广义积分计算的方法探讨
广义积分计算的方法探讨[20191209140639]
摘 要
本文在验证某些广义积分的收敛性之后，比较详细地介绍了广义积分的几种计算方法，包括原函数法、变量替换法、分部积分法等方法.
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关键字:广义积分收敛变量替换
目 录
1. 基本知识1
1.1 广义积分的定义1
1.2广义积分的绝对收敛性判别法1
2. 广义积分的一些计算法3
2.1原函数法3
2.2 变量替换法3
2.3 分部积分法5
2.4 积分号下求导法5
2.5 积分号下求积分法7
2.6 建立微分方程求广义积分法8
2.7 级数展开法10
结语11
参考文献12
1．基本知识
1.1广义积分的定义
设在[ , ）上定义的函数 有唯一奇点 ， 有限或 （ 总称为奇点），若对一切 定积分 存在，则广义积分 定义为
， .
若上述极限存在且有极限，则称广义积分 收敛，反之则称为发散. 特别地，若 有限且 ，则称 为具有无穷间断点的广义积分或瑕积分.
而当 时， 称为无穷限的广义积分.
若 在 有唯一的奇点 ，（a有限或 ），类似地可定义广义积分
， .
上述极限存在且有限，则称广义积分 收敛，否则称为发散.
若 在 上连续，并且它在 上存在原函数 ，则
.
以上公式称为广义N.L.公式，在此公式中，若 或 之一或两个都不存在时，广义积分 发散. 以上定义和公式详见[1]、[8]等.
1.2广义积分的绝对收敛性判别法
对于广义积分的收敛性判别，有以下著名的Abel-Dirichlet判别法（A.D.判别法）：
定理1 （A.D.判别法）设 和 在 上存在唯一奇点 ，则当下列条件1和条件2之一满足时，积分 收敛.
条件1 函数 单调且 且存在数M使得对一切 成立
.
条件2 单调有界，且 收敛.
在本文中，我们称形如 ， 的积分为含参变量 的广义积分.其中 是有限区间或无限区间.设积分 在 收敛，如果对任意 ，存在 ，当 时，对一切 成立 ，则称含参变量的广义积分 关于 一致收敛.类似于广义积分的绝对收敛的判别法，含参变量的广义积分 的一致收敛有以下判别法.
定理2 （Weierstrass判别法）设 在 收敛. 如果满足（1） ， . .（2） 收敛，则 关于 一致收敛.
定理3 （Abel判别法）设（1） 关于 一致收敛.（2）函数 关于 单调（即对任意固定的 ， 关于变量 是单调的，并且 关于 和 都有界），则 关于 一致收敛.
定理4 （Dirichlet判别法）设（1） 对任何 和任何 是有界的；（2）函数 关于 单调并且当 时, 关于 是一致的，则
关于 一致收敛.
而且一致收敛的含参变量的广义积分在一定条件下， 在 上连续可导，并且可在积分号内求导. 同时 在 上可积，并且积分顺序可交换.
2. 广义积分的一些计算法
2.1 原函数法
用原函数法解决广义积分的问题，一般用原函数法解决广义积分的时候分为两个步骤：先求原函数，再对原函数取极限.
例1 求广义积分 的值
解 按广义积分的定义计算这一广义积分的值.设 ，则
.
所以， .
类似的求法，我们有
， .
也可用前文提到的广义N.L.公式 . 例如 .
例2 求广义积分 ，其中 .
解
.
2.2 变量替换法
在广义积分中，有的被积函数的原函数不易求出或被积原函数不是初等函数. 此时，直接积分就无法算出它的值，但如果施以恰当的变量替换往往可以换成一个定积分或者辅以一定的技巧可以把该广义积分变的更加简单，从而更容易进行计算. 其一般的变量替换公式与一般定积分的变量替换公式是类似的. 其方法如下：
若 在 上单调，有连续的导数 ， ， （ 为有限数或 ），则 . 下面我们看一些例题.
例3 计算广义积分 ，其中 为实数.
解 令 ，则 ，当 ， ；当 ， .从而
.
再令 ，则 ，当 ， ；当 ， .从而
所以， ，故 .
这是利用三角函数换元求的，看起来有些复杂，我们现在介绍一种相对而言更为简便的方法.由于
，
令 ，则有
=
= =
=
所以原积分= = .
例4 求广义积分 的值.
解 令 ，则原式可转化为 .所以 ，即
原式
.
2.3 分部积分法
分部积分法也是求广义积分的常用方法之一. 方法类似于定积分的求解方法.
下面我们来看一个例子
例5 求广义积分 （ ）的值.
解 由于 ，所以
.
2.4 积分号下求导法
有的广义积分除积分变量外可能含有参数，此时我们对其中的某个参数进行求导，往往可以得所求积分的值. 如果没有其它参数，我们有时也可以引入某个参数，再按上面的方法去做. 要对含参变量的广义积分 实现积分号下求导，即
需验证如下条件：（1） ， 在 ， 上连续；（2） 在 上收敛；(3) 对 一致收敛.
例6 求广义积分 的值.
解 记 ,奇点为 和 .
在 的邻域内，被积函数与 同阶. 而在 领域内与 同阶，因而 收敛.
另外, = ,并且 ，易见 收敛，故 关于 一致收敛.从而 可导，并且可以在积分号下求导.
因此，
.
于是 ，再由于 ，故 .
所以 .
然而，有的广义积分不能直接在积分号下求导，但引入收敛因子之后，可以在积分号下求导.例如，在求Dirichlet积分 时，由Dirichlet判别法易知该积分收敛.但如果把 看成参数，在积分号下求导之后 发散. 从而不满足积分号下求导的条件. 为此，我们需引入收敛因子 ，记
.
只需通过积分号下求导法计算出 ，则原积分等于 .
现设 ，则 = 在 上内必一致收敛. 所以， . 因而,
， .
当 时,
.
故 .
于是 .故 .
而当 时， = = .
2.5 积分号下求积分法
要对含参变量的广义积分 实现积分号下求积分，需验证以下条件：
（1） 在 ， 上连续；
（2） 在 上内闭一致收敛， 对 在 上内闭一致收敛；
（3） 及 至少有一个收敛.
则 = .
例7 计算广义积分 的值.
解 因 ，故
.
特别地，当 时, .
例8 求广义积分 的值 （Euler-Poisson积分）.
解 由于 .从而 ，
= ,
故 .
例9 求
解 令 ，则 . 根据Abel-Dirichlet判别法，该广义积分收敛.
由上例 ，可知 , 即 . 从而 ，然而在这里验证交换积分的顺序的条件很麻烦. 因而若在原题中可先引进收敛因子 （ ）.记 = =
= 交换积分次序
= ，
从而 = = = = = .
同理可证 = .
2.6 建立微分方程求广义积分法
前面例6中，通过引入参数 ，对 求导. 先求出 ，然后再根据初值得 , 从而算出了所求的广义积分的值. 然而，有的问题中未必能直接求出 ，但有时能建立关于 的一个微分方程，此时我们往往可以根据建立的微分方程求出 .
例10 求广义积分 的值.
解 将 看成参数. 记 ，容易验证积分号下求导条件满足.
从而， = .
= = = .
即 . 解此微分方程得 ，其中 为任意常数. 再注意到 = ，从而 . 故原积分方程得值为 .
例11 求广义积分 的值， .
解 同样将 看成参数，记 ， . 同样积分号下求导的条件满足，从而 = = . 此时 并不容易直接算出，但 = 仍然满足积分号下求导条件. 因而能继续求导，
= = ,
但 仍无法直接算出，然而通过观察，我们有
= = = .
即得到关于 的一个二阶微分方程. 其通解为 = ，其中 ， 为任意常数.再注意到 ， ，则有 ， ， 解得 ， .
因而， = .
例 12 求广义积分 的值.
解 设 = ， ，则 . 由于
=
,
从而可得 ，故 ，其中 为常数.
再由于 ， = ，故 . 从而
= .
由于当 ，当 ，故 = . 所以， .
2.7 级数展开法
对于一些原函数无法用初等函数表示的广义积分，有时我们可以把被积函数展开成级数形式，再利用逐项积分求出其结果. 这个方法我们称之为级数展开法.
例13 求广义积分 的值.
解 的原函数无法用初等函数表示，此时把它展开成级数形式再进行逐项积分.由于 = = .
而大家比较熟悉的一个级数 （1），
从而 （2），
于是（1）-（2）得， （3）. 再由（3）-（2）可得 = = .
结语
本次毕业设计过程中我收获良多，其中感受最多的是对于问题的深度挖掘方面，这不仅对我以后的学习有着重要帮助，也教会我在生活中不能一味的浅显的看待事物.
临近毕业，我也借此机会，向过去四年中给了我太多教导和帮助的老师表示衷心的感谢.
参考文献：
[1] 复旦大学数学系编. 数学分析.[M]. 北京高等教育出版社，1983.
[2] 魏莹，刘荣英.广义积分的几种特殊解法.[J].郧阳高等专科学校校报，2004年6月，卷号（24）：5-7.
[3] F. M、菲赫金哥尔兹著,余家果译.微积分学教程.[M].人民教育出版社，1955.
[4] 李绍成.论广义积分的计算.[J].绵阳农专学报,1996，卷号(13）：65-70.
[5] 钟玉泉.复变函数论.[M]. 北京高等教育出版社.1988.
[6] 同济大学应用数学系编.高等数学.[M].北京高等教育出版社.1987.[8] 黄正中. 高等数学.[M].第二版,人民教育出版社1978.
摘 要
本文在验证某些广义积分的收敛性之后，比较详细地介绍了广义积分的几种计算方法，包括原函数法、变量替换法、分部积分法等方法.
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:广义积分收敛变量替换
目 录
1. 基本知识1
1.1 广义积分的定义1
1.2广义积分的绝对收敛性判别法1
2. 广义积分的一些计算法3
2.1原函数法3
2.2 变量替换法3
2.3 分部积分法5
2.4 积分号下求导法5
2.5 积分号下求积分法7
2.6 建立微分方程求广义积分法8
2.7 级数展开法10
结语11
参考文献12
1．基本知识
1.1广义积分的定义
设在[ , ）上定义的函数 有唯一奇点 ， 有限或 （ 总称为奇点），若对一切 定积分 存在，则广义积分 定义为
， .
若上述极限存在且有极限，则称广义积分 收敛，反之则称为发散. 特别地，若 有限且 ，则称 为具有无穷间断点的广义积分或瑕积分.
而当 时， 称为无穷限的广义积分.
若 在 有唯一的奇点 ，（a有限或 ），类似地可定义广义积分
， .
上述极限存在且有限，则称广义积分 收敛，否则称为发散.
若 在 上连续，并且它在 上存在原函数 ，则
.
以上公式称为广义N.L.公式，在此公式中，若 或 之一或两个都不存在时，广义积分 发散. 以上定义和公式详见[1]、[8]等.
1.2广义积分的绝对收敛性判别法
对于广义积分的收敛性判别，有以下著名的Abel-Dirichlet判别法（A.D.判别法）：
定理1 （A.D.判别法）设 和 在 上存在唯一奇点 ，则当下列条件1和条件2之一满足时，积分 收敛.
条件1 函数 单调且 且存在数M使得对一切 成立
.
条件2 单调有界，且 收敛.
在本文中，我们称形如 ， 的积分为含参变量 的广义积分.其中 是有限区间或无限区间.设积分 在 收敛，如果对任意 ，存在 ，当 时，对一切 成立 ，则称含参变量的广义积分 关于 一致收敛.类似于广义积分的绝对收敛的判别法，含参变量的广义积分 的一致收敛有以下判别法.
定理2 （Weierstrass判别法）设 在 收敛. 如果满足（1） ， . .（2） 收敛，则 关于 一致收敛.
定理3 （Abel判别法）设（1） 关于 一致收敛.（2）函数 关于 单调（即对任意固定的 ， 关于变量 是单调的，并且 关于 和 都有界），则 关于 一致收敛.
定理4 （Dirichlet判别法）设（1） 对任何 和任何 是有界的；（2）函数 关于 单调并且当 时, 关于 是一致的，则
关于 一致收敛.
而且一致收敛的含参变量的广义积分在一定条件下， 在 上连续可导，并且可在积分号内求导. 同时 在 上可积，并且积分顺序可交换.
2. 广义积分的一些计算法
2.1 原函数法
用原函数法解决广义积分的问题，一般用原函数法解决广义积分的时候分为两个步骤：先求原函数，再对原函数取极限.
例1 求广义积分 的值
解 按广义积分的定义计算这一广义积分的值.设 ，则
.
所以， .
类似的求法，我们有
， .
也可用前文提到的广义N.L.公式 . 例如 .
例2 求广义积分 ，其中 .
解
.
2.2 变量替换法
在广义积分中，有的被积函数的原函数不易求出或被积原函数不是初等函数. 此时，直接积分就无法算出它的值，但如果施以恰当的变量替换往往可以换成一个定积分或者辅以一定的技巧可以把该广义积分变的更加简单，从而更容易进行计算. 其一般的变量替换公式与一般定积分的变量替换公式是类似的. 其方法如下：
若 在 上单调，有连续的导数 ， ， （ 为有限数或 ），则 . 下面我们看一些例题.
例3 计算广义积分 ，其中 为实数.
解 令 ，则 ，当 ， ；当 ， .从而
.
再令 ，则 ，当 ， ；当 ， .从而
所以， ，故 .
这是利用三角函数换元求的，看起来有些复杂，我们现在介绍一种相对而言更为简便的方法.由于
，
令 ，则有
=
= =
=
所以原积分= = .
例4 求广义积分 的值.
解 令 ，则原式可转化为 .所以 ，即
原式
.
2.3 分部积分法
分部积分法也是求广义积分的常用方法之一. 方法类似于定积分的求解方法.
下面我们来看一个例子
例5 求广义积分 （ ）的值.
解 由于 ，所以
.
2.4 积分号下求导法
有的广义积分除积分变量外可能含有参数，此时我们对其中的某个参数进行求导，往往可以得所求积分的值. 如果没有其它参数，我们有时也可以引入某个参数，再按上面的方法去做. 要对含参变量的广义积分 实现积分号下求导，即
需验证如下条件：（1） ， 在 ， 上连续；（2） 在 上收敛；(3) 对 一致收敛.
例6 求广义积分 的值.
解 记 ,奇点为 和 .
在 的邻域内，被积函数与 同阶. 而在 领域内与 同阶，因而 收敛.
另外, = ,并且 ，易见 收敛，故 关于 一致收敛.从而 可导，并且可以在积分号下求导.
因此，
.
于是 ，再由于 ，故 .
所以 .
然而，有的广义积分不能直接在积分号下求导，但引入收敛因子之后，可以在积分号下求导.例如，在求Dirichlet积分 时，由Dirichlet判别法易知该积分收敛.但如果把 看成参数，在积分号下求导之后 发散. 从而不满足积分号下求导的条件. 为此，我们需引入收敛因子 ，记
.
只需通过积分号下求导法计算出 ，则原积分等于 .
现设 ，则 = 在 上内必一致收敛. 所以， . 因而,
， .
当 时,
.
故 .
于是 .故 .
而当 时， = = .
2.5 积分号下求积分法
要对含参变量的广义积分 实现积分号下求积分，需验证以下条件：
（1） 在 ， 上连续；
（2） 在 上内闭一致收敛， 对 在 上内闭一致收敛；
（3） 及 至少有一个收敛.
则 = .
例7 计算广义积分 的值.
解 因 ，故
.
特别地，当 时, .
例8 求广义积分 的值 （Euler-Poisson积分）.
解 由于 .从而 ，
= ,
故 .
例9 求
解 令 ，则 . 根据Abel-Dirichlet判别法，该广义积分收敛.
由上例 ，可知 , 即 . 从而 ，然而在这里验证交换积分的顺序的条件很麻烦. 因而若在原题中可先引进收敛因子 （ ）.记 = =
= 交换积分次序
= ，
从而 = = = = = .
同理可证 = .
2.6 建立微分方程求广义积分法
前面例6中，通过引入参数 ，对 求导. 先求出 ，然后再根据初值得 , 从而算出了所求的广义积分的值. 然而，有的问题中未必能直接求出 ，但有时能建立关于 的一个微分方程，此时我们往往可以根据建立的微分方程求出 .
例10 求广义积分 的值.
解 将 看成参数. 记 ，容易验证积分号下求导条件满足.
从而， = .
= = = .
即 . 解此微分方程得 ，其中 为任意常数. 再注意到 = ，从而 . 故原积分方程得值为 .
例11 求广义积分 的值， .
解 同样将 看成参数，记 ， . 同样积分号下求导的条件满足，从而 = = . 此时 并不容易直接算出，但 = 仍然满足积分号下求导条件. 因而能继续求导，
= = ,
但 仍无法直接算出，然而通过观察，我们有
= = = .
即得到关于 的一个二阶微分方程. 其通解为 = ，其中 ， 为任意常数.再注意到 ， ，则有 ， ， 解得 ， .
因而， = .
例 12 求广义积分 的值.
解 设 = ， ，则 . 由于
=
,
从而可得 ，故 ，其中 为常数.
再由于 ， = ，故 . 从而
= .
由于当 ，当 ，故 = . 所以， .
2.7 级数展开法
对于一些原函数无法用初等函数表示的广义积分，有时我们可以把被积函数展开成级数形式，再利用逐项积分求出其结果. 这个方法我们称之为级数展开法.
例13 求广义积分 的值.
解 的原函数无法用初等函数表示，此时把它展开成级数形式再进行逐项积分.由于 = = .
而大家比较熟悉的一个级数 （1），
从而 （2），
于是（1）-（2）得， （3）. 再由（3）-（2）可得 = = .
结语
本次毕业设计过程中我收获良多，其中感受最多的是对于问题的深度挖掘方面，这不仅对我以后的学习有着重要帮助，也教会我在生活中不能一味的浅显的看待事物.
临近毕业，我也借此机会，向过去四年中给了我太多教导和帮助的老师表示衷心的感谢.
参考文献：
[1] 复旦大学数学系编. 数学分析.[M]. 北京高等教育出版社，1983.
[2] 魏莹，刘荣英.广义积分的几种特殊解法.[J].郧阳高等专科学校校报，2004年6月，卷号（24）：5-7.
[3] F. M、菲赫金哥尔兹著,余家果译.微积分学教程.[M].人民教育出版社，1955.
[4] 李绍成.论广义积分的计算.[J].绵阳农专学报,1996，卷号(13）：65-70.
[5] 钟玉泉.复变函数论.[M]. 北京高等教育出版社.1988.
[6] 同济大学应用数学系编.高等数学.[M].北京高等教育出版社.1987.[8] 黄正中. 高等数学.[M].第二版,人民教育出版社1978.
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