浅谈考研数学中求函数极限的方法和技巧院系数学与统计学院
浅谈考研数学中求函数极限的方法和技巧院系数学与统计学院[20191209140854]
摘 要
在考研数学中,极限思想贯穿于始末,求极限的方法也显得至关重要。本文主要针对考研数学探讨了一些主要的求解函数极限的技巧和方法，并且对每一种方法的特点及注意事项都作出详细的说明，同时，通过例题的实例分析，让读者能够更加清晰，灵活地记住各类公式定理以及解题习惯；文中主要介绍了无穷小因子替换，利用两个重要极限、函数定义法、函数连续性、夹逼准则、洛比达法则、泰勒公式、定积分等一些列求极限的方法。另外，在部分函数极限求值过程中，也指出了解题过程中出现的一些常见问题。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:函数极限等价无穷小因子定积分洛必达法则
目 录
1.引言 1
1.1研究的目的和意义 1
1.2研究的思路和方法 1
2.求函数极限的方法 2
2.1等价无穷小因子替换法 2
2.2洛必达法则求极限 3
2.2.1洛必达法则 3
2.2.2洛必达法则的运用 4
2.2.3洛必达法则的失效 6
2.3两个重要公式求极限 6
2.3.1两个重要极限公式及证明 6
2.3.2两个重要公式的应用 7
2.4定积分求极限 7
2.4.1定积分 7
2.4.2定积分求极限 7
2.5其他常用的求极限方法 8
2.5.1利用函数的定义求极限 8
2.5.2利用函数的四则运算求极限 9
2.5.3利用函数的连续性求极限 9
2.5.4利用泰勒公式求极限 10
2.5.5利用夹逼准则求极限 12
结语 13
参考文献 14
致谢 15
1.引言
1.1研究的目的和意义
考研数学中函数极限在占有极其关键的地位。在关于函数极限的题型中，大部分都是对极限的延拓和深化，如由极限定义的连续、导数、微积分等等。极限的思想十分重要，极限运算在考研数学中会经常遇见。本篇论文的目的是针对每年一次的研究生考试，通过具体历年真题与经典例题的分析，总结出适合广大学生的一般性求解函数极限的技巧和方法，也给出卷老师对卷子的难易程度的参考。在考研数学中许多重要的概念是由极限定义的，包括导数，连续，中值定理等等。所以下面给出了考研数学中求函数极限常用的几种方法，主要包括等价无穷小替换，洛必达法则，缩小放大法和夹逼准则等等。在各种考研数学的参考复习资料中，都给出了有关函数极限的求值技巧和方法，但是本文通过更加详细的历年真题和各种定理准则的结合使用，希望能给各位准备考研的学生和授课的老师带来更多的参考价值。
1.2研究的思路和方法
文章以函数极限求值方法为主要线索，通过对考研历年的数学真题分析，把求值极限分为五个模块，有四种在考研数学中主要方法，同时还包括一些其他的常用的方法，总结出考研数学函数极限问题一般技巧和方法，方便各位学生学习，加快学习效率。通过例题分析，真题对比，并且在例题解析中把一般性遇到的问题都罗列出来，更好的突出考研函数极限的一些求解技巧和特点。另一方面，文中还给出了一些解题时错误的思路的和想法，供大家参考。同时考虑到函数极限的复杂性，这里只对一元函数的极限作分类讨论。
2.求函数极限的方法
2.1等价无穷小因子替换法
定义：若 时，无穷小 ，即 ，则
(I)
（等式两边其中之一极限存在或者为 ，则另一也是且相等）[6]
常见等价无穷小有：
当 时, ,
；(II)
注：一般只在求极限的乘除运算中使用公式（I），不要求在加减运算中使用。
例题1 求 的极限
解法1：化简分母 此时利用等价替换 ；
； 代入
有
解法2：如果直接 将 ,
则化解出的结果是 ，结果错误。
注：由上例可以看出，求函数的极限不仅要掌握一些上面举出的常用等价替换变量方法，还要知道等价代换满足的必须条件，否则容易得出错误答案。
例题2 （08、数二）求极限
【解析】本题是08年考研数学二第15题，这里我们需要用到下面的洛必达法则，首先判断分子分母是否可以用等价无穷小因子替换，括号外的 与括号内的是乘积关系，可以利用 进行替换， ，然后再利用洛必达法则，上下求解判断可知分子分母满足 型条件，于是有解
由于考研数学中，函数极限往往是由各种知识点交织在一起，需要我们综合运用各个知识点，所以我们一般要处理的都是复杂的变形的等价无穷小因子替换。
例题3（04，数二）求极限
【解析】本题里面依旧用到等价无穷下因子替换，但更灵活，公式（II）中， 都需要进一步转换，在考研数学求函数极限的过程中，遇指数函数，我们一般用 对数函数进行转化，则本题中
在 时与 等价，所以我们通过这种复杂的等价代换，方便解题。
由
，
于是， 原式 .
注：掌握各个等价因子替换式十分重要，能在复杂的函数极限求值关系中迅速找到相对应的等式替换常常是解出一道题目的关键。
例题4（08,数二）已知函数 连续，且 ，则求 .
【解析】利用等价无穷小因子替换， ， ， 有
即 .
2.2洛必达法则求极限
2.2.1洛必达法则
设某一极限过程中，函数 满足条件：
（1） ；
（2）在该极限过程中， 都存在且 ；
（3） 存在或为 ，则 .
该法则当 时均成立[17]。
洛比达法则是利用导数为工具研究各种不定式极限，其中不定式极限主要包括为 型和 型的两种，当然还有 、 、 、 这几种类型的不定式，但都可以通过简单的转化化为上述两种基本类型。这里主要讨论如何利用函数的特点进行化简，以及化简后如何方便快速求出极限。
2.2.2洛必达法则的运用
洛必达法则在求函数极限的过程中简单方便，可是使用不当，就很容易得出错误结果．在我们运用洛必达法则之前我们要首先考虑所求极限是否为 和 基本类型，如果是，则对分子分母同时求导，然后再对求导后的极限在判断是否为基本类型，继续循环下去，直到最后极限能直接代入求出；如果不是，则洛必达法则应用失败，需要寻找其他方法化简求解。
2.2.2.1 “ ”型不定式
例题5 （09，数二）求极限
【解析】这是求“ ”型极限，也是考验数学中最常考到的一个极限类型，利用上节的等价无穷小因子替换，即 ，设原式= ，则
注：应用洛必达法则，首先应化简再使用洛必达法则，而一般用到的化简都是利用“等价代换”，即这里的等价无穷小因子替换。
2.2.2.2 “ ”型不定式
例题6 求极限
【解析】此题求“ ”型极限，用洛必达法则
2.2.2.3 其他类型不定式
例题7（11，数二）求
【解析】 这是求 型极限，我们需要进行转换成上述两种类型
方法 求 转化为求
因此
方法 这里我们用到下面将要介绍的两个重要公式，与上述方法很类似，
其中 .
因此 .
例题8 （13，数一）已知极限 ，其中 为常数，求 值。
【解析】此题分析可得属于 型，所以可用洛必达法则对等式左边进行化简有
因此 ，即
2.2.3洛必达法则的失效
例题9 求
【解析】此式是“ ”型未定式，如果简单利用洛必达法则，则
结果仍然是“ ”型，如果再一次使用洛必达法则，则化简的结果和原式相同了。所以此题，需要利用其它方法与洛必达法则进行结合进行求解。
正确解法：
有时不定式虽然满足洛必达法则的“ ”型和“ ”型，但是并不满足其他的条件，所以运用洛必达法则之前要与其他方法结合（包括重要极限，等价无穷小替换）
2.3两个重要公式求极限
2.3.1两个重要极限公式及证明
两个重要极限公式是(1) （2） 或者
复合函数变形公式：
由于第一个极限可以用上面第3节提及的等价代换，所以这里主要是对第二个重要极限进行讨论，在考研数学中，题目的类型总是让我们化简复合函数成为上述AB的形式，简便运算。
为了更好的应用两个重要重要公式，证明如下：
证明（1）：利用洛必达法则 或者利用等价无穷小替换
证明（2）：
记
令 ，则
即可得 .
同理可得 .
2.3.2两个重要公式的应用
例题10：（13，数二）求
【解析】此式是求 型不定式极限，观察极限的形式，利用上面的证明
记
其中
这里需灵活应用重要公式（2）考研数学中很多题型都是混合的知识点，需要综合分析处理，在该题中，我们不仅找出公式原型（2），化简配方，还需要结合洛必达法则。
注：考研题型灵活多变，题目难度系数不大，但是普遍一题中都涉及到广泛知识点，需要扎实的基础。
2.4定积分求极限
2.4.1定积分
定义: 在[a,b]上的定积分为 ，其中 。 在[a,b]上存在定积分，也称 在[a,b]上可积[18]。
2.4.2定积分求极限
定积分求极限在考研数学中出现的次数十分寻常，主要考察学生对定积分定义的理解和应用。
例题11：（02，数二）求极限
【解析】原式 ，由定积分的定义可得
例题12（12.数二）求
【解析】此题是一个 项和式的数列极限，这里首先确定它是哪个函数在哪个区间上的积分和，把数列极限转换为函数极限，利用积分定义求取结果。
有些题型像求“n项和”的极限，不宜用“夹逼准则”，要考虑用“定积分的定义”来求。
2.5其他常用的求极限方法
2.5.1利用函数的定义求极限
例题13：（99、数二） “对于任意给定的 ，总存在正整数 ,当 时，恒有 ”是数列 收敛于 的什么条件？
【解析】本题是1999年考研数学中考察的数列极限的概念和定义题，数列{ }收敛于 的完整性定义为“对于任意给定的 ，总存在正整数 ,当 时，恒有 ”看似二者之间存在范围取值大小关系，题目中给出的约束范围较大，所以自然由定义能推出题目中的条件，这里许多考生会选择答案为必要非充分条件；反之，其实也可以用我们的定义证明出来，对于任意给定的 ，取 ，则对于该 ，存在 ，当 时，恒有 ，现取 ，于是有当 时， ，所以最后可以得出上述两种说法是等价的，即充分必要条件。
2.5.2利用函数的四则运算求极限
【定理2.1】设 则有
①
②
③ 若 则：
④ （ 为常数）
例题14 求
【解析】：本题可以利用定理2.1中的③，直接求得分子分母的极限值，然后再用所求得的极限值相除，过程如下：
本题虽然难度系数不大，但是解题技巧需要掌握，我们首先想到的不是把分子分母化简，而是直接带入趋近值x=2,即可求出结果。
我们再来看例题2中的求极限
2.5.3利用函数的连续性求极限
1.5.3.1函数连续性的定义
设函数 是初等函数且在 处连续， 属于其定义域，则 。
对于复合函数的连续性，设 ，同时定义 ，则 ，如果又有 处连续，则可以用复合函数的连续性可得 [18][20]。
例题15：求 的极限
解：由于 及函数 在 处连续，故
2.5.3.2利用函数的左右极限及连续性求极限
极限存在的充要条件：
可以作为求解函数表达式中含有左右极限不相等的项或者分段函数在你分界点处的极限，方便得出解题思路。
摘 要
在考研数学中,极限思想贯穿于始末,求极限的方法也显得至关重要。本文主要针对考研数学探讨了一些主要的求解函数极限的技巧和方法，并且对每一种方法的特点及注意事项都作出详细的说明，同时，通过例题的实例分析，让读者能够更加清晰，灵活地记住各类公式定理以及解题习惯；文中主要介绍了无穷小因子替换，利用两个重要极限、函数定义法、函数连续性、夹逼准则、洛比达法则、泰勒公式、定积分等一些列求极限的方法。另外，在部分函数极限求值过程中，也指出了解题过程中出现的一些常见问题。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:函数极限等价无穷小因子定积分洛必达法则
目 录
1.引言 1
1.1研究的目的和意义 1
1.2研究的思路和方法 1
2.求函数极限的方法 2
2.1等价无穷小因子替换法 2
2.2洛必达法则求极限 3
2.2.1洛必达法则 3
2.2.2洛必达法则的运用 4
2.2.3洛必达法则的失效 6
2.3两个重要公式求极限 6
2.3.1两个重要极限公式及证明 6
2.3.2两个重要公式的应用 7
2.4定积分求极限 7
2.4.1定积分 7
2.4.2定积分求极限 7
2.5其他常用的求极限方法 8
2.5.1利用函数的定义求极限 8
2.5.2利用函数的四则运算求极限 9
2.5.3利用函数的连续性求极限 9
2.5.4利用泰勒公式求极限 10
2.5.5利用夹逼准则求极限 12
结语 13
参考文献 14
致谢 15
1.引言
1.1研究的目的和意义
考研数学中函数极限在占有极其关键的地位。在关于函数极限的题型中，大部分都是对极限的延拓和深化，如由极限定义的连续、导数、微积分等等。极限的思想十分重要，极限运算在考研数学中会经常遇见。本篇论文的目的是针对每年一次的研究生考试，通过具体历年真题与经典例题的分析，总结出适合广大学生的一般性求解函数极限的技巧和方法，也给出卷老师对卷子的难易程度的参考。在考研数学中许多重要的概念是由极限定义的，包括导数，连续，中值定理等等。所以下面给出了考研数学中求函数极限常用的几种方法，主要包括等价无穷小替换，洛必达法则，缩小放大法和夹逼准则等等。在各种考研数学的参考复习资料中，都给出了有关函数极限的求值技巧和方法，但是本文通过更加详细的历年真题和各种定理准则的结合使用，希望能给各位准备考研的学生和授课的老师带来更多的参考价值。
1.2研究的思路和方法
文章以函数极限求值方法为主要线索，通过对考研历年的数学真题分析，把求值极限分为五个模块，有四种在考研数学中主要方法，同时还包括一些其他的常用的方法，总结出考研数学函数极限问题一般技巧和方法，方便各位学生学习，加快学习效率。通过例题分析，真题对比，并且在例题解析中把一般性遇到的问题都罗列出来，更好的突出考研函数极限的一些求解技巧和特点。另一方面，文中还给出了一些解题时错误的思路的和想法，供大家参考。同时考虑到函数极限的复杂性，这里只对一元函数的极限作分类讨论。
2.求函数极限的方法
2.1等价无穷小因子替换法
定义：若 时，无穷小 ，即 ，则
(I)
（等式两边其中之一极限存在或者为 ，则另一也是且相等）[6]
常见等价无穷小有：
当 时, ,
；(II)
注：一般只在求极限的乘除运算中使用公式（I），不要求在加减运算中使用。
例题1 求 的极限
解法1：化简分母 此时利用等价替换 ；
； 代入
有
解法2：如果直接 将 ,
则化解出的结果是 ，结果错误。
注：由上例可以看出，求函数的极限不仅要掌握一些上面举出的常用等价替换变量方法，还要知道等价代换满足的必须条件，否则容易得出错误答案。
例题2 （08、数二）求极限
【解析】本题是08年考研数学二第15题，这里我们需要用到下面的洛必达法则，首先判断分子分母是否可以用等价无穷小因子替换，括号外的 与括号内的是乘积关系，可以利用 进行替换， ，然后再利用洛必达法则，上下求解判断可知分子分母满足 型条件，于是有解
由于考研数学中，函数极限往往是由各种知识点交织在一起，需要我们综合运用各个知识点，所以我们一般要处理的都是复杂的变形的等价无穷小因子替换。
例题3（04，数二）求极限
【解析】本题里面依旧用到等价无穷下因子替换，但更灵活，公式（II）中， 都需要进一步转换，在考研数学求函数极限的过程中，遇指数函数，我们一般用 对数函数进行转化，则本题中
在 时与 等价，所以我们通过这种复杂的等价代换，方便解题。
由
，
于是， 原式 .
注：掌握各个等价因子替换式十分重要，能在复杂的函数极限求值关系中迅速找到相对应的等式替换常常是解出一道题目的关键。
例题4（08,数二）已知函数 连续，且 ，则求 .
【解析】利用等价无穷小因子替换， ， ， 有
即 .
2.2洛必达法则求极限
2.2.1洛必达法则
设某一极限过程中，函数 满足条件：
（1） ；
（2）在该极限过程中， 都存在且 ；
（3） 存在或为 ，则 .
该法则当 时均成立[17]。
洛比达法则是利用导数为工具研究各种不定式极限，其中不定式极限主要包括为 型和 型的两种，当然还有 、 、 、 这几种类型的不定式，但都可以通过简单的转化化为上述两种基本类型。这里主要讨论如何利用函数的特点进行化简，以及化简后如何方便快速求出极限。
2.2.2洛必达法则的运用
洛必达法则在求函数极限的过程中简单方便，可是使用不当，就很容易得出错误结果．在我们运用洛必达法则之前我们要首先考虑所求极限是否为 和 基本类型，如果是，则对分子分母同时求导，然后再对求导后的极限在判断是否为基本类型，继续循环下去，直到最后极限能直接代入求出；如果不是，则洛必达法则应用失败，需要寻找其他方法化简求解。
2.2.2.1 “ ”型不定式
例题5 （09，数二）求极限
【解析】这是求“ ”型极限，也是考验数学中最常考到的一个极限类型，利用上节的等价无穷小因子替换，即 ，设原式= ，则
注：应用洛必达法则，首先应化简再使用洛必达法则，而一般用到的化简都是利用“等价代换”，即这里的等价无穷小因子替换。
2.2.2.2 “ ”型不定式
例题6 求极限
【解析】此题求“ ”型极限，用洛必达法则
2.2.2.3 其他类型不定式
例题7（11，数二）求
【解析】 这是求 型极限，我们需要进行转换成上述两种类型
方法 求 转化为求
因此
方法 这里我们用到下面将要介绍的两个重要公式，与上述方法很类似，
其中 .
因此 .
例题8 （13，数一）已知极限 ，其中 为常数，求 值。
【解析】此题分析可得属于 型，所以可用洛必达法则对等式左边进行化简有
因此 ，即
2.2.3洛必达法则的失效
例题9 求
【解析】此式是“ ”型未定式，如果简单利用洛必达法则，则
结果仍然是“ ”型，如果再一次使用洛必达法则，则化简的结果和原式相同了。所以此题，需要利用其它方法与洛必达法则进行结合进行求解。
正确解法：
有时不定式虽然满足洛必达法则的“ ”型和“ ”型，但是并不满足其他的条件，所以运用洛必达法则之前要与其他方法结合（包括重要极限，等价无穷小替换）
2.3两个重要公式求极限
2.3.1两个重要极限公式及证明
两个重要极限公式是(1) （2） 或者
复合函数变形公式：
由于第一个极限可以用上面第3节提及的等价代换，所以这里主要是对第二个重要极限进行讨论，在考研数学中，题目的类型总是让我们化简复合函数成为上述AB的形式，简便运算。
为了更好的应用两个重要重要公式，证明如下：
证明（1）：利用洛必达法则 或者利用等价无穷小替换
证明（2）：
记
令 ，则
即可得 .
同理可得 .
2.3.2两个重要公式的应用
例题10：（13，数二）求
【解析】此式是求 型不定式极限，观察极限的形式，利用上面的证明
记
其中
这里需灵活应用重要公式（2）考研数学中很多题型都是混合的知识点，需要综合分析处理，在该题中，我们不仅找出公式原型（2），化简配方，还需要结合洛必达法则。
注：考研题型灵活多变，题目难度系数不大，但是普遍一题中都涉及到广泛知识点，需要扎实的基础。
2.4定积分求极限
2.4.1定积分
定义: 在[a,b]上的定积分为 ，其中 。 在[a,b]上存在定积分，也称 在[a,b]上可积[18]。
2.4.2定积分求极限
定积分求极限在考研数学中出现的次数十分寻常，主要考察学生对定积分定义的理解和应用。
例题11：（02，数二）求极限
【解析】原式 ，由定积分的定义可得
例题12（12.数二）求
【解析】此题是一个 项和式的数列极限，这里首先确定它是哪个函数在哪个区间上的积分和，把数列极限转换为函数极限，利用积分定义求取结果。
有些题型像求“n项和”的极限，不宜用“夹逼准则”，要考虑用“定积分的定义”来求。
2.5其他常用的求极限方法
2.5.1利用函数的定义求极限
例题13：（99、数二） “对于任意给定的 ，总存在正整数 ,当 时，恒有 ”是数列 收敛于 的什么条件？
【解析】本题是1999年考研数学中考察的数列极限的概念和定义题，数列{ }收敛于 的完整性定义为“对于任意给定的 ，总存在正整数 ,当 时，恒有 ”看似二者之间存在范围取值大小关系，题目中给出的约束范围较大，所以自然由定义能推出题目中的条件，这里许多考生会选择答案为必要非充分条件；反之，其实也可以用我们的定义证明出来，对于任意给定的 ，取 ，则对于该 ，存在 ，当 时，恒有 ，现取 ，于是有当 时， ，所以最后可以得出上述两种说法是等价的，即充分必要条件。
2.5.2利用函数的四则运算求极限
【定理2.1】设 则有
①
②
③ 若 则：
④ （ 为常数）
例题14 求
【解析】：本题可以利用定理2.1中的③，直接求得分子分母的极限值，然后再用所求得的极限值相除，过程如下：
本题虽然难度系数不大，但是解题技巧需要掌握，我们首先想到的不是把分子分母化简，而是直接带入趋近值x=2,即可求出结果。
我们再来看例题2中的求极限
2.5.3利用函数的连续性求极限
1.5.3.1函数连续性的定义
设函数 是初等函数且在 处连续， 属于其定义域，则 。
对于复合函数的连续性，设 ，同时定义 ，则 ，如果又有 处连续，则可以用复合函数的连续性可得 [18][20]。
例题15：求 的极限
解：由于 及函数 在 处连续，故
2.5.3.2利用函数的左右极限及连续性求极限
极限存在的充要条件：
可以作为求解函数表达式中含有左右极限不相等的项或者分段函数在你分界点处的极限，方便得出解题思路。
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