二元插值方法及其误差估计
二元插值方法及其误差估计[20191209140905]
摘要
计算数学是数学科学的一个重要的组成部分，主要是探讨利用计算工具，尤其是利用计算机进行计算，同时寻找最简易快捷的方法来解决具体问题中的数值计算。因此，计算数学包含的内容繁多，它囊括了各种应用数学问题之间理论及其求解算法的研究、发展和分析。函数多项式插值法是非常实用的插值方法，许多课程的学习都是以此为基础进行的，比如函数逼近以及微分方程解等等。本篇论文主要对二元插值在数值分析中的问题进行探讨。纵观全文，写作顺序首先是两个经典的一元函数插值，接着讲解了二元函数多项式插值；在文章的最后，基于二维再生核理论,本文推出一种新的二元函数插值计算方法及其误差估计，并通过数值案例验证所提出的二元插值方法。
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关键字:多项式插值二维插值再生核空间
目 录
1 引言 1
1.1 数值分析的背景及介绍 1
1.2 二元插值与逼近的起源发展 1
1.3 本文想要达到的目的 2
2 多项式插值 3
2.1常用的一元插值 3
2.2二元函数多项式插值 9
3 新的插值方法 12
结语 18
参考文献 19
致谢 20
1 引言
1.1 数值分析的背景及介绍
数值分析阐述的主要内容是由John von Neumann在内的多位知名数学家，通过长期合作研究的著作。数值分析方法是处理具体问题中数值计算问题的方法，并且跟着计算工具的进化，特别是计算机技术的成长而快速成长。尽管计算机的发展历史只有几十年，但是人类关于近似计算的种种思想方法，早就在几千年前就已经产生并运用。数学是社会历史文化发展中的璀璨，求解数学问题的算法体系是数学必不可少的重要组成。当我们在介绍多项式插值计算方法时，必然要涉及到拉格朗日、牛顿等数学大师们的研究成果。
数值分析是计算数学不可或缺的一份子，而计算数学同时又是数学科学的重要一部分，其核心是探讨怎样能更好的利用计算机软件，进行方便快捷的解决数值计算及其相关软件的实现[1]。计算数学充分利用数学科研的成果以便寻求更有效更便捷的算法，与数学的每个分支都有紧密的关系。因此数值分析所包含的内容繁多，十分广泛，它包含一切应用数学问题求解算法及其理论的研究、发展和分析。
数值分析主要用于研究求解数学模型的算法，是求解数学模型的一个非常重要的途径和方法，它与计算机的快速发展紧密相连。随着计算工具计算软件的快速发展，这门课程中的数值计算方法及其误差估计有着举足轻重的地位。
通常插值软件包含两个程序，一个用于计算插值多项式，另一个用于计算其在任意点集上的值。第一个程序输入的数据包括数据点的个数及两个一维数组，分别用来存储自变量及其对应的函数值；第二个程序所输入的数据包括需求值的一个或多个变量的值，输出的是相应求值点上的函数值。通常可以用MATLAB软件中的POLYFIT等。在NAG库和IMSL库中也有插值的子程序[2]。
1.2 二元插值与逼近的起源及发展
随着计算机技术的快速成长，二元函数插值在社会生产制造、模型设计等方面有着不可替代的地位。然而实际生产以及科学技术研究中，有许多因素之间存在着各种紧密的联系，而这种联系却不能寻找到明确的函数表达式进行解释，因此大多数情况下都是根据观测实验获得的少许离散点数值。有时即使给出了明确的函数表达式，但是由于表达式的形式过于复杂，不易进行计算使用，因而不能应用于社会生产实践。通过对一元函数逼近的理论研究，可以推广到二元函数逼近，在社会对生产精度方面的要求越来越高的大背景下，对于二元函数逼近的探讨迫在眉睫，包括工厂、领导和科研人员都已深深认识到函数逼近对于高标准产品的重要，现已吸引大量各方面理工科科学研究专家的进行探讨【2】。
现在诸多高端产品诸如神舟飞船、弹道导弹、潜艇军舰等在进行边线外围研究时以及对光斑等科学问题进行描述解释时，都要建立模拟曲面，以方便研究。而在建立曲面是所用的方法就是局部多元插值法，正如函数逼近一样，在这个领域研究的科研家同样很多，也取得了惊人的成就，探讨出了许多多元插值公式，而且随着理论研究的深入以及实践的进行，越来越多的实用公式在被挖掘。通过对具体问题的研究，才能推动函数插值的产生及发展，因此插值公式具体上各不相同，因问题而异，所以和具体的问题量相比可供应用的公式还很少。仅仅使用离散数值来描述拟合曲面是异想天开的，因为拟合曲面非常繁琐，一般情况下都需要作图或者使用实际的三维模型。
1.3 本文想要达到的目的
本文主要通过讨论函数多项式插值的优缺点、误差估计，以及Mathematic数学软件对于多项式插值计算、作图的帮助。 综合利用已学一元函数中经典插值法（朗格朗日插值法）的优秀性质将其延伸拓展到二元函数范围内，进而探究二元插值问题，进一步加深对插值法应用的理解。另外，本文在再生核空间中给出了一种新的有效的多项式插值方法,解决一些常用插值方法不能解决的问题，这同时也是对函数插值方法更深入研究探讨。
2 多项式插值
多项式插值方法在航空航天、造车造船、机械制造等方面具有着难以替代的作用[4]。 比如，当今机械工业生产零件时，需要使用插值程序进行控制机器进行机械生产，根据产品的设计，给出产品边缘特殊点的值 ，为了可以更加准确完美的产品，往往需要计算出产品边缘其他点的值，这样才能更好地控制生产加工机器，进而加工出完美的产品。
所谓的插值函数应该是我们可以通过计算机软件进行优化求解计算的一种函数。多项式插值函数涉及种类繁多，其中就有代数多项式和有理分式，尤其是前者的 次代数多项式通常被使用作为插值函数【7】。下面根据已有知识给出多项式插值法的定理，若 ，则我们称求解 的过程为多项式插值法。
2.1常用的一元插值
我们现在所使用的函数插值法包括有拉格朗日插值法和牛顿插值法以及三次样条插值法【5】，由于本文篇幅有限，下面就以前两种经典一元插值法为例，进行简单的介绍。
拉格朗日多项式插值具备统一的函数表达式形式, 较简单易学，该函数光滑性好，具备对称的特点[7]。当我们增加节点，在此以前的所有计算都将作废,从而致使计算量大大增加；而且函数值存在观察误差，这事不可避免的，因此，每当某个节点函数值发生微小的变化就很有可能引起区间内的插值函数都跟着发生变化,所以说稳定性较差。假设在区间 上， 是已知的各不相同的节点，我们可以创建n次多项式：
=
则 满足
只与插值节点有关。用 的线性组合构建的插值为 ：
，
其中 为待定参数。令
（1）
利用 的性质得
代入公式（1）得到插值多项式为 ：
我们把 叫做 。由此可知， 要由 个 构成，它的系数恰好就是节点上的函数值。
插值余项与误差估计：
当在 上用 近似 ，则插值余项是：
插值余项有如下定理：
定理2.1.1 假定 在 上连续， 在 上 。 是满足 的 ，则对 ， 为：
，
其中 依赖于 .
证：易知当 时，
是正确的。
我们证明当 时结论也成立。
由插值条件知：
这说明 中包含 ：
，
不妨设：
为求出 的表达式，我们可以创建
那么 具有性质
即 具有 个零点。
在 上反复利用罗尔中值定理性质知，必然有点
使得
即
于是
将其代入 可以看出结论正确。证毕。
例2.1：由 的函数表
请尝试建立 ，用以计算出 的 及其 估计。
解：使用 得
因 ，
故有
由此可见，使用 作为 ，可以保证存在两位有效数字。
由插值函数的唯一性定理可知， 与 是相同的，只是表现的形式不同而已。设函数 在 个 上所取 依次为 将 取作：
可以构建以下 次多项式：
比如
等等，其中 为待定参数。为使 成为 ，必须遵循插值条件
确定参数
令
，
我们可知该表达式为联立的方程组，如取 ，即为下式
解三角形方程组，可以求得
等等。对于 的求解，也可以使用Horner算法，即
计算 的值。
插值余项与误差估计：
根据已学插值函数的唯一性，牛顿插值法近似计算需求函数值，其截断误差和拉格朗日插值方法一样
也能够将它写为 。这是由于以 为节点的
从而
由于 可以任意选取，我们把 取为 ，则得
所以 的截断误差可以表示为
又因为 具有以下性质
因此，和逐次线性插值法一样，我们能够把在上面的合式中的第二项
可以看成是计算 的误差的一种比较实用的误差估计式。
例2.2：设 。现已知 的下列数据：
请利用二次牛顿插值计算 并进行估计函数值的误差。
解：由 可得 利用已知条件可得下表：
所以二次牛顿函数插值多项式为：
函数值
其截断误差
2.2二元函数多项式插值
假设 是在 定义的实值函数【11】。
设
我们取 为节点，可以创建 ，使其符合插值条件 。
由有多少个条件可以确定多少个未知数，我们可以知到，联立 个方程式，即可以得到未知数的值。
设 为 的次数不大于 ， 的次数不大于 。接下来在 内，寻找一个 使其符合条件。我们可以参照类比一维拉格朗日插值基函数，使用下面的方法选择 ：
其中， 和 分别是 在 点， 在 点的 ；
为二元多项式，并满足：
这时，便得到：
显然，该式符合插值条件 ：
；
例2.3： 试利用 的函数表
试创建一个 、 的 ，来计算 。
解：由 的二元函数插值多项式可得
误差估计：
设
假设 在区域 上对 有 ，对 有 ，并设 ,则
+
误差估计也可以先 后 ；
若存在常数M和N满足：
则有估计式：
3新的插值方法
二维再生核空间中根据再生核的优秀性质，推出了一种新的插值方法，使用该方法可以避免了拉格朗日等插值法中的龙格现象，且新的计算插值公式更简单，更容易使用计算机软件进行计算【10】。为了构造一个二维再生核空间 ，在这个空间构造之前，你需要先建立一个符合初值条件的一元再生核空间 ，一个符合边值条件的再生核空间 。
定义3.1 在 上是绝 对 连 续 实 函 数，而且 .
在 定义内积：对 ，令
取范数 .
易证 为再生核空间。
进而知其再生核为：
定义3.2 在 上是绝对连续实函数，而且 .
在 定义内积：对 ，令
取范数 .
易证 为再生核空间。
进而知其再生核是：
其中：
二元再生核空间 的构造：
设 是再生核空间 ， ，定义
对 ， ，
，
类似地，我们可以定义
引理3.1 如果 , ,则
引理3.2 ，并且其再生核是：
其中 ,
令 ，其中 是 的再生核， 为函数 的插值节点，对 进行 ，便得空间 中一有限维闭子空间S的标准正交系 ，且
定理3.1 若 是 在 上的插值节点，则称 是 在空间 ，其中【1】
证明：显然，
注意到
所以，
如果 ，则
如果 ，则
显然，
类似可得，
所以， 为 在空间 中的插值函数。证毕。
在 中，若 是 的再生核
上面的 便为 在 。
摘要
计算数学是数学科学的一个重要的组成部分，主要是探讨利用计算工具，尤其是利用计算机进行计算，同时寻找最简易快捷的方法来解决具体问题中的数值计算。因此，计算数学包含的内容繁多，它囊括了各种应用数学问题之间理论及其求解算法的研究、发展和分析。函数多项式插值法是非常实用的插值方法，许多课程的学习都是以此为基础进行的，比如函数逼近以及微分方程解等等。本篇论文主要对二元插值在数值分析中的问题进行探讨。纵观全文，写作顺序首先是两个经典的一元函数插值，接着讲解了二元函数多项式插值；在文章的最后，基于二维再生核理论,本文推出一种新的二元函数插值计算方法及其误差估计，并通过数值案例验证所提出的二元插值方法。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:多项式插值二维插值再生核空间
目 录
1 引言 1
1.1 数值分析的背景及介绍 1
1.2 二元插值与逼近的起源发展 1
1.3 本文想要达到的目的 2
2 多项式插值 3
2.1常用的一元插值 3
2.2二元函数多项式插值 9
3 新的插值方法 12
结语 18
参考文献 19
致谢 20
1 引言
1.1 数值分析的背景及介绍
数值分析阐述的主要内容是由John von Neumann在内的多位知名数学家，通过长期合作研究的著作。数值分析方法是处理具体问题中数值计算问题的方法，并且跟着计算工具的进化，特别是计算机技术的成长而快速成长。尽管计算机的发展历史只有几十年，但是人类关于近似计算的种种思想方法，早就在几千年前就已经产生并运用。数学是社会历史文化发展中的璀璨，求解数学问题的算法体系是数学必不可少的重要组成。当我们在介绍多项式插值计算方法时，必然要涉及到拉格朗日、牛顿等数学大师们的研究成果。
数值分析是计算数学不可或缺的一份子，而计算数学同时又是数学科学的重要一部分，其核心是探讨怎样能更好的利用计算机软件，进行方便快捷的解决数值计算及其相关软件的实现[1]。计算数学充分利用数学科研的成果以便寻求更有效更便捷的算法，与数学的每个分支都有紧密的关系。因此数值分析所包含的内容繁多，十分广泛，它包含一切应用数学问题求解算法及其理论的研究、发展和分析。
数值分析主要用于研究求解数学模型的算法，是求解数学模型的一个非常重要的途径和方法，它与计算机的快速发展紧密相连。随着计算工具计算软件的快速发展，这门课程中的数值计算方法及其误差估计有着举足轻重的地位。
通常插值软件包含两个程序，一个用于计算插值多项式，另一个用于计算其在任意点集上的值。第一个程序输入的数据包括数据点的个数及两个一维数组，分别用来存储自变量及其对应的函数值；第二个程序所输入的数据包括需求值的一个或多个变量的值，输出的是相应求值点上的函数值。通常可以用MATLAB软件中的POLYFIT等。在NAG库和IMSL库中也有插值的子程序[2]。
1.2 二元插值与逼近的起源及发展
随着计算机技术的快速成长，二元函数插值在社会生产制造、模型设计等方面有着不可替代的地位。然而实际生产以及科学技术研究中，有许多因素之间存在着各种紧密的联系，而这种联系却不能寻找到明确的函数表达式进行解释，因此大多数情况下都是根据观测实验获得的少许离散点数值。有时即使给出了明确的函数表达式，但是由于表达式的形式过于复杂，不易进行计算使用，因而不能应用于社会生产实践。通过对一元函数逼近的理论研究，可以推广到二元函数逼近，在社会对生产精度方面的要求越来越高的大背景下，对于二元函数逼近的探讨迫在眉睫，包括工厂、领导和科研人员都已深深认识到函数逼近对于高标准产品的重要，现已吸引大量各方面理工科科学研究专家的进行探讨【2】。
现在诸多高端产品诸如神舟飞船、弹道导弹、潜艇军舰等在进行边线外围研究时以及对光斑等科学问题进行描述解释时，都要建立模拟曲面，以方便研究。而在建立曲面是所用的方法就是局部多元插值法，正如函数逼近一样，在这个领域研究的科研家同样很多，也取得了惊人的成就，探讨出了许多多元插值公式，而且随着理论研究的深入以及实践的进行，越来越多的实用公式在被挖掘。通过对具体问题的研究，才能推动函数插值的产生及发展，因此插值公式具体上各不相同，因问题而异，所以和具体的问题量相比可供应用的公式还很少。仅仅使用离散数值来描述拟合曲面是异想天开的，因为拟合曲面非常繁琐，一般情况下都需要作图或者使用实际的三维模型。
1.3 本文想要达到的目的
本文主要通过讨论函数多项式插值的优缺点、误差估计，以及Mathematic数学软件对于多项式插值计算、作图的帮助。 综合利用已学一元函数中经典插值法（朗格朗日插值法）的优秀性质将其延伸拓展到二元函数范围内，进而探究二元插值问题，进一步加深对插值法应用的理解。另外，本文在再生核空间中给出了一种新的有效的多项式插值方法,解决一些常用插值方法不能解决的问题，这同时也是对函数插值方法更深入研究探讨。
2 多项式插值
多项式插值方法在航空航天、造车造船、机械制造等方面具有着难以替代的作用[4]。 比如，当今机械工业生产零件时，需要使用插值程序进行控制机器进行机械生产，根据产品的设计，给出产品边缘特殊点的值 ，为了可以更加准确完美的产品，往往需要计算出产品边缘其他点的值，这样才能更好地控制生产加工机器，进而加工出完美的产品。
所谓的插值函数应该是我们可以通过计算机软件进行优化求解计算的一种函数。多项式插值函数涉及种类繁多，其中就有代数多项式和有理分式，尤其是前者的 次代数多项式通常被使用作为插值函数【7】。下面根据已有知识给出多项式插值法的定理，若 ，则我们称求解 的过程为多项式插值法。
2.1常用的一元插值
我们现在所使用的函数插值法包括有拉格朗日插值法和牛顿插值法以及三次样条插值法【5】，由于本文篇幅有限，下面就以前两种经典一元插值法为例，进行简单的介绍。
拉格朗日多项式插值具备统一的函数表达式形式, 较简单易学，该函数光滑性好，具备对称的特点[7]。当我们增加节点，在此以前的所有计算都将作废,从而致使计算量大大增加；而且函数值存在观察误差，这事不可避免的，因此，每当某个节点函数值发生微小的变化就很有可能引起区间内的插值函数都跟着发生变化,所以说稳定性较差。假设在区间 上， 是已知的各不相同的节点，我们可以创建n次多项式：
=
则 满足
只与插值节点有关。用 的线性组合构建的插值为 ：
，
其中 为待定参数。令
（1）
利用 的性质得
代入公式（1）得到插值多项式为 ：
我们把 叫做 。由此可知， 要由 个 构成，它的系数恰好就是节点上的函数值。
插值余项与误差估计：
当在 上用 近似 ，则插值余项是：
插值余项有如下定理：
定理2.1.1 假定 在 上连续， 在 上 。 是满足 的 ，则对 ， 为：
，
其中 依赖于 .
证：易知当 时，
是正确的。
我们证明当 时结论也成立。
由插值条件知：
这说明 中包含 ：
，
不妨设：
为求出 的表达式，我们可以创建
那么 具有性质
即 具有 个零点。
在 上反复利用罗尔中值定理性质知，必然有点
使得
即
于是
将其代入 可以看出结论正确。证毕。
例2.1：由 的函数表
请尝试建立 ，用以计算出 的 及其 估计。
解：使用 得
因 ，
故有
由此可见，使用 作为 ，可以保证存在两位有效数字。
由插值函数的唯一性定理可知， 与 是相同的，只是表现的形式不同而已。设函数 在 个 上所取 依次为 将 取作：
可以构建以下 次多项式：
比如
等等，其中 为待定参数。为使 成为 ，必须遵循插值条件
确定参数
令
，
我们可知该表达式为联立的方程组，如取 ，即为下式
解三角形方程组，可以求得
等等。对于 的求解，也可以使用Horner算法，即
计算 的值。
插值余项与误差估计：
根据已学插值函数的唯一性，牛顿插值法近似计算需求函数值，其截断误差和拉格朗日插值方法一样
也能够将它写为 。这是由于以 为节点的
从而
由于 可以任意选取，我们把 取为 ，则得
所以 的截断误差可以表示为
又因为 具有以下性质
因此，和逐次线性插值法一样，我们能够把在上面的合式中的第二项
可以看成是计算 的误差的一种比较实用的误差估计式。
例2.2：设 。现已知 的下列数据：
请利用二次牛顿插值计算 并进行估计函数值的误差。
解：由 可得 利用已知条件可得下表：
所以二次牛顿函数插值多项式为：
函数值
其截断误差
2.2二元函数多项式插值
假设 是在 定义的实值函数【11】。
设
我们取 为节点，可以创建 ，使其符合插值条件 。
由有多少个条件可以确定多少个未知数，我们可以知到，联立 个方程式，即可以得到未知数的值。
设 为 的次数不大于 ， 的次数不大于 。接下来在 内，寻找一个 使其符合条件。我们可以参照类比一维拉格朗日插值基函数，使用下面的方法选择 ：
其中， 和 分别是 在 点， 在 点的 ；
为二元多项式，并满足：
这时，便得到：
显然，该式符合插值条件 ：
；
例2.3： 试利用 的函数表
试创建一个 、 的 ，来计算 。
解：由 的二元函数插值多项式可得
误差估计：
设
假设 在区域 上对 有 ，对 有 ，并设 ,则
+
误差估计也可以先 后 ；
若存在常数M和N满足：
则有估计式：
3新的插值方法
二维再生核空间中根据再生核的优秀性质，推出了一种新的插值方法，使用该方法可以避免了拉格朗日等插值法中的龙格现象，且新的计算插值公式更简单，更容易使用计算机软件进行计算【10】。为了构造一个二维再生核空间 ，在这个空间构造之前，你需要先建立一个符合初值条件的一元再生核空间 ，一个符合边值条件的再生核空间 。
定义3.1 在 上是绝 对 连 续 实 函 数，而且 .
在 定义内积：对 ，令
取范数 .
易证 为再生核空间。
进而知其再生核为：
定义3.2 在 上是绝对连续实函数，而且 .
在 定义内积：对 ，令
取范数 .
易证 为再生核空间。
进而知其再生核是：
其中：
二元再生核空间 的构造：
设 是再生核空间 ， ，定义
对 ， ，
，
类似地，我们可以定义
引理3.1 如果 , ,则
引理3.2 ，并且其再生核是：
其中 ,
令 ，其中 是 的再生核， 为函数 的插值节点，对 进行 ，便得空间 中一有限维闭子空间S的标准正交系 ，且
定理3.1 若 是 在 上的插值节点，则称 是 在空间 ，其中【1】
证明：显然，
注意到
所以，
如果 ，则
如果 ，则
显然，
类似可得，
所以， 为 在空间 中的插值函数。证毕。
在 中，若 是 的再生核
上面的 便为 在 。
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