原始对偶法的桁架极限载荷分析(附件)
本文旨在以新的方式说明极限分析下限和上限定理间的强对偶性，极限分析是一种藉由下限或上限定理来找出结构受载荷时的承载能力。本文中利用霍尔德 不等式将下界公式转换为上界公式，彼此间的强对偶性可由对偶定理获得。极限分析中的对偶算法可利用MATLAB 软件演算。本文由桁架案例的分析结果显示，基于原始对偶方法的极限分析结果，通过下界或上界定理，求解具动态硬化性质材料的极限载重与受力模式。利用对偶性质的关系，同时求取上限与下限问的题极值解，因此，对偶性定理揭示了它们之间的强对偶性，有助于塑性力学的分析。关键词 极限分析, 强对偶性, 原始 - 对偶分析, 线性规划
目 录
1 绪论 1
1.1 前言 1
1.2 研究动机和目的 1
1.3 研究方法 2
1.4 论文构架 2
2 文献回顾与理论探讨 2
2.1 文献回顾 2
2.2 理论探讨 3
3 桁架结构极限分析 13
3.1 前言 13
3.2 问题陈述 13
3.3 数学模式建立 13
3.4 分析结果与讨论 14
4 未来展望 23
结论 25
致谢 26
参考文献 27
1 绪论
1.1 前言
极限分析基于下限定理或上限定理以直接估算结构的塑性反应[1]，即极限分析为求取塑性极限负载的直接法，可作为结构设计及安全评估的有理工具。另一方面，连续的极限分析借由屈服强度及变形几何的渐次迭代更新，可应用于求解考虑应变硬化性质的极限承载能力，可视为古典极限分析的延伸，已被广泛的验证为精确及具效率的大变形分析工具。
特别的是，极限分析上限和下限定理可用于夹挤问题的正解。尤其，结合数学规划[2]技巧，极限分析可应用于工程上的复杂问题。另一方面，上限与下限问题陈述的对偶性质，可应用于极限分析的数值计算。然而原始对偶法即为利用对偶性质的关系，以松弛互补性条件为基础去构造一个由原问题产生的限定问题，并通过求解此限定问题去改善解对原问题的可行性。对偶理论是在1947年由美籍匈牙利数学家Jvon诺依曼 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
提出创立[3~4] ，同时求取上限与下限问题的极值解。事实上，原始对偶最佳化问题为一种受瞩目的议题，并已为数学规划关注的核心议题，而应用于塑性力学极限分析更可视为跨领域的结合，其不仅同时计算上限和下限的解，也可迅速收敛得到原始对偶的最佳答案。
1.2 研究的动机和目的
传统的极限分析发展相当完整，近年亦结合有限元素法及数学规划技巧，以提升极限分析的应用性,而基于原始对偶法的极限分析亦引起文献上的一些探讨。然而，原始对偶法与极限分析的结合， 则仍是值得关注的议题。尤其，极限分析突破古典极限分析的设限，可求解考虑应变硬化(strain hardening)[4~5]性质的极限承载能力。其中，常温下钢经过塑性变形后，内部组织将发生变化，晶粒沿着变形最大的方向被拉长，晶格被扭曲，从而提高了材料的抗变形能力。这种现象称为应变硬化或加工硬化[5~6]。
有鉴于此，本研究拟将原始对偶法应用于极限分析，以探讨具应变硬化性质的结构极限承载能力。首先我们将以桁架结构(truss structure)为对象，探讨原始对偶法应用于极限分析问题；另外，本文将以桁架结构为数值案例，其为古典的极限分析问题，惟当考虑桁架各构件具有应变硬化性质，则下限法或上限法无法直接应用于问题的求解。此时连续式极限分析将突破古典极限分析的设限，可顺利地求解考虑桁架各构件具有应变硬化性质[5~6]的极限承载能力。
1.3 研究方法
基于计算机科技及数值分析的进步，许多商业化的数值工具可缩短研究的时间，提升研究效率与成果。本文研究选用MATLAB(2014a)[7]数值分析软件作为主要研究的工具，探讨原始对偶法在极限分析的应用，用于求解具动态硬化性质材料的极限载重与受力模式。原始对偶法是利用对偶性质之关系，同时求取上限与下限问题的极值解，有助于塑性力学的大变形分析。研究过程中将以桁架结构为探讨对象，利用赫尔德不等式[8]，从下界公式建立上界公式。因此，对偶性定理揭示了它们之间的强对偶性。
1.4 论文框架
本论文共分为四章，其内容架构综述如下：
第一章为绪论，其为简单叙述古典极限分析及极限分析，并提及基于原始对偶法的极限分析及极限分析的优势。
第二章为文献回顾与理论探讨，其内容主要在进一步回顾文献上的极限分析的研究，以及如何利用原始对偶法进行极限分析。
第三章为本研究的极限分析数值案例，案例分为桁架五杆均为完美弹塑性，等向硬化，以及混合式硬化。利用原始对偶法进行极限分析，探讨考虑硬化性质材料与边界条件不同时，桁架结构的极限承载能力。
第四章为未来展望，描述本研究未来可继续研究的方向。
2 文献回顾与理论探讨
2.1 文献回顾
基于下限或上限定理的极限分析发展已相当完整，而配合应用数学规划技巧，极限分析可视为最佳化问题，求取结构的极限负载。在极限分析中，塑性问题陈述为下限问题陈述，亦即我们将求取极限负载的原始问题（primal），而问题陈述为寻找满足（力或应力）平衡条件、边界条件及材料组成率的极值问题，其最大的下限解即为所求的极限负载；而借由对偶定理，我们可以推导得对应的上限问题陈述，亦即对偶问题，问题陈述为求取最小上限解的极值问题。理论上，对某一问题而言，由对偶定理得知，我们所得到的最大下限解将等于最小上限解，也宣告所求为一极限负载的正解。
从数学规划角度，我们可以利用原始问题与对偶问题的对偶性质，而发展出原始对偶算法，以同时求得满足主要问题与对偶问题的最佳解。然而，原始对偶法与极限分析的结合，则仍是值得关注的议题。尤其，原始极限分析突破古典极限分析的设限，可求解考虑应变硬化性质的极限承载能力。
2.2 理论探讨
在本文中，我们考虑材料具有硬化性质的结构，分别为完美弹塑性，等向硬化性以及混合式硬化。硬化的定义为应力达到屈服点后，继续加载，有塑形变形，应力升高，然后卸载，这时是弹性的，再加载还是弹性的，直到应力得到卸载时的应力值才开始新的屈服。这种屈服点升高的现象称为硬化。其中，如果材料不发生塑性硬化，即屈服后，后续屈服应力不变化，这样的材料即为完美弹塑性材料。如果材料在一个方向屈服强度提高，在其他方向的屈服强度也同时提高，这样的材料即为等向硬化材料。如果材料在该方向的屈服点提高，其他方向的屈服应力相应下降，比如拉伸的屈服强度提高多少，反向的压缩屈服强度就减少多少，这样的材料即为随动硬化材料。而混合式硬化即为等向硬化和随动硬化的综合。其中对应von Mises屈服准则的非线性混合等向性/动态式硬化的屈服函数表示为
目 录
1 绪论 1
1.1 前言 1
1.2 研究动机和目的 1
1.3 研究方法 2
1.4 论文构架 2
2 文献回顾与理论探讨 2
2.1 文献回顾 2
2.2 理论探讨 3
3 桁架结构极限分析 13
3.1 前言 13
3.2 问题陈述 13
3.3 数学模式建立 13
3.4 分析结果与讨论 14
4 未来展望 23
结论 25
致谢 26
参考文献 27
1 绪论
1.1 前言
极限分析基于下限定理或上限定理以直接估算结构的塑性反应[1]，即极限分析为求取塑性极限负载的直接法，可作为结构设计及安全评估的有理工具。另一方面，连续的极限分析借由屈服强度及变形几何的渐次迭代更新，可应用于求解考虑应变硬化性质的极限承载能力，可视为古典极限分析的延伸，已被广泛的验证为精确及具效率的大变形分析工具。
特别的是，极限分析上限和下限定理可用于夹挤问题的正解。尤其，结合数学规划[2]技巧，极限分析可应用于工程上的复杂问题。另一方面，上限与下限问题陈述的对偶性质，可应用于极限分析的数值计算。然而原始对偶法即为利用对偶性质的关系，以松弛互补性条件为基础去构造一个由原问题产生的限定问题，并通过求解此限定问题去改善解对原问题的可行性。对偶理论是在1947年由美籍匈牙利数学家Jvon诺依曼 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
提出创立[3~4] ，同时求取上限与下限问题的极值解。事实上，原始对偶最佳化问题为一种受瞩目的议题，并已为数学规划关注的核心议题，而应用于塑性力学极限分析更可视为跨领域的结合，其不仅同时计算上限和下限的解，也可迅速收敛得到原始对偶的最佳答案。
1.2 研究的动机和目的
传统的极限分析发展相当完整，近年亦结合有限元素法及数学规划技巧，以提升极限分析的应用性,而基于原始对偶法的极限分析亦引起文献上的一些探讨。然而，原始对偶法与极限分析的结合， 则仍是值得关注的议题。尤其，极限分析突破古典极限分析的设限，可求解考虑应变硬化(strain hardening)[4~5]性质的极限承载能力。其中，常温下钢经过塑性变形后，内部组织将发生变化，晶粒沿着变形最大的方向被拉长，晶格被扭曲，从而提高了材料的抗变形能力。这种现象称为应变硬化或加工硬化[5~6]。
有鉴于此，本研究拟将原始对偶法应用于极限分析，以探讨具应变硬化性质的结构极限承载能力。首先我们将以桁架结构(truss structure)为对象，探讨原始对偶法应用于极限分析问题；另外，本文将以桁架结构为数值案例，其为古典的极限分析问题，惟当考虑桁架各构件具有应变硬化性质，则下限法或上限法无法直接应用于问题的求解。此时连续式极限分析将突破古典极限分析的设限，可顺利地求解考虑桁架各构件具有应变硬化性质[5~6]的极限承载能力。
1.3 研究方法
基于计算机科技及数值分析的进步，许多商业化的数值工具可缩短研究的时间，提升研究效率与成果。本文研究选用MATLAB(2014a)[7]数值分析软件作为主要研究的工具，探讨原始对偶法在极限分析的应用，用于求解具动态硬化性质材料的极限载重与受力模式。原始对偶法是利用对偶性质之关系，同时求取上限与下限问题的极值解，有助于塑性力学的大变形分析。研究过程中将以桁架结构为探讨对象，利用赫尔德不等式[8]，从下界公式建立上界公式。因此，对偶性定理揭示了它们之间的强对偶性。
1.4 论文框架
本论文共分为四章，其内容架构综述如下：
第一章为绪论，其为简单叙述古典极限分析及极限分析，并提及基于原始对偶法的极限分析及极限分析的优势。
第二章为文献回顾与理论探讨，其内容主要在进一步回顾文献上的极限分析的研究，以及如何利用原始对偶法进行极限分析。
第三章为本研究的极限分析数值案例，案例分为桁架五杆均为完美弹塑性，等向硬化，以及混合式硬化。利用原始对偶法进行极限分析，探讨考虑硬化性质材料与边界条件不同时，桁架结构的极限承载能力。
第四章为未来展望，描述本研究未来可继续研究的方向。
2 文献回顾与理论探讨
2.1 文献回顾
基于下限或上限定理的极限分析发展已相当完整，而配合应用数学规划技巧，极限分析可视为最佳化问题，求取结构的极限负载。在极限分析中，塑性问题陈述为下限问题陈述，亦即我们将求取极限负载的原始问题（primal），而问题陈述为寻找满足（力或应力）平衡条件、边界条件及材料组成率的极值问题，其最大的下限解即为所求的极限负载；而借由对偶定理，我们可以推导得对应的上限问题陈述，亦即对偶问题，问题陈述为求取最小上限解的极值问题。理论上，对某一问题而言，由对偶定理得知，我们所得到的最大下限解将等于最小上限解，也宣告所求为一极限负载的正解。
从数学规划角度，我们可以利用原始问题与对偶问题的对偶性质，而发展出原始对偶算法，以同时求得满足主要问题与对偶问题的最佳解。然而，原始对偶法与极限分析的结合，则仍是值得关注的议题。尤其，原始极限分析突破古典极限分析的设限，可求解考虑应变硬化性质的极限承载能力。
2.2 理论探讨
在本文中，我们考虑材料具有硬化性质的结构，分别为完美弹塑性，等向硬化性以及混合式硬化。硬化的定义为应力达到屈服点后，继续加载，有塑形变形，应力升高，然后卸载，这时是弹性的，再加载还是弹性的，直到应力得到卸载时的应力值才开始新的屈服。这种屈服点升高的现象称为硬化。其中，如果材料不发生塑性硬化，即屈服后，后续屈服应力不变化，这样的材料即为完美弹塑性材料。如果材料在一个方向屈服强度提高，在其他方向的屈服强度也同时提高，这样的材料即为等向硬化材料。如果材料在该方向的屈服点提高，其他方向的屈服应力相应下降，比如拉伸的屈服强度提高多少，反向的压缩屈服强度就减少多少，这样的材料即为随动硬化材料。而混合式硬化即为等向硬化和随动硬化的综合。其中对应von Mises屈服准则的非线性混合等向性/动态式硬化的屈服函数表示为
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