36
4.2.2 局部能量模型 37
4.2.3 局部能量的估计 40
4.3 基于log Gabor小波的相位一致性计算 41
4.3.1 Gabor函数 41
4.3.2 log Gabor函数 43
4.3.3 改进的相位一致性算法 44
4.4 二维相位一致性计算 45
4.5 基于相位一致性的边缘检测算法 46
4.6 仿真实验 46
4.6.1 无噪声图像 46
4.6.2 噪声图像 47
4.7 本章小结 48
第 5 章 基于分数阶傅里叶变换的图像边缘检测 50
5.1 分数阶傅里叶变换的发展概况 50
5.2 分数阶傅里叶变换的概念 51
5.2.1 基本原理 51
5.2.2 基本性质 52
5.2.3 二维分数阶傅里叶变换 53
5.3 离散分数阶傅里叶变换及其快速算法 54
5.4 基于分数阶傅里叶变换的边缘检测算法 56
5.5 仿真实验 57
5.5.1 无噪声图像 57
5.5.2 噪声图像 59
5.6 本章小结 60
第 6 章 总结与展望 62
参考文献 64
致 谢 68
附 录 69
附录A 源代码 69
附录B 英文文献翻译 87
第 1 章 绪论
1.1 图像边缘检测概论
图像边缘检测作为数字图像处理中的基本问题，对建立在此基础之上的各类研究领域都具有重要的意义。边缘是图像的基本特质，保留着大量信息，可为目标提取提供重要依据。图像边缘存在于图像的不平稳现象当中，即信号的突变点处，包括目标内部、目标之间以及目标与背景之间不同区域的分界线[1]。图像边缘检测正是通过提取图像中的某种特征在不同位置的变化与差异进而确定边缘的位置，剔除大量的次要信息，保留目标的主要结构与特征。
图像中的大部分边缘是由数个像素点的灰度突变构成的，这类边缘可以较为方便的检测出来；但还有一些边缘是灰度变化较为缓慢的模糊边缘，若使用与检测锐边相同的方法来处理则很难得到较好的效果。此外，实际图像中还不可避免的包含着一定强度的噪声，这些噪声在图像中也表现为灰度的突变，造成与实际边缘的混淆，导致边缘检测的效果变差。因此，如何将锐边与模糊边缘同时检测出来，同时排除噪声的干扰，是图像边缘检测的主要难题。
图像边缘检测技术已经有了一定的发展，主要分为经典算法与新型算法两类。经典算法是通过构造微分掩膜算子来寻找灰度突变的像素点，从而确定边缘的位置：如一阶微分的Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子以及二阶微分的Laplacian算子与LOG算子，它们通过寻找图像信号一阶导数的极值点或二阶导数的过零点来进行边缘识别。与其他算子不同，Canny算子是基于三条最优化准则（最大信噪比准则、最优过零点定位准则和多峰值相应准则[2]）而提出的边缘检测算子，在图像进行梯度运算之后又对幅值进行了非极大值抑制以及双阈值分割[2][3]，虽然效果并不一定最优，但对图像边缘检测技术之后的发展带来了很多启示。
新型算法是指通过新型的信号处理技术实现对边缘的提取与检测，如本文主要介绍的四种方法：分数阶微分法、小波变换法、相位一致性法以及分数阶傅里叶变换法。分数阶微分将微分运算从整数阶推广到了分数阶，可以更好的挖掘图像的细节信息；小波变换具有“数学显微镜”的称号，可以在任意尺度下对图像进行描述；相位一致性是一种新的图像特质，可为边缘识别提供新的依据；分数阶傅里叶变换还在发展当中，本文将针对其运用到图像边缘检测中的有效性进行试验。此外，新型算法还有数学形态学方法[4]等。
1.2 图像边缘的定义
图像边缘即我们通常所说的轮廓，它蕴含着图像的大部分特征。在现实生活中，人们往往可以仅通过一个目标的轮廓就识别出该目标，这种现象充分证明了轮廓——即图像边缘对图像识别的重要性。在数字图像处理技术中，通常用像素灰度的变化来定义图像边缘。图像边缘在信号领域内表现为信号的奇异化，也即像素灰度的突变所导致的信号局部断续现象。
图 1 1 阶梯状边缘与屋脊状边缘及其一、二阶导数
根据信号奇异化的种类我们可以将边缘分为两类：阶梯状边缘与屋脊状边缘。两类边缘的简化模型及其一、二阶导数如图 1 1所示（其中第一行为理想模型，第二行为实际模型）。在理想模型中，阶梯状边缘表现为灰度信号的在某处的跳变，屋脊状边缘表现为灰度信号的极值。因此，阶梯状边缘等效于灰度信号一阶导数的极值点或二阶导数的过零点，而屋脊状边缘等效于灰度信号一阶导数的过零点或二阶导数的极值点。
1.3 研究意义
图像边缘检测在现实生活中有广泛的应用，如图像压缩、人脸识别、图像测量、卫星遥感技术甚至精确制导等。这些智能系统的一切行为都需要建立在对现实情况的识别和理解之上，而对现实情况的描述则多以图片、视频等多媒体的形式实现。图像边缘检测可以将一幅图像中的信息以最简洁的方式表现出来，剔除图像中大量的可以认为无用的信息，只保留其主要框架结构，为接下来的目标识别、定位等相应的二次处理提供依据。因此，图像边缘检测技术在一定程度上起到了底层支撑作用。
在图像边缘检测经典算法的基础之上，分析几种新型边缘检测算法的原理，并分别通过仿真实验得到检测效果，观察不同方法的不同特性，可以帮助人们全面认识边缘检测技术并且寻找新的算法思路，同时也可以指导人们在实际应用中针对不同的实际情况选择合适的边缘检测算法。
1.4 本文章节安排
第1章主要介绍了图像边缘检测的重要性、基本概念、主要问题以及发展状况。同时阐明了该项研究的重要意义，并且对经典边缘检测算子进行了简要的说明。此外，该章节还对图像边缘的定义做出了解释，为下文的理论推导打下基础。
第2章系统介绍了分数阶微分的数学理论并将其成功应用到了图像边缘检测当中。文中给出了分数阶微分的三种数学定义，并将分数阶微分与整数阶微分对比，得出了分数阶微分可以得到更加细腻、清晰、完整、连续的边缘检测结果的结论。最后，从分数阶微分的GL定义出发，构造出分数阶差分掩膜算子，并进行了仿真实验，得出该算法可以有效提取出图像的细节信息但鲁棒性差的结论。
第3章系统阐述了小波变换的基本原理，并利用二进小波进行了边缘检测处理。文中由傅里叶变换的局限性引出小波变换的概念，接着介绍了连续与离散小波变换、多尺度分析以及Mallat塔式快速算法。随后将小波变换与非极大值抑制、双阈值分割的方法相结合，得出了基于小波变换的图像边缘检测算法，并进行了仿真实验，取得了很好的效果。
第4章主要介绍了相位一致性的基本概念，并建立起基于log Gabor小波的改进型相位一致性算法。文中详细说明了图像相位信息的重要性以及提取方法，利用局部能量模型对相位一致性的基本定义进行了简化。仿真实验结果表明，该方法符合人类视觉系统的特性，具有较强的抗噪性能。
第5章主要介绍了分数阶傅里叶变换的基本原理、性质及其离散化的快速算法，并从一维扩展到了二维。文中阐明了分数阶傅里叶变换产生的背景以及重要性，并对其快速算法进行了推导与说明，最终应用于二维图像的处理，得出该算法具有一定边缘提取能力，但抗噪性、鲁棒性较差的结论。
第6章对四种新型的图像边缘检测算法进行了对比性的说明，先后总结了四种方法各自的优、缺点，并针对这些特点以及研究中出现的问题提出了未来的研究方向。
第 2 章 基于分数阶微分的图像边缘检测
2.1 分数阶微积分的发展概况
分数阶微积分是用于计算任意阶次的微积分。分数阶微积分的概念令人感到陌生，但它的历史几乎与整数阶次的微积分一样悠久，二者均为微积分理论的重要组成部分。早在1695年，莱布尼茨在一封写给洛必达的信中提出了这样一个问题：“整数阶导数能否自然的推广到非整数阶导数呢？”洛必达当时也并不清楚这个问题的答案，但是却以问代答的反问了莱布尼茨：“如果求导的次数为分数，那会导致什么样的状况呢？”莱布尼茨在回信中说：“这会导致悖论，但总有一天会得到有用的结果的。”
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