求解Caputo型分数阶微分方程边值问题的数值方法
求解Caputo型分数阶微分方程边值问题的数值方法[20191209140914]
摘 要
分数阶导数拥有全局相关性能较好地显示出系统函数发展的历史依赖过程。在描述复杂物理力学问题时，分数阶模型可以更清晰准确的表达物理意义，描述物理现象。在实际应用中，分数阶微分方程已经成功应用于物理、化学、控制工程和信号处理等越来越多的领域。因此，寻求分数阶微分方程的数值求解方法就成为了一个迫切需要解决的问题。本文将结合再生核理论和拟线性化技术，提出求解关于Caputo型分数阶常微分边值问题的数值求解方法。它可以在一个更大的区间上获得良好的近似解，而不是在初始位置附近求解。与一些现有的方法相比，数值结果充分显示出了本方法的准确性和有效性。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:分数阶微积分再生核理论拟线性化技术非局部边值数值方法
Key Words: Fractional Calculus; Reproducing Kernel Theory; Quasilinearization Technology ; Nonlocal Boundary Value; Numerical Method目 录
1.引言 1
1.1背景介绍 1
1.2 国内外研究现状及分析 1
1.3 研究目的和意义 1
2.再生核空间理论 1
2.1再生核空间的定义 2
2.2再生核空间 的构造 2
3.求解分数阶微分方程边值问题的数值方法 4
3.1 Riccati微分方程简介 4
3.2数值方法 5
3.2.1 Riccati微分方程（3.1）的拟线性化 5
3.2.2 求解（3.2）线性分数阶问题的方法 6
4.数值算例分析 8
4.1算例一 8
4.2 算例二 10
参考文献 12
致谢 13
1.引言
1.1背景介绍
微分方程能够在很多实际应用中得到使用，它是实际生产生活的产物 ，特别在处理工程问题时大有作为。随着生产生活的需要和各方面理论研究的深入，微分方程边值问题作为微分方程研究的重要方面得到越来越多的注意。例如，微分方程的两点边值问题就被广泛应用于热传导、化学工程、热弹性力学、等离子物理等领域。
由于具有广泛的应用前景，近年来微分方程边值问题特别是分数阶微分方程边值问题获得了国内外研究者的大量关注。详情参见文献[1]。
1.2 国内外研究现状及分析
分数阶微分的概念最先是由 Leibniz于1695年提出。随后，分数阶微分得到了数学，物理，工程等领域的认可。相比于整数阶微积分，分数阶微积分具有能够较为准确地描述不同物质的记忆性和遗传性的优点。因此，在上述实际应用中的分数阶模型比整数阶模型对事物的描述更确切。自然的，分数阶微分方程成为一个研究分支引起了大量研究人员的兴趣。自从Oldham和 Spanier在上世纪七十年代出版了第一本以分数阶微积分为主题的专著开始，在各个领域出现了大量关于分数阶微积分的研究成果。
国内的相关研究虽然开始较晚，但是方向明确，也获得了不少研究成果。例如，学者葛渭高及其研究团队和马如云教授经过多年的努力，都在各自的研究领域获得了大量的研究成果。详情参见文献[1]。
1.3 研究目的和意义
尽管对于分数阶微分方程定性的研究理论近年来获得了很大发展，但对于分数阶微分方程边值问题的数值求解方法的研究委实很少，可查阅到的研究文献，也只是主要集中在对分数阶初值问题的研究。所以，本文将结合再生核理论和拟线性化技术，提出一种新的Caputo型分数阶微分方程边值问题的数值求解方法。其中，主要讨论和处理的是Riccati微分方程的数值解的问题。
2.再生核空间理论
再生核理论可以追溯到上世纪30年代 Bergman 的论文。Bergman 在研究微分方程求解问题时，首次给出了再生核的概念并且将核和函数空间联系起来。经过近百年的理论发展和实践应用，核函数的再生性以及再生核在数值计算方面的优势，让其获得了国内外学者的广泛关注。
2.1再生核空间的定义
定义2.1 设 是线性空间，对任意的 ，在积空间 上定义“有序”二元泛函 ，
使得对任意的 满足：
设 是内积空间，如果令 ，那么 为 上的范数,所以，内积空间也是赋范空间。如果内积空间 是Banach空间，则称空间 为Hilbert空间。
定义2.2 设 是一个非空抽象集合， 是一个Hilbert函数空间， 中的元素为 中的复值函数， 中的内积定义为二元泛函 ，二元函数 称为空间 的再生空间的充分必要条件为
条件2）称为再生性：函数 在 点的值可以通过 和 的内积再生。
具有再生核的Hilbert空间称为再生核Hilbert空间，简称为再生核空间。
2.2再生核空间 的构造
定理2.1 若Hilbert空间 是再生核空间当且仅当定义在 上的赋值泛函 连续有界。（ 中的元素为 中的复值函数， 是一个非空抽象集合）
定义内积空间 是绝对连续实值函数， ，其内积和范数分别定义为
下面证明 为再生核空间：
首先需要证明 是Hilbert空间。
若 是 的一个柯西列，即
从上式容易看出
显然， 是R上的柯西列， 是 上的柯西列。从而，存在唯一的 ，使得
令
则 ，而且
因此， 是一个Hilbert空间。
最后证明 是再生核空间。
根据定理2.1，如若 上的线性赋值函数 有界，则结论得证。
注意
而
根据Cauchy-Schwarz不等式，
从而，
因此， 上的线性赋值泛函 有界。
综上， 是一个再生核空间。
3.求解Caputo型分数阶微分方程边值问题的数值方法
本文涉及下列Riccati微分方程的数值解：
（3.1）
其中 表示 阶Caputo分数阶导数。
定义3.0：函数 的 Caputo分数阶导数定义为
于是，由定义3.0可知，
3.1 Riccati微分方程简介
Riccati微分方程应用在许多领域 。这个问题已经引起了很多的关注，并且已得出很多研究成果。然而，得出具有明确形式的解析解似乎是不可能的，除了某些特殊的情况。最近，许多数值方法 已经被提出来解决整数阶Riccati微分方程。但是对分数阶的Riccati微分方程数值方法的讨论很少见。Odibat和Momani 针对分数阶Riccati微分方程求解提出了一种改进的同伦摄动法。Li 提出了基于切比雪夫小波的求解分数阶微分方程数值方法。Hosseinnia，Ranjbar和Momani应用了增强的同伦摄动法用于分数阶的Riccati微分方程的求解。Yüzba?i介绍了一种使用伯恩斯坦多项式分数阶的Riccati微分方程的数值方法。Khader提出了分数阶切比雪夫有限差分法用于分数阶Riccati微分方程求解。杨和Baleanu提出了局部分数阶变化迭代法求分数阶热传导和波动方程。
近年来，基于再生核理论，崔庚霖提出了求解线性和非线性算子方程组的再生核方法（RKM）。该方法已被发展并应用到许多问题。
本文的目的是介绍一种基于RKM和拟线性化技术求解分数阶Riccati微分方程的新方法。
3.3数值方法
3.3.1 Riccati微分方程（3.1）的拟线性化
在本节中，拟线性技术被应用于减少（3.1）的一系列线性分式问题。
定义
通过选择在 中的函数 的恰当近似初值 扩展 附近的 ，扩展方式如下：
一般的，1可以写成
可以推出（1.1）以下的迭代公式
（3.2）
其中
为近似初值。
显然，要求解（3,1），我们只需解决（3.2）的一系列线性问题。
3.3.2 求解（3.2）线性分数阶问题的方法
为了说明如何解决（3.2），我们首先考虑以下问题的求解：
（3.3）
其中 和 为连续函数。
又
得（3.3）相当于下列方程：
（3.4）
如果 ，那么广义积分 存在，且有
定义
此函数在 内连续，积分 存在，且
因此，（3.3）可以转化为
（3.5）
对 应用Hermite的插值求积公式，可得
其中 ， 是节点的数目，
则（3.3）进一步可以近似等价于
（3.6）
对（3.6）应用再生核方法，有必要建立下列再生核Hilbert空间
定义3.1
的内积和范数分别是
定理3.1 是再生核空间，且其再生核为
其中，
定义3.2 空间 ，其 内积和范数分别定义为
定理3.2 空间 是再生核空间，且其再生核为
令
显然， 是有界线性算子。记 ，其中 是 的共轭算子。对 作Gram-Schmidt正交化可以得到 的标准正交
基 ，
定理3.3 若 是在 上的稠密集点，则 是 完备系统。
定理3.4 若 是 上的稠密集点，则方程（3.6）有唯一解，且（3.6）解可以表示成
现在，（3.3）近似解 可以由精确解 进行N-端截断获得
类似的， 的近似解可以获得
其中，
4.数值算例分析
4.1算例一
考虑下面的分数阶的Riccati微分方程 ：
（4.1）
对于 时可以容易的获得其精确解
应用本文所提出的方法，取 获得的数值解与其他方法相比较见表1,2。取 在区间 获得的数值解与其他方法相比较见表3。从表3中可以看到，很容易发现，本方法在大区间上得到的近似解是有效的，而不仅仅在初始值附近。
表1：在 时不同方法获得数值解的比较
表2：在 时不同方法获得数值解的比较
表3： 时的数值解，区间在
4.2 算例二
考虑下面的分数阶的Riccati微分方程 ：
（4.2）
对于 时可以容易的获得其精确解
应用本文所提出的方法，取 获得的数值解与其他方法相比较见表4,5,6。取 在区间 获得的数值解与其他方法相比较见图1,2。从这些图中可以总结出，本方法在大区间上得到的近似解与精确解非常吻合。
表4：在 时不同方法获得数值解的比较
表5：在 时不同方法获得数值解的比较
表6：在 时不同方法获得数值解的比较
图1根据 值得不同近似解的变化（左侧： ；中间： ；
右侧： ）
图2： 时精确解和近似解的比较（左侧：精确解；右侧：绝对误差）
5.结语
本文中，主要处理了Caputo型分数阶微分方程边值问题的数值解问题，对其中Riccati微分方程做了详细论证。首先使用拟线性化技术处理近似转换过的Riccati微分方程的线性分式问题。然后，通过运用埃尔米特的求积公式，将原问题转化为一个便于数值计算的方程。最后，结合再生核方法，最终获得原方程的近似数值解。综合而言，本文结合了再生核方法和和拟线性化技术，给出了一种新的求解分数阶Riccati微分方程的数值方法。最后的数值结果表明，本方法可以在一个较大的区间内，有效的获得Riccati型分数阶微分方程近似解，这也是本方法的优点所在。
使用本文所介绍的方法获得Caputo型微分方程边值问题的数值解为近似解。在一个区间内，随着取点的密集程度的越高，其解的精确度越高。但是，处理的复杂程度耗费的时间成本也越高。与已存在的方法相比，本方法是一种可以有效用来求解Caputo型分数阶微分方程的方法。
参考文献
[1] 李秀英. 一些非局部边值问题和泛函微分方程的求解方法（博士论文）. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2012: 1–72
摘 要
分数阶导数拥有全局相关性能较好地显示出系统函数发展的历史依赖过程。在描述复杂物理力学
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:分数阶微积分再生核理论拟线性化技术非局部边值数值方法
Key Words: Fractional Calculus; Reproducing Kernel Theory; Quasilinearization
1.引言 1
1.1背景介绍 1
1.2 国内外研究现状及分析 1
1.3 研究目的和意义 1
2.再生核空间理论 1
2.1再生核空间的定义 2
2.2再生核空间 的构造 2
3.求解分数阶微分方程边值问题的数值方法 4
3.1 Riccati微分方程简介 4
3.2数值方法 5
3.2.1 Riccati微分方程（3.1）的拟线性化 5
3.2.2 求解（3.2）线性分数阶问题的方法 6
4.数值算例分析 8
4.1算例一 8
4.2 算例二 10
参考文献 12
致谢 13
1.引言
1.1背景介绍
微分方程能够在很多实际应用中得到使用，它是实际生产生活的产物 ，特别在处理工程问题时大有作为。随着生产生活的需要和各方面理论研究的深入，微分方程边值问题作为微分方程研究的重要方面得到越来越多的注意。例如，微分方程的两点边值问题就被广泛应用于热传导、化学工程、热弹性力学、等离子物理等领域。
由于具有广泛的应用前景，近年来微分方程边值问题特别是分数阶微分方程边值问题获得了国内外研究者的大量关注。详情参见文献[1]。
1.2 国内外研究现状及分析
分数阶微分的概念最先是由 Leibniz于1695年提出。随后，分数阶微分得到了数学，物理，工程等领域的认可。相比于整数阶微积分，分数阶微积分具有能够较为准确地描述不同物质的记忆性和遗传性的优点。因此，在上述实际应用中的分数阶模型比整数阶模型对事物的描述更确切。自然的，分数阶微分方程成为一个研究分支引起了大量研究人员的兴趣。自从Oldham和 Spanier在上世纪七十年代出版了第一本以分数阶微积分为主题的专著开始，在各个领域出现了大量关于分数阶微积分的研究成果。
国内的相关研究虽然开始较晚，但是方向明确，也获得了不少研究成果。例如，学者葛渭高及其研究团队和马如云教授经过多年的努力，都在各自的研究领域获得了大量的研究成果。详情参见文献[1]。
1.3 研究目的和意义
尽管对于分数阶微分方程定性的研究理论近年来获得了很大发展，但对于分数阶微分方程边值问题的数值求解方法的研究委实很少，可查阅到的研究文献，也只是主要集中在对分数阶初值问题的研究。所以，本文将结合再生核理论和拟线性化技术，提出一种新的Caputo型分数阶微分方程边值问题的数值求解方法。其中，主要讨论和处理的是Riccati微分方程的数值解的问题。
2.再生核空间理论
再生核理论可以追溯到上世纪30年代 Bergman 的论文。Bergman 在研究微分方程求解问题时，首次给出了再生核的概念并且将核和函数空间联系起来。经过近百年的理论发展和实践应用，核函数的再生性以及再生核在数值计算方面的优势，让其获得了国内外学者的广泛关注。
2.1再生核空间的定义
定义2.1 设 是线性空间，对任意的 ，在积空间 上定义“有序”二元泛函 ，
使得对任意的 满足：
设 是内积空间，如果令 ，那么 为 上的范数,所以，内积空间也是赋范空间。如果内积空间 是Banach空间，则称空间 为Hilbert空间。
定义2.2 设 是一个非空抽象集合， 是一个Hilbert函数空间， 中的元素为 中的复值函数， 中的内积定义为二元泛函 ，二元函数 称为空间 的再生空间的充分必要条件为
条件2）称为再生性：函数 在 点的值可以通过 和 的内积再生。
具有再生核的Hilbert空间称为再生核Hilbert空间，简称为再生核空间。
2.2再生核空间 的构造
定理2.1 若Hilbert空间 是再生核空间当且仅当定义在 上的赋值泛函 连续有界。（ 中的元素为 中的复值函数， 是一个非空抽象集合）
定义内积空间 是绝对连续实值函数， ，其内积和范数分别定义为
下面证明 为再生核空间：
首先需要证明 是Hilbert空间。
若 是 的一个柯西列，即
从上式容易看出
显然， 是R上的柯西列， 是 上的柯西列。从而，存在唯一的 ，使得
令
则 ，而且
因此， 是一个Hilbert空间。
最后证明 是再生核空间。
根据定理2.1，如若 上的线性赋值函数 有界，则结论得证。
注意
而
根据Cauchy-Schwarz不等式，
从而，
因此， 上的线性赋值泛函 有界。
综上， 是一个再生核空间。
3.求解Caputo型分数阶微分方程边值问题的数值方法
本文涉及下列Riccati微分方程的数值解：
（3.1）
其中 表示 阶Caputo分数阶导数。
定义3.0：函数 的 Caputo分数阶导数定义为
于是，由定义3.0可知，
3.1 Riccati微分方程简介
Riccati微分方程应用在许多领域 。这个问题已经引起了很多的关注，并且已得出很多研究成果。然而，得出具有明确形式的解析解似乎是不可能的，除了某些特殊的情况。最近，许多数值方法 已经被提出来解决整数阶Riccati微分方程。但是对分数阶的Riccati微分方程数值方法的讨论很少见。Odibat和Momani 针对分数阶Riccati微分方程求解提出了一种改进的同伦摄动法。Li 提出了基于切比雪夫小波的求解分数阶微分方程数值方法。Hosseinnia，Ranjbar和Momani应用了增强的同伦摄动法用于分数阶的Riccati微分方程的求解。Yüzba?i介绍了一种使用伯恩斯坦多项式分数阶的Riccati微分方程的数值方法。Khader提出了分数阶切比雪夫有限差分法用于分数阶Riccati微分方程求解。杨和Baleanu提出了局部分数阶变化迭代法求分数阶热传导和波动方程。
近年来，基于再生核理论，崔庚霖提出了求解线性和非线性算子方程组的再生核方法（RKM）。该方法已被发展并应用到许多问题。
本文的目的是介绍一种基于RKM和拟线性化技术求解分数阶Riccati微分方程的新方法。
3.3数值方法
3.3.1 Riccati微分方程（3.1）的拟线性化
在本节中，拟线性技术被应用于减少（3.1）的一系列线性分式问题。
定义
通过选择在 中的函数 的恰当近似初值 扩展 附近的 ，扩展方式如下：
一般的，1可以写成
可以推出（1.1）以下的迭代公式
（3.2）
其中
为近似初值。
显然，要求解（3,1），我们只需解决（3.2）的一系列线性问题。
3.3.2 求解（3.2）线性分数阶问题的方法
为了说明如何解决（3.2），我们首先考虑以下问题的求解：
（3.3）
其中 和 为连续函数。
又
得（3.3）相当于下列方程：
（3.4）
如果 ，那么广义积分 存在，且有
定义
此函数在 内连续，积分 存在，且
因此，（3.3）可以转化为
（3.5）
对 应用Hermite的插值求积公式，可得
其中 ， 是节点的数目，
则（3.3）进一步可以近似等价于
（3.6）
对（3.6）应用再生核方法，有必要建立下列再生核Hilbert空间
定义3.1
的内积和范数分别是
定理3.1 是再生核空间，且其再生核为
其中，
定义3.2 空间 ，其 内积和范数分别定义为
定理3.2 空间 是再生核空间，且其再生核为
令
显然， 是有界线性算子。记 ，其中 是 的共轭算子。对 作Gram-Schmidt正交化可以得到 的标准正交
基 ，
定理3.3 若 是在 上的稠密集点，则 是 完备系统。
定理3.4 若 是 上的稠密集点，则方程（3.6）有唯一解，且（3.6）解可以表示成
现在，（3.3）近似解 可以由精确解 进行N-端截断获得
类似的， 的近似解可以获得
其中，
4.数值算例分析
4.1算例一
考虑下面的分数阶的Riccati微分方程 ：
（4.1）
对于 时可以容易的获得其精确解
应用本文所提出的方法，取 获得的数值解与其他方法相比较见表1,2。取 在区间 获得的数值解与其他方法相比较见表3。从表3中可以看到，很容易发现，本方法在大区间上得到的近似解是有效的，而不仅仅在初始值附近。
表1：在 时不同方法获得数值解的比较
表2：在 时不同方法获得数值解的比较
表3： 时的数值解，区间在
4.2 算例二
考虑下面的分数阶的Riccati微分方程 ：
（4.2）
对于 时可以容易的获得其精确解
应用本文所提出的方法，取 获得的数值解与其他方法相比较见表4,5,6。取 在区间 获得的数值解与其他方法相比较见图1,2。从这些图中可以总结出，本方法在大区间上得到的近似解与精确解非常吻合。
表4：在 时不同方法获得数值解的比较
表5：在 时不同方法获得数值解的比较
表6：在 时不同方法获得数值解的比较
图1根据 值得不同近似解的变化（左侧： ；中间： ；
右侧： ）
图2： 时精确解和近似解的比较（左侧：精确解；右侧：绝对误差）
5.结语
本文中，主要处理了Caputo型分数阶微分方程边值问题的数值解问题，对其中Riccati微分方程做了详细论证。首先使用拟线性化技术处理近似转换过的Riccati微分方程的线性分式问题。然后，通过运用埃尔米特的求积公式，将原问题转化为一个便于数值计算的方程。最后，结合再生核方法，最终获得原方程的近似数值解。综合而言，本文结合了再生核方法和和拟线性化技术，给出了一种新的求解分数阶Riccati微分方程的数值方法。最后的数值结果表明，本方法可以在一个较大的区间内，有效的获得Riccati型分数阶微分方程近似解，这也是本方法的优点所在。
使用本文所介绍的方法获得Caputo型微分方程边值问题的数值解为近似解。在一个区间内，随着取点的密集程度的越高，其解的精确度越高。但是，处理的复杂程度耗费的时间成本也越高。与已存在的方法相比，本方法是一种可以有效用来求解Caputo型分数阶微分方程的方法。
参考文献
[1] 李秀英. 一些非局部边值问题和泛函微分方程的求解方法（博士论文）. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学, 2012: 1–72
版权保护: 本文由 hbsrm.com编辑，转载请保留链接: www.hbsrm.com/jsj/rjgc/2042.html
