有理B样条曲线的Bezier多项式逼近
有理B样条曲线的Bezier多项式逼近[20191209141756]
摘 要
Bezier和B样条曲线是曲线造型中常见的两种曲线，它们在“计算机辅助几何设计”中有着较为广泛的应用。本文将给出有理B样条曲线逼近Bezier多项式的一种方法：在整理有理B样条曲线以及Bezier曲线的相关原理知识点，包括其定义、性质、基函数等的基础上，我们对有理“B样条曲线”和“Bezier曲线”的基函数，进行转换处理，确定需要优化的目标函数；再将此目标函数简化，求得最优解下的控制顶点关系坐标，其中，需要运用范数、最小二乘法、线性规划等方法；最后返回目标函数，直至得出有理B样条曲线转化后的的Bezier曲线表达式。
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关键字:基转化有理B样条曲线有理Bezier多项式范数逼近
目录
1、引言： 1
1.1、背景意义、现状研究： 1
1.2、提出问题： 1
2、相关公式及定义： 2
2.1、有理B样条： 2
2.1.1、N次B样条曲线： 2
2.1.2、N次有理B样条： 2
2.2、有理Bezier： 3
2.2.1、N次Bezier曲线： 3
2.2.2、N次有理Bezier曲线： 4
2.3、范数： 5
2.4、向量 的三种常用范数定义: 5
2.5、B样条曲线 转化 Bezier曲线： 5
3、有理B样条曲线的Bezier多项式逼近： 7
3.1、问题分析： 8
3.2、有理B样条曲线转化有理Bezier曲线： 8
3.3、有理Bezier曲线逼近Bezier多项式： 9
3.4、目标函数建立： 10
3.5、线性规划： 11
结 语 13
致 谢 14
参考文献 15
1、引言：
1.1、背景意义、现状研究：
非均匀有理B样条——NURBS，已经成为利用计算机处理几何信息时用于形状表示、设计和数据交换的工业标准。非均匀有理B样条为解析曲线曲面（如圆锥截线、二次曲面）和自由曲线曲面（如车型车身、船体外围）的表示，提供了系统的数学方法。直至目前为止，非均匀B样条曲线曲面已经发展到更多的精神化、可视化艺体（包括文娱、艺术、电影、雕刻等）中的造型，可以预期这些领域的应用会成为新时代对技术拓展网状连接方面的标志性代表作。
Bezier方法最早是由贝瑟尔提出的，他是1962年法国雷诺汽车公司工程师；十年后，终于得到了一种收到各大飞机公司，包括国际CAD软件下法国达索飞机公司，所亲睐的曲线曲面设计系统。
另外，在《计算机图形学和几何造型》的基础上，在视频游戏、卡通动画、电影长片、艺术建筑、生物医学图像、计算机摄影学等可视化可想象的领域，我们都可以使用几何造型方法设计，而后用计算机图形学的应用显现出来。又如《计算机辅助几何造型技术》中介绍到的，我们已经可以使用伯恩斯坦基函数的性质，可以推得曲线的端点通过特征多边形的首末点，即曲线节点对图形的影响力约束。另外，通过对其几何作图法的研究，也已经可以得到参数多边形顶点的相关基的表达以及性质。
我们所探讨的课题中有理B样条曲线是逼近它们的控制点表示的形状的多项式，但是其曲线本身不能满足大规模工业设计与制作的需要，于是出现了使用B样条技术来克服Bezier的短处。B样条曲线本质上是分片多项式，而且，在B样条中不存在对控制点位置的限制。无论我们将控制点放在哪里，B样条依旧光滑。B样条的局部控制能力使得改变某一控制点只引起此控制点邻域的形状，让我们更简洁有效的修改所需要的图形。所以本课题，我们目的是，使有理B样条曲线多项式能够使用更简便的方法表示，于是选择Bezier多项式表示，并且最后使用简单的线性逼近。概括而言我们所应用或者所涉及的主题分为：图形学、造型、数学基础。图形学部分包括控制顶点多边形等顶点模型构造；造型部分主要为曲线理论，包括有理B样条方法、Bezier方法、逼近以及参数表达式；数学基础主要是线性代数。
1.2、提出问题：
如本课题，我们需要将有理B样条曲线逼近Bezier多项式，并要求使用较好的逼近方式。我们现在希望，将有理B样条曲线逼近Bezier多项式进行摄动处理，涉及基函数转化方法，即对其控制点关系函数转换至化简为清晰的线性规划后，使得摄动后的曲线表示为Bezier多项式曲线，使用控制定点关系表示。
2、相关公式及定义：
2.1、有理B样条：
2.1.1、N次B样条曲线：
其中：基函数{ }，a≤u≤b，且
其中：下标i:B样条的基函数 ;下标k：基函数；想要确定第i个k次B样条基 ，必须用到 ， ，...， 共k+2个节点；我们称区间
[ ， ]，为 的支撑区间，即 仅在这个区间内数值不为零。
2.1.2、N次有理B样条：
其中： >0，i=0,1,2...,n为控制多边形的相应顶点 的权因子； 是k次第i个规范的B样条基函数，定义域为节点矢量——U={ ，...， }上；曲线的定义域u =[0,1]。仅n与k相等，此k次非均匀有理B样条曲线即相应的k次有理Bezier曲线。
又令 ，
其中：k次有理基函数 ，
它具有k次规范B样条基函数 的性质：
性质1-1、局部支撑性质 。
定义在整个参数轴上的B样条混合函数 ，仅在区间 上>0，在此区间外均=0，且B样条 由其支撑区间内的全部节点确定；
性质1-2、规范性。 ， ；
性质1-3、仿射不变性；
性质1-4、可微型。
性质1-5、若 =0，则 。若 ，则 。若 ，j i，则 。当 =c时，k次基函数则退化成为k次规范B样条基函数；
性质1-6、B样条曲线是分段多项式；
性质1-7、若节点 的重数 ，n为B样条的次数，而 ，则 样条曲线插值于相应于 的控制点；
性质1-8、可退化性：取节点
，
则 ， ，
即定义在两个极端，且均为k-1重节点的子区间上的k个k阶B样条基必退化为k-1次bernstein基。
2.2、有理Bezier：
2.2.1、N次Bezier曲线：
其中：0 u 1，几何系数{ }称作控制点，
{ }为Bernstein伯恩斯坦多项式基函数，
2.2.2、N次有理Bezier曲线：
其中：0≤u≤1， ={ }和 同前， >0为标量（权因子），
又 是普通标量函数，
在0≤u≤1， 时， ，
其中：有理基函数为
综述所属性质有：
性质2-1、非负性。 ；
性质2-2、规范性。 ；
性质2-3、端点性质。 ；
性质2-4、最大值。 在[0,1]只达到最大值一次；
性质2-5、若 ， ；
性质2-6、几何不变性与放射不变性：曲线仅仅跟控制顶点有关，而跟坐标系的位置和方向无关；
性质2-7、曲线关于参数u和1-u，有对称性质，以 为控制多边形的Bezier曲线，就是以 为控制多边形的Bezier曲线，不过定向相反。
2.3、范数：
设向量 ,现要求 的某个实值函数 满足以下条件:
条件1-1、非负性。 且 ，其中 ；
条件1-2、齐次性。 ( )；
条件1-3、三角不等式:对任意 ,都有: ；
则称 为 上的向量 的范数,一般地可定义为:
, 其中
2.4、向量 的三种常用范数定义:
定义1-1、向量的“2--范数”:
定义1-2、向量的“ --范数”:
定义1-3、向量的“1--范数”:
2.5、B样条曲线 转化 Bezier曲线：
假设，此k阶B样条如此所示：
，
其中： ， 为节点向量的；同时，设在 中，只有互不相同的 个数，它们分别是：
；
定理一：假设，节点向量 ，其中 ， ， 。 为非减序列，且节点重数l
它的充要条件是：
要将B样条曲线 化成Bezier曲线 ，把公式中每一个节点 变成k-1重节点，再确定 ，
S.t ：
,
其中：
这里 为k-1次bernstein伯恩斯坦多项式基函数。
设n=k-1， 为U中的l重节点，且l
记这时的 为 ，现在将 作为新的节点分为k-l+1次，并加入到节点的向量，得
，
其中： ，
是定义 在上的基。
其中，令 。
此时，可使 成为k-1重节点， 是l(
记这时候的 为 ，并且将 作为新节点，共分k-l-1次，再加入节点向量，得：
其中：
式中
S.t，B样条曲线方程转化为Bezier曲线方程。
3、有理B样条曲线的Bezier多项式逼近：
3.1、问题分析：
B样条曲线与Bezier曲线由许多共同特点，它们都是由其混合函数即基函数所决定的，它们基函数的不同表现形式使之表示出来的曲线不同。从Bezier曲线和B样条曲线的定义以及性质，我们可以知道，从某种意义上来说，Bezier曲线是B样条曲线的特殊情况。因此，它们的表达形式必然可以互相转化。
构造n次的有理B样条曲线，进行齐次化，仿射操作为对应的有理Bezier曲线。针对新转换的有理Bezier曲线进行扰动使其为Bezier多项式曲线，再确定需要优化的目标函数；再将此目标函数简化，求得最优解下的控制顶点关系坐标。其中，需要运用范数、最小二乘法等方法，将扰动的函数的指定范数尽可能取最小。对于目标函数简化，只需要求解相应控制顶点关系函数，将有理B样条曲线的最佳逼近问题归结为线性规划问题。
3.2、有理B样条曲线转化有理Bezier曲线：
（1）设：齐次后的有理B样条曲线 ；
齐次后的有理Bezier曲线 ；
则，需要我们对B样条曲线进行有理化、齐次化至 ，再仿射为三维空间：
由 ，得到，齐次化有理B样条曲线
其中： ；
，表示有理B样条曲线仿射后的三维节点。
利用2.5中的转换方式，欲将有理化齐次后B样条曲线转化为对应有理化齐次化的有理Bezier曲线 ：
其中： ；
，表示有理Bezier曲线仿射后的三维节点。
令 ， ，则得到齐次后的有理Bezier曲线：
（2）还原齐次前的的有理Bezier曲线 ，则得到：
，
其中： ， ， 。
3.3、有理Bezier曲线逼近Bezier多项式：
通过给定的k-1次有理Bezier曲线 ，升阶m次可得到：
， ，
其中： ，i=0,1,...,k-1+m
, i=0,1,...,k-1+m
对 做有理摄动：
，
我们假设，摄动后的有理曲线 为一个m次Bezier多项式，即：
3.4、目标函数建立：
以上构造m次有理Bezier多项式，现在希望得到要求在某种意义下的范数尽可能达到最小，本文中我们选取：
作为优化目标函数，代入 ， 代入得到：
代入 ， ：
化简得到：
比较上式，得到系数：
，
3.5、线性规划：
析：要得到逼近的Bezier多项式 ，由上可知，只要当 最小时，求出 即可。而 由 确定的，又 是与 有关的，故问题关键在于求出 。
即：
这样我们的目标将变成求解 使得f取最小。
摘 要
Bezier和B样条曲线是曲线造型中常见的两种曲线，它们在“计算机辅助几何设计”中有着较为广泛的应用。本文将给出有理B样条曲线逼近Bezier多项式的一种方法：在整理有理B样条曲线以及Bezier曲线的相关原理知识点，包括其定义、性质、基函数等的基础上，我们对有理“B样条曲线”和“Bezier曲线”的基函数，进行转换处理，确定需要优化的目标函数；再将此目标函数简化，求得最优解下的控制顶点关系坐标，其中，需要运用范数、最小二乘法、线性规划等方法；最后返回目标函数，直至得出有理B样条曲线转化后的的Bezier曲线表达式。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:基转化有理B样条曲线有理Bezier多项式范数逼近
目录
1、引言： 1
1.1、背景意义、现状研究： 1
1.2、提出问题： 1
2、相关公式及定义： 2
2.1、有理B样条： 2
2.1.1、N次B样条曲线： 2
2.1.2、N次有理B样条： 2
2.2、有理Bezier： 3
2.2.1、N次Bezier曲线： 3
2.2.2、N次有理Bezier曲线： 4
2.3、范数： 5
2.4、向量 的三种常用范数定义: 5
2.5、B样条曲线 转化 Bezier曲线： 5
3、有理B样条曲线的Bezier多项式逼近： 7
3.1、问题分析： 8
3.2、有理B样条曲线转化有理Bezier曲线： 8
3.3、有理Bezier曲线逼近Bezier多项式： 9
3.4、目标函数建立： 10
3.5、线性规划： 11
结 语 13
致 谢 14
参考文献 15
1、引言：
1.1、背景意义、现状研究：
非均匀有理B样条——NURBS，已经成为利用计算机处理几何信息时用于形状表示、设计和数据交换的工业标准。非均匀有理B样条为解析曲线曲面（如圆锥截线、二次曲面）和自由曲线曲面（如车型车身、船体外围）的表示，提供了系统的数学方法。直至目前为止，非均匀B样条曲线曲面已经发展到更多的精神化、可视化艺体（包括文娱、艺术、电影、雕刻等）中的造型，可以预期这些领域的应用会成为新时代对技术拓展网状连接方面的标志性代表作。
Bezier方法最早是由贝瑟尔提出的，他是1962年法国雷诺汽车公司工程师；十年后，终于得到了一种收到各大飞机公司，包括国际CAD软件下法国达索飞机公司，所亲睐的曲线曲面设计系统。
另外，在《计算机图形学和几何造型》的基础上，在视频游戏、卡通动画、电影长片、艺术建筑、生物医学图像、计算机摄影学等可视化可想象的领域，我们都可以使用几何造型方法设计，而后用计算机图形学的应用显现出来。又如《计算机辅助几何造型技术》中介绍到的，我们已经可以使用伯恩斯坦基函数的性质，可以推得曲线的端点通过特征多边形的首末点，即曲线节点对图形的影响力约束。另外，通过对其几何作图法的研究，也已经可以得到参数多边形顶点的相关基的表达以及性质。
我们所探讨的课题中有理B样条曲线是逼近它们的控制点表示的形状的多项式，但是其曲线本身不能满足大规模工业设计与制作的需要，于是出现了使用B样条技术来克服Bezier的短处。B样条曲线本质上是分片多项式，而且，在B样条中不存在对控制点位置的限制。无论我们将控制点放在哪里，B样条依旧光滑。B样条的局部控制能力使得改变某一控制点只引起此控制点邻域的形状，让我们更简洁有效的修改所需要的图形。所以本课题，我们目的是，使有理B样条曲线多项式能够使用更简便的方法表示，于是选择Bezier多项式表示，并且最后使用简单的线性逼近。概括而言我们所应用或者所涉及的主题分为：图形学、造型、数学基础。图形学部分包括控制顶点多边形等顶点模型构造；造型部分主要为曲线理论，包括有理B样条方法、Bezier方法、逼近以及参数表达式；数学基础主要是线性代数。
1.2、提出问题：
如本课题，我们需要将有理B样条曲线逼近Bezier多项式，并要求使用较好的逼近方式。我们现在希望，将有理B样条曲线逼近Bezier多项式进行摄动处理，涉及基函数转化方法，即对其控制点关系函数转换至化简为清晰的线性规划后，使得摄动后的曲线表示为Bezier多项式曲线，使用控制定点关系表示。
2、相关公式及定义：
2.1、有理B样条：
2.1.1、N次B样条曲线：
其中：基函数{ }，a≤u≤b，且
其中：下标i:B样条的基函数 ;下标k：基函数；想要确定第i个k次B样条基 ，必须用到 ， ，...， 共k+2个节点；我们称区间
[ ， ]，为 的支撑区间，即 仅在这个区间内数值不为零。
2.1.2、N次有理B样条：
其中： >0，i=0,1,2...,n为控制多边形的相应顶点 的权因子； 是k次第i个规范的B样条基函数，定义域为节点矢量——U={ ，...， }上；曲线的定义域u =[0,1]。仅n与k相等，此k次非均匀有理B样条曲线即相应的k次有理Bezier曲线。
又令 ，
其中：k次有理基函数 ，
它具有k次规范B样条基函数 的性质：
性质1-1、局部支撑性质 。
定义在整个参数轴上的B样条混合函数 ，仅在区间 上>0，在此区间外均=0，且B样条 由其支撑区间内的全部节点确定；
性质1-2、规范性。 ， ；
性质1-3、仿射不变性；
性质1-4、可微型。
性质1-5、若 =0，则 。若 ，则 。若 ，j i，则 。当 =c时，k次基函数则退化成为k次规范B样条基函数；
性质1-6、B样条曲线是分段多项式；
性质1-7、若节点 的重数 ，n为B样条的次数，而 ，则 样条曲线插值于相应于 的控制点；
性质1-8、可退化性：取节点
，
则 ， ，
即定义在两个极端，且均为k-1重节点的子区间上的k个k阶B样条基必退化为k-1次bernstein基。
2.2、有理Bezier：
2.2.1、N次Bezier曲线：
其中：0 u 1，几何系数{ }称作控制点，
{ }为Bernstein伯恩斯坦多项式基函数，
2.2.2、N次有理Bezier曲线：
其中：0≤u≤1， ={ }和 同前， >0为标量（权因子），
又 是普通标量函数，
在0≤u≤1， 时， ，
其中：有理基函数为
综述所属性质有：
性质2-1、非负性。 ；
性质2-2、规范性。 ；
性质2-3、端点性质。 ；
性质2-4、最大值。 在[0,1]只达到最大值一次；
性质2-5、若 ， ；
性质2-6、几何不变性与放射不变性：曲线仅仅跟控制顶点有关，而跟坐标系的位置和方向无关；
性质2-7、曲线关于参数u和1-u，有对称性质，以 为控制多边形的Bezier曲线，就是以 为控制多边形的Bezier曲线，不过定向相反。
2.3、范数：
设向量 ,现要求 的某个实值函数 满足以下条件:
条件1-1、非负性。 且 ，其中 ；
条件1-2、齐次性。 ( )；
条件1-3、三角不等式:对任意 ,都有: ；
则称 为 上的向量 的范数,一般地可定义为:
, 其中
2.4、向量 的三种常用范数定义:
定义1-1、向量的“2--范数”:
定义1-2、向量的“ --范数”:
定义1-3、向量的“1--范数”:
2.5、B样条曲线 转化 Bezier曲线：
假设，此k阶B样条如此所示：
，
其中： ， 为节点向量的；同时，设在 中，只有互不相同的 个数，它们分别是：
；
定理一：假设，节点向量 ，其中 ， ， 。 为非减序列，且节点重数l
它的充要条件是：
要将B样条曲线 化成Bezier曲线 ，把公式中每一个节点 变成k-1重节点，再确定 ，
S.t ：
,
其中：
这里 为k-1次bernstein伯恩斯坦多项式基函数。
设n=k-1， 为U中的l重节点，且l
记这时的 为 ，现在将 作为新的节点分为k-l+1次，并加入到节点的向量，得
，
其中： ，
是定义 在上的基。
其中，令 。
此时，可使 成为k-1重节点， 是l(
记这时候的 为 ，并且将 作为新节点，共分k-l-1次，再加入节点向量，得：
其中：
式中
S.t，B样条曲线方程转化为Bezier曲线方程。
3、有理B样条曲线的Bezier多项式逼近：
3.1、问题分析：
B样条曲线与Bezier曲线由许多共同特点，它们都是由其混合函数即基函数所决定的，它们基函数的不同表现形式使之表示出来的曲线不同。从Bezier曲线和B样条曲线的定义以及性质，我们可以知道，从某种意义上来说，Bezier曲线是B样条曲线的特殊情况。因此，它们的表达形式必然可以互相转化。
构造n次的有理B样条曲线，进行齐次化，仿射操作为对应的有理Bezier曲线。针对新转换的有理Bezier曲线进行扰动使其为Bezier多项式曲线，再确定需要优化的目标函数；再将此目标函数简化，求得最优解下的控制顶点关系坐标。其中，需要运用范数、最小二乘法等方法，将扰动的函数的指定范数尽可能取最小。对于目标函数简化，只需要求解相应控制顶点关系函数，将有理B样条曲线的最佳逼近问题归结为线性规划问题。
3.2、有理B样条曲线转化有理Bezier曲线：
（1）设：齐次后的有理B样条曲线 ；
齐次后的有理Bezier曲线 ；
则，需要我们对B样条曲线进行有理化、齐次化至 ，再仿射为三维空间：
由 ，得到，齐次化有理B样条曲线
其中： ；
，表示有理B样条曲线仿射后的三维节点。
利用2.5中的转换方式，欲将有理化齐次后B样条曲线转化为对应有理化齐次化的有理Bezier曲线 ：
其中： ；
，表示有理Bezier曲线仿射后的三维节点。
令 ， ，则得到齐次后的有理Bezier曲线：
（2）还原齐次前的的有理Bezier曲线 ，则得到：
，
其中： ， ， 。
3.3、有理Bezier曲线逼近Bezier多项式：
通过给定的k-1次有理Bezier曲线 ，升阶m次可得到：
， ，
其中： ，i=0,1,...,k-1+m
, i=0,1,...,k-1+m
对 做有理摄动：
，
我们假设，摄动后的有理曲线 为一个m次Bezier多项式，即：
3.4、目标函数建立：
以上构造m次有理Bezier多项式，现在希望得到要求在某种意义下的范数尽可能达到最小，本文中我们选取：
作为优化目标函数，代入 ， 代入得到：
代入 ， ：
化简得到：
比较上式，得到系数：
，
3.5、线性规划：
析：要得到逼近的Bezier多项式 ，由上可知，只要当 最小时，求出 即可。而 由 确定的，又 是与 有关的，故问题关键在于求出 。
即：
这样我们的目标将变成求解 使得f取最小。
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