有理三角Bezier曲面片和有理矩形曲面片的转化
有理三角Bezier曲面片和有理矩形曲面片的转化[20191209140647]
摘 要
本文首先给出有理三角Bezier曲面片和有理矩形曲面片的定义，然后把两种曲面的多项式表达式放在齐次坐标系中形成一个四维空间的多项式。再利用公式推导与转换，找出两种曲面片的控制顶点和权之间互相表示的表达公式，就可以实现有理三角Bezier曲面片和有理矩形曲面片之间的互相转化，最后给出结论。
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关键字:有理矩形曲面片有理三角Bezier曲面片转化
目 录
1.引言 1
2.Bezier曲面 2
2.1矩形域上的有理Bezier曲面片的定义 2
2.2三角域上的有理Bezier曲面片的定义 2
3.有理矩形曲面片转化为有理三角Bezier曲面片 4
4.有理三角Bezier曲面片转化为有理矩形曲面片 9
5.结论 14
参考文献 15
致谢 16
1.引言
曲面曲线造型是计算机图形学和计算机辅助几何设计中非常重要的内容，Bezier曲面的主要两种表现形式是在三角域和矩形域上的曲面片，这两种曲面都具有彷射不变性、凸包性等很多好的性质，经常被应用于汽车、飞机、模具、大规模集成电路等设计上。在[1]和[2]中已经有很多关于三角域和矩形域上曲面片相互转化的问题了。而本文主要研究有理三角Bezier曲面片和有理矩形曲面片之间的相互转化，通过曲面片控制点和权之间的互相显示表达实现两种曲面片的互相转化，然后给出结论。
2.Bezier曲面
Bezier曲面片主要有两种标准形式：三角域上的Bezier曲面片和矩形域上的Bezier曲面片[5]。
2.1矩形域上的有理Bezier曲面片的定义
定义1 设 为 个空间点向量，那么 次有理Bezier曲面可以表示为
，
式中， 为矩形有理曲面片的控制顶点， 为相应的权因子， 为Bernstein基函数
2.2三角域上的有理Bezier曲面片的定义
定义2 给定三角形 及其上的一点 ， 的顶点依逆时针方向记为 则
称为点 关于坐标三角形 的面积坐标或者重心坐标。规定 的顶点依逆（顺）时针方向排列时其有向面积为面积值乘以 ，记为 。（详见[3]）
定义3 设 为定义在三角形 的 次三角有理Bezier曲面片，则有
其中， 为有理三角Bezier曲面片的控制顶点， 为相应的权因子。 为Bernstein基函数。
且
三角形 的顶点分别为 ， 。点 关于三角形 的重心坐标为 ，且 和 之间有关系如下：
（1） （详见[4]）
3.有理矩形曲面片转化为有理三角Bezier曲面片
在齐次坐标系下
有理矩形曲面片 可以表示为
=
其中，令
有理三角Bezier曲面片可表示为
其中，令
如果能够用有理矩形曲面片的控制顶点和权 表示有理三角Bezier曲面片的控制顶点和权 ，那么就可以把有理矩形曲面片转化为有理三角Bezier曲面片了。
为方便下文证明，先证明以下引理
引理1[9]： 设 ，则有
证明：
定理1 有理矩形曲面片 ，在齐次坐标系下，可以转化为有理三角Bezier曲面片，当 可以表示
其中
证明：
由（1）有
代入 得
令
则上式变为
（2）
先计算
记 ， ，则上式可变为
记
则上式
故有
同理也可得到
则（2）式
（3）
再由引理知
则（3）式
（4）
记 ，
则（4）式
再回到曲面的多项表达式
即当
所以，用有理矩形曲面片的控制顶点和权 表示出了有理三角Bezier曲面片的控制顶点和权 ，就可以将有理矩形曲面片转化为有理三角Bezier曲面片了。
4.有理三角Bezier曲面片转化为有理矩形曲面片
在齐次坐标系下只需用有理三角Bezier曲面片的控制顶点和权 表示出有理矩形曲面片的控制顶点和权 即可。
引理2[4]
证明：
因为
所以
定理2 有理三角Bezier曲面片可以转化为有理矩形Bezier曲面片，当有理三角 曲面片的控制顶点和权 可以把有理矩形Bezier曲面片的控制顶点和权 表示出来：
其中
， ， ，
证明：
由（1）得
其中 ， ， ，
从而
先计算
记
，则上式
即有
同理
（ ）
记
则上式
即有
则（5）式
由引理2 上式
=
从而
所以，（6）式
再回到曲面的多项表达式
即当
即得到用 来表示 的表达式，将将有理三角Bezier曲面片转化为有理矩形Bezier曲面片。
5.结论
本文给出两种曲面的定义之后，进行了公式转换和推导，找到两种曲面片在齐次坐标系下控制顶点和权之间的相互表达关系。通过用有理矩形曲面片的控制顶点和权来显示表达出有理三角Bezier曲面片的控制顶点和权来实现有理矩形曲面片向有理三角Bezier曲面片的转化；通过用有理三角Bezier曲面片的控制顶点和权来显示表达有理矩形曲面片的控制顶点和权来实现有理三角Bezier曲面片向有理矩形曲面片的转化。
参考文献
[1] Goldman R, Filip D.Conversion from Bezier rectangles to Bezier triangles[J].Computer Aided Design,1987,19(1):25-27
[2] Hu S M.Conversion of a triangular Bezier patch into three rectangular Bezier patches[J].Computer Design,1996,13(3):219-226.
[3] 王国谨，汪国沼，郑建民。计算机辅助几何设计[M].北京: 高等教育-施普林格出版社，2001
[4] Goldman R. Pyramid Algorithms: A Dynamic Programming Approach to Curve and Surface for Geometric Modeling[M]. New York: Elsevier,2003.
[5] 金字塔算法——曲线曲面几何模型的动态编程处理/（美）戈德曼（Goldman,R）著；吴宗敏等译.-北京：电子工业出版社，2004.1
[6] Loop C T, Derose T D. A multisided generalization of Bezier surface[J]. ACM Transaction on Graphics, 1989,8(3):204-234.
[7] WANG Jun. Conversation between Bezier rectangles and Bezier triangles[J]. Mathematica Numberica Sinica, 1993,15(1):5-15.
王俊. Bezier曲面在三角域和矩形域上的互换[J]. 计算数学，1993,15(1):5-15.
[8] LIU Z P, WANG R H. Conversation between triangular and rectangular Bezier surfaces[J]. Journal of Mathematical Research and Exposition, 2006,26(3):525-530.
刘志平，王仁宏. 三角Bezier曲面和四边Beizer曲面之间的相互转化[J].数学研究与评论，2006， 26(3): 525-530.
[9] 李秀英，童伟华，冯玉瑜。有理S曲面片与有理三角Bezier曲面片的相互转换。中国科学技术大学数学系，2008.2.
致谢
关于本篇论文的完成，首先要感谢我的导师李秀英老师的耐心指导，李老师的帮助下，才明白这篇论文的整体思路以及解决办法。然后要感谢周围同学的帮助，才顺利修改了很多小错误。
摘 要
本文首先给出有理三角Bezier曲面片和有理矩形曲面片的定义，然后把两种曲面的多项式表达式放在齐次坐标系中形成一个四维空间的多项式。再利用公式推导与转换，找出两种曲面片的控制顶点和权之间互相表示的表达公式，就可以实现有理三角Bezier曲面片和有理矩形曲面片之间的互相转化，最后给出结论。
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关键字:有理矩形曲面片有理三角Bezier曲面片转化
目 录
1.引言 1
2.Bezier曲面 2
2.1矩形域上的有理Bezier曲面片的定义 2
2.2三角域上的有理Bezier曲面片的定义 2
3.有理矩形曲面片转化为有理三角Bezier曲面片 4
4.有理三角Bezier曲面片转化为有理矩形曲面片 9
5.结论 14
参考文献 15
致谢 16
1.引言
曲面曲线造型是计算机图形学和计算机辅助几何设计中非常重要的内容，Bezier曲面的主要两种表现形式是在三角域和矩形域上的曲面片，这两种曲面都具有彷射不变性、凸包性等很多好的性质，经常被应用于汽车、飞机、模具、大规模集成电路等设计上。在[1]和[2]中已经有很多关于三角域和矩形域上曲面片相互转化的问题了。而本文主要研究有理三角Bezier曲面片和有理矩形曲面片之间的相互转化，通过曲面片控制点和权之间的互相显示表达实现两种曲面片的互相转化，然后给出结论。
2.Bezier曲面
Bezier曲面片主要有两种标准形式：三角域上的Bezier曲面片和矩形域上的Bezier曲面片[5]。
2.1矩形域上的有理Bezier曲面片的定义
定义1 设 为 个空间点向量，那么 次有理Bezier曲面可以表示为
，
式中， 为矩形有理曲面片的控制顶点， 为相应的权因子， 为Bernstein基函数
2.2三角域上的有理Bezier曲面片的定义
定义2 给定三角形 及其上的一点 ， 的顶点依逆时针方向记为 则
称为点 关于坐标三角形 的面积坐标或者重心坐标。规定 的顶点依逆（顺）时针方向排列时其有向面积为面积值乘以 ，记为 。（详见[3]）
定义3 设 为定义在三角形 的 次三角有理Bezier曲面片，则有
其中， 为有理三角Bezier曲面片的控制顶点， 为相应的权因子。 为Bernstein基函数。
且
三角形 的顶点分别为 ， 。点 关于三角形 的重心坐标为 ，且 和 之间有关系如下：
（1） （详见[4]）
3.有理矩形曲面片转化为有理三角Bezier曲面片
在齐次坐标系下
有理矩形曲面片 可以表示为
=
其中，令
有理三角Bezier曲面片可表示为
其中，令
如果能够用有理矩形曲面片的控制顶点和权 表示有理三角Bezier曲面片的控制顶点和权 ，那么就可以把有理矩形曲面片转化为有理三角Bezier曲面片了。
为方便下文证明，先证明以下引理
引理1[9]： 设 ，则有
证明：
定理1 有理矩形曲面片 ，在齐次坐标系下，可以转化为有理三角Bezier曲面片，当 可以表示
其中
证明：
由（1）有
代入 得
令
则上式变为
（2）
先计算
记 ， ，则上式可变为
记
则上式
故有
同理也可得到
则（2）式
（3）
再由引理知
则（3）式
（4）
记 ，
则（4）式
再回到曲面的多项表达式
即当
所以，用有理矩形曲面片的控制顶点和权 表示出了有理三角Bezier曲面片的控制顶点和权 ，就可以将有理矩形曲面片转化为有理三角Bezier曲面片了。
4.有理三角Bezier曲面片转化为有理矩形曲面片
在齐次坐标系下只需用有理三角Bezier曲面片的控制顶点和权 表示出有理矩形曲面片的控制顶点和权 即可。
引理2[4]
证明：
因为
所以
定理2 有理三角Bezier曲面片可以转化为有理矩形Bezier曲面片，当有理三角 曲面片的控制顶点和权 可以把有理矩形Bezier曲面片的控制顶点和权 表示出来：
其中
， ， ，
证明：
由（1）得
其中 ， ， ，
从而
先计算
记
，则上式
即有
同理
（ ）
记
则上式
即有
则（5）式
由引理2 上式
=
从而
所以，（6）式
再回到曲面的多项表达式
即当
即得到用 来表示 的表达式，将将有理三角Bezier曲面片转化为有理矩形Bezier曲面片。
5.结论
本文给出两种曲面的定义之后，进行了公式转换和推导，找到两种曲面片在齐次坐标系下控制顶点和权之间的相互表达关系。通过用有理矩形曲面片的控制顶点和权来显示表达出有理三角Bezier曲面片的控制顶点和权来实现有理矩形曲面片向有理三角Bezier曲面片的转化；通过用有理三角Bezier曲面片的控制顶点和权来显示表达有理矩形曲面片的控制顶点和权来实现有理三角Bezier曲面片向有理矩形曲面片的转化。
参考文献
[1] Goldman R, Filip D.Conversion from Bezier rectangles to Bezier triangles[J].Computer Aided Design,1987,19(1):25-27
[2] Hu S M.Conversion of a triangular Bezier patch into three rectangular Bezier patches[J].Computer Design,1996,13(3):219-226.
[3] 王国谨，汪国沼，郑建民。计算机辅助几何设计[M].北京: 高等教育-施普林格出版社，2001
[4] Goldman R. Pyramid Algorithms: A Dynamic Programming Approach to Curve and Surface for Geometric Modeling[M]. New York: Elsevier,2003.
[5] 金字塔算法——曲线曲面几何模型的动态编程处理/（美）戈德曼（Goldman,R）著；吴宗敏等译.-北京：电子工业出版社，2004.1
[6] Loop C T, Derose T D. A multisided generalization of Bezier surface[J]. ACM Transaction on Graphics, 1989,8(3):204-234.
[7] WANG Jun. Conversation between Bezier rectangles and Bezier triangles[J]. Mathematica Numberica Sinica, 1993,15(1):5-15.
王俊. Bezier曲面在三角域和矩形域上的互换[J]. 计算数学，1993,15(1):5-15.
[8] LIU Z P, WANG R H. Conversation between triangular and rectangular Bezier surfaces[J]. Journal of Mathematical Research and Exposition, 2006,26(3):525-530.
刘志平，王仁宏. 三角Bezier曲面和四边Beizer曲面之间的相互转化[J].数学研究与评论，2006， 26(3): 525-530.
[9] 李秀英，童伟华，冯玉瑜。有理S曲面片与有理三角Bezier曲面片的相互转换。中国科学技术大学数学系，2008.2.
致谢
关于本篇论文的完成，首先要感谢我的导师李秀英老师的耐心指导，李老师的帮助下，才明白这篇论文的整体思路以及解决办法。然后要感谢周围同学的帮助，才顺利修改了很多小错误。
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