具有边界层的奇摄动转向点问题的求解方法
具有边界层的奇摄动转向点问题的求解方法[20191209141637]
摘 要
奇异摄动问题已经被研究了近一个世纪，基于再生核方法，我们提出了求解具有边界层的奇异摄动转向点问题，首先，问题就被分为正则域问题和边界层问题。它们是针对含有小参数的系统而言的，如果是正则域问题，则小参数为零和不为零时得到的解的差别不大，这时我们可用小参数为零时的系统(又称退化系统)的解近似替代原系统的解，用再生核方法求解。对边界层问题，则小参数为零和不为零的情况差别就很大，此类奇异摄动问题中，小参数往往出现在最高阶导数前，这时，我们结合伸缩变量法和再生核方法来处理。转向点的边值条件可以使用近似解和它在这些点的一阶导数的连续性。另外，本论文通过两个数值算例来说明再生核方法解决奇异摄动转向点问题的有效性。从结果上与其他方法相比，本方法对于求解具有边界层的奇摄动转向点问题提供了非常精确的近似解。
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关键字:再生核方法边界层奇摄动问题转向点
目 录
1 引言 1
1.1背景介绍 1
1.2 国内外研究现状分析 1
1.3 再生核理论的简介 2
1.4 研究目的和意义 4
2 求解边界层的数值方法 5
2.1正则区域问题的解决方法 6
2.2 边界层区域问题的解决方法 9
3 数值算例 12
结语 14
参考文献 15
致谢 16
1 引言
1.1背景介绍
奇（异）摄动问题，即小扰动导致系统大影响问题。和其他许多数学的分支一样，奇摄动理论起源于物理学中的扰动现象，这类现象具有非常明显的过渡性变化的特征。
奇摄动问题理论和方法是一门非常活跃和不断拓展的学科，它的各种方法在生物流体动力学、海洋大气层环流、化学反应、最优化控制等领域有着广泛的应用，这些问题被称为最高阶导数含有小参数的现象，当这类问题中的参数非常小（一般趋于零）时，对应的微分方程是刚性的，并且有解决方法中小参数变化非常快慢不同的边界层和正则区域，在正则区域，奇异摄动问题的解变化幅度不大，此时我们可以把参数设为零，从而使得方程的阶数降低，因此求所得退化方程的解就显得非常简单，这类问题就变成了微分代数问题。而在边界层，该问题的解波动用去软件模拟出来的图像幅度变化非常大，这类问题的难度一般较大，在几十年，也取得的不错的成果，这类问题在解决实际问题中发挥着重大作用。
对于边界层和正则区域，这些问题的数值解决方法目前主要存在一些计算上的困难。同时，与非转向点奇异摄动问题相比，转向点问题处理起来更加复杂，初期的研究成果较少。就目前而言，对奇摄动转向点问题的数值方法的讨论仍然是相对较少的。Phaneendra1、Reddy和Soujanya打破传统思维的束缚，首次提出了用统一网格的数值积分方法来处理奇异摄动转向点问题。而Rai和Sharma[1]两人合作通过不懈的努力提出了一种数值方法来解决奇异摄动转向点差分方程。与此同时，Agora、Kadalbajoo和Gupta[2]在前人基础上对于解决具有边界层的奇异摄动问题提出了人工粘度的搭配方法。自此，人们对奇异摄动理论的研究拉开了了帷幕。
1.2 国内外研究现状分析
奇异摄动问题的理论和方法起源于泛函分析，在空间理论和算子理论发展基础上，历经一个多世纪的发展，奇摄动理论已经成为应用数学领域的一个重要分支，并且在这一分支中发挥着越来重要的作用，这些问题存在使用最高阶导数的小参数特征，而且这些方法都是僵硬的，并且存在变化明显不同的边界层或内部层。
奇摄动问题解的一个明显特点是：因变量在边界层附近区域的变化会非常剧烈。这种现象在物理上很常见，在流体力学上称之为边界层，在固体力学上称之为附面层，而在电动力学上又称之为趋肤层。在国内，解决这类问题的技巧之一是由倪明康提出的匹配渐近展开法，或简称为匹配展开法。
在国内外对奇摄动问题的广泛研究后，尤其是近些年以来，研究者们总结前人的成果，汲取他们的不足，在科学道路上大胆创新，经过不断地探索，提出了解决这类问题的种种方法，内容极其丰富。
1948年，中国物理学大师钱伟长在解决板壳大扰度问题时，开创性地提出了合成展开法。上世纪六十年代，在奇摄动理论和方法的基础上，奇异摄动问题开始了应用阶段，最初开始应用于机器人领域、航天技术领域、制造业等许多方面，但是此时处理奇摄动问题的主要方法仍是渐近方法。
到了二十世纪六十年代，Brethenton[3]率先提出了匹配渐近展开法。之后，Van Dyke、Carrier、Neffie、江福汝、钱伟长、郭永怀、钱学森、DeJager和Tikhonov等学者在Brethenton的基础上进一步推进该方法向前发展，并将它应用于流体力学，空气动力学和地球物理等不同领域中的奇摄动问题，并取得了令人瞩目的成果。
七十年代，莫嘉琪[4]、林武忠[5]和倪明康等前辈在奇摄动问题方面做了大量的工作，其中倪明康在抵达俄罗斯进行十余年留洋的潜心学习和研究后，回到国内任教于华东师范大学，出版了国内少有的包含奇摄动问题的渐近方法理论的文献专著，并且将最新的研究成果的论文发表于国内外知名期刊和杂志，这对后期奇异摄动方程解的渐进展开方法的研究及应用产生了深远的影响。崔明根和耿发展[6]在扎实的理论基础上，在奇异摄动问题这条道路上继续前进，结合渐近展开技术和再生核方法，提出了求解特殊的二阶奇异摄动边值问题和三阶奇摄动边值问题的方法，极大丰富了奇异摄动理论。与此同时，蔡新和刘发两人提出采用收敛的差分方法和多过渡点差分方法求解奇摄动问题，使得奇异摄动问题的理论成果更加完善。
近些年来在国际上，关于奇摄动问题的近似解方法的研究发展迅速，学者们总结前人的经验成果，通过不断地探索，提出了很多求解奇摄动问题的方法，这些方法只要是有限差分法、边值技术等，并在奇异摄动问题方面发表了大量奇异摄动理论的高质量论文。
1.3 再生核理论的简介
Hilbert空间的再生核理论起源于20世纪30年代，国内外已经发表的文献呈现出该方法许多突出特点，并且适合于分析和处理一些非线性问题。
N.Aronszajn在总结前人的理论基础上，于1943年首次提出了包括Berman核函数在内的系统再生核理论[7]。随后，再生核理论在复分析、偏微分方程、计算数学和积分方程等领域得到广泛的应用。
20世纪七十年代，张艳英、谢树森、李云晖、邓中兴等对包括空间算子和线性算子在内的一些算子方程问题进行了研究。其中，谢树森[8]给出了再生核空间 并演算出积分方程的数值解，取得骄人的成绩。而李云晖[9]则创造性地在再生核空间 中引入了一类积分微分方程的精确解，推进再生核理论向前迈进一大步。另外，国防科技大学张新建[10]等在再生核理论方面总结前人的研究成果，甘于孤独寂寞，默默在科研第一线做出了很大的努力，取得了丰硕的研究成果。
近20年以来，基于再生核理论的研究已经被广泛应用于控制工程、小波变换、信号处理、小波分析等研究领域中。由此可设想，再生核空间的应用已经深入了众多领域，甚至与我们的生活密不可分，并且具有极广阔的发展前景。
再生核的性质：
为了介绍再生核的性质，我们先来引入在泛函分析中广泛应用的内积空间：
设 为线性空间，在积空间 内定义一个“有序”二元泛函 ,，如果满足下列条件：
(i) 如果对于任意的 ， ，并且 的充要条件是 ;
(ii) 如果对于任意的 ， 都成立;
(iii) 如果对于任意的 和 ， 都成立.
则称该二元泛函 为线性空间 上的内积，并称此内积的线性空间 为内积空间。
注1：设 是内积空间，如果令 ，那么 为 上的范数，因此，内积空间必为赋范空间。
注2：内积 是 和 的二元连续函数，也就是说，如果 ，
那么，
注3：在内积空间 中定义函数 的开方为 的范数， 称为赋范空间。
接着，我们列出有关再生核与本论文有关的性质。
（1） ，对任意的 。
（2）再生核是正定的，也即是，对任意的 ， ， ，总有， 。
（3）共轭对称性。也就是说， 。
1.4 研究目的和意义
奇异摄动问题已经被研究了大半个世纪，经过众多学者的不断努力和探索，可谓成果丰硕。然而，从国内外已出版的相关文献来看，具有转向点的奇摄动问题的有效数值求解方法的研究却很少，而该问题在控制工程等领域中却有很多极其重要的应用。就目前而言，学者们对奇摄动转向点问题的数值方法的讨论是相对较少的，这方面的研究无疑将对以后该领域的研究和其他领域的研究产生深远的铺垫作用。
再生核理论自被提出到现在，已经广泛应用在数值分析、微分方程、概率与统计、数值计算以及其它相关领域。近年来，很多学者基于再生核理论引入了偏微分方程的数值求解方法以及边值问题等，然而这些方法很难直接应用到奇摄动微分方程上，尤其是对于奇异摄动转向点问题，直接应用更加困难。Geng[11]通过对前人求解奇异摄动问题方法的研究，结合渐进展开方法，创造性地提出了一种数值方法用来求解一类线性奇摄动边值微分方程的近似解。然而，这种方法不能用于解决奇摄动转向点问题。本论文的主要目标就是针对具有边界层奇异摄动转向点问题，我们引出一种解决这种问题并基于再生核方法的数值方法。进而对奇异摄动问题更深入的研究和对该理论应用领域的研究。同时也是由于该问题应用如此广泛，吸引了一大批对该问题感兴趣的学者们争相研究，在学术的大舞台上产生更加丰硕的成果。
2 求解边界层的数值方法
首先，针对下面的奇异摄动转向点问题：
(2.1)
不妨假设函数 , 和 是定义在 内充分光滑的，且使得问题(2.1)满足定义域内的唯一解。
依据 的取值，方程(2.1)的解表现出边界层或内部层的特性。当系数 时，称该区域的点为转向点。与非转向点问题相比，具有边界层或内部层的转向点问题处理起来往往更加棘手。这里，我们主要考虑如何解决具有边界层奇摄动转向点问题的情况。
为了解决问题(2.1)，我们不妨做出假设：
(2.2)
通过假设（2.2），问题（2.1）在所有的端点处，分别具有边界层的唯一解。
设 和 ，且 是正数。根据论文[12]，不妨把问题（2.1）中的区间 划分为三个互不重叠的子区间 , 和 分别加以分析。其中，子区间 表示正则区域，而子区间 和 则表示边界层区域。
在正则区域 内，我们常常使用再生核方法解决在 或 的变换边值条件下求方程（2.1）的解。在边界层区域 和 上，本论文结合延伸变量方法和再生核方法来处理在 或 的变换边值条件下问题（2.1）的解。为了获得在所谓的转换点的边值条件，常常使用在这些点上近似解和它的一阶导数的连续性。在解决正则区域和边界层区域问题的前提下，可以结合它们的解得到问题（2.1）在整个区域 的近似解。
设 和 ，其中 和 在随后的一部分将给出。
2.1正则区域问题的解决方法
在正则区域 内来考虑问题(2.1)。
(2.3)
为了解决上述问题，引入一个未知函数
(2.4)
且 ，并且使得 ， 成立。
问题（2.3）在非齐次边界条件下可以等价于创建一个未知函数 使得
(2.5)
成立，且 。
根据文献[13]，对于问题(2.5)， 我们用再生核方法求其近似解，为此，我们来构造一个再生核空间 ，并给出其定义。
定义2.1 是绝对连续的函数，且 的内积和范数[13]分别表示为
和
定理 2.1 满足定义2.1的 为再生核空间，它的再生核表示为
(2.6)
且
定义 2.2 希尔伯特空间 为绝对连续的实值函数， ， 的范数和内积分别表示为 与
定理 2.2 满足定义2.2的 是一个再生核空间，它的再生核可表示为
(2.7)
对于问题(2.5)，显然 满足有界线性算子的定义。我们令 和 ，且 为 的伴随算子。由有界线性算子的性质，根据 的施密特正交化，不难得出 是 的正交系，而且其正交系可表示为
摘 要
奇异摄动问题已经被研究了近一个世纪，基于再生核方法，我们提出了求解具有边界层的奇异摄动转向点问题，首先，问题就被分为正则域问题和边界层问题。它们是针对含有小参数的系统而言的，如果是正则域问题，则小参数为零和不为零时得到的解的差别不大，这时我们可用小参数为零时的系统(又称退化系统)的解近似替代原系统的解，用再生核方法求解。对边界层问题，则小参数为零和不为零的情况差别就很大，此类奇异摄动问题中，小参数往往出现在最高阶导数前，这时，我们结合伸缩变量法和再生核方法来处理。转向点的边值条件可以使用近似解和它在这些点的一阶导数的连续性。另外，本论文通过两个数值算例来说明再生核方法解决奇异摄动转向点问题的有效性。从结果上与其他方法相比，本方法对于求解具有边界层的奇摄动转向点问题提供了非常精确的近似解。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:再生核方法边界层奇摄动问题转向点
目 录
1 引言 1
1.1背景介绍 1
1.2 国内外研究现状分析 1
1.3 再生核理论的简介 2
1.4 研究目的和意义 4
2 求解边界层的数值方法 5
2.1正则区域问题的解决方法 6
2.2 边界层区域问题的解决方法 9
3 数值算例 12
结语 14
参考文献 15
致谢 16
1 引言
1.1背景介绍
奇（异）摄动问题，即小扰动导致系统大影响问题。和其他许多数学的分支一样，奇摄动理论起源于物理学中的扰动现象，这类现象具有非常明显的过渡性变化的特征。
奇摄动问题理论和方法是一门非常活跃和不断拓展的学科，它的各种方法在生物流体动力学、海洋大气层环流、化学反应、最优化控制等领域有着广泛的应用，这些问题被称为最高阶导数含有小参数的现象，当这类问题中的参数非常小（一般趋于零）时，对应的微分方程是刚性的，并且有解决方法中小参数变化非常快慢不同的边界层和正则区域，在正则区域，奇异摄动问题的解变化幅度不大，此时我们可以把参数设为零，从而使得方程的阶数降低，因此求所得退化方程的解就显得非常简单，这类问题就变成了微分代数问题。而在边界层，该问题的解波动用去软件模拟出来的图像幅度变化非常大，这类问题的难度一般较大，在几十年，也取得的不错的成果，这类问题在解决实际问题中发挥着重大作用。
对于边界层和正则区域，这些问题的数值解决方法目前主要存在一些计算上的困难。同时，与非转向点奇异摄动问题相比，转向点问题处理起来更加复杂，初期的研究成果较少。就目前而言，对奇摄动转向点问题的数值方法的讨论仍然是相对较少的。Phaneendra1、Reddy和Soujanya打破传统思维的束缚，首次提出了用统一网格的数值积分方法来处理奇异摄动转向点问题。而Rai和Sharma[1]两人合作通过不懈的努力提出了一种数值方法来解决奇异摄动转向点差分方程。与此同时，Agora、Kadalbajoo和Gupta[2]在前人基础上对于解决具有边界层的奇异摄动问题提出了人工粘度的搭配方法。自此，人们对奇异摄动理论的研究拉开了了帷幕。
1.2 国内外研究现状分析
奇异摄动问题的理论和方法起源于泛函分析，在空间理论和算子理论发展基础上，历经一个多世纪的发展，奇摄动理论已经成为应用数学领域的一个重要分支，并且在这一分支中发挥着越来重要的作用，这些问题存在使用最高阶导数的小参数特征，而且这些方法都是僵硬的，并且存在变化明显不同的边界层或内部层。
奇摄动问题解的一个明显特点是：因变量在边界层附近区域的变化会非常剧烈。这种现象在物理上很常见，在流体力学上称之为边界层，在固体力学上称之为附面层，而在电动力学上又称之为趋肤层。在国内，解决这类问题的技巧之一是由倪明康提出的匹配渐近展开法，或简称为匹配展开法。
在国内外对奇摄动问题的广泛研究后，尤其是近些年以来，研究者们总结前人的成果，汲取他们的不足，在科学道路上大胆创新，经过不断地探索，提出了解决这类问题的种种方法，内容极其丰富。
1948年，中国物理学大师钱伟长在解决板壳大扰度问题时，开创性地提出了合成展开法。上世纪六十年代，在奇摄动理论和方法的基础上，奇异摄动问题开始了应用阶段，最初开始应用于机器人领域、航天技术领域、制造业等许多方面，但是此时处理奇摄动问题的主要方法仍是渐近方法。
到了二十世纪六十年代，Brethenton[3]率先提出了匹配渐近展开法。之后，Van Dyke、Carrier、Neffie、江福汝、钱伟长、郭永怀、钱学森、DeJager和Tikhonov等学者在Brethenton的基础上进一步推进该方法向前发展，并将它应用于流体力学，空气动力学和地球物理等不同领域中的奇摄动问题，并取得了令人瞩目的成果。
七十年代，莫嘉琪[4]、林武忠[5]和倪明康等前辈在奇摄动问题方面做了大量的工作，其中倪明康在抵达俄罗斯进行十余年留洋的潜心学习和研究后，回到国内任教于华东师范大学，出版了国内少有的包含奇摄动问题的渐近方法理论的文献专著，并且将最新的研究成果的论文发表于国内外知名期刊和杂志，这对后期奇异摄动方程解的渐进展开方法的研究及应用产生了深远的影响。崔明根和耿发展[6]在扎实的理论基础上，在奇异摄动问题这条道路上继续前进，结合渐近展开技术和再生核方法，提出了求解特殊的二阶奇异摄动边值问题和三阶奇摄动边值问题的方法，极大丰富了奇异摄动理论。与此同时，蔡新和刘发两人提出采用收敛的差分方法和多过渡点差分方法求解奇摄动问题，使得奇异摄动问题的理论成果更加完善。
近些年来在国际上，关于奇摄动问题的近似解方法的研究发展迅速，学者们总结前人的经验成果，通过不断地探索，提出了很多求解奇摄动问题的方法，这些方法只要是有限差分法、边值技术等，并在奇异摄动问题方面发表了大量奇异摄动理论的高质量论文。
1.3 再生核理论的简介
Hilbert空间的再生核理论起源于20世纪30年代，国内外已经发表的文献呈现出该方法许多突出特点，并且适合于分析和处理一些非线性问题。
N.Aronszajn在总结前人的理论基础上，于1943年首次提出了包括Berman核函数在内的系统再生核理论[7]。随后，再生核理论在复分析、偏微分方程、计算数学和积分方程等领域得到广泛的应用。
20世纪七十年代，张艳英、谢树森、李云晖、邓中兴等对包括空间算子和线性算子在内的一些算子方程问题进行了研究。其中，谢树森[8]给出了再生核空间 并演算出积分方程的数值解，取得骄人的成绩。而李云晖[9]则创造性地在再生核空间 中引入了一类积分微分方程的精确解，推进再生核理论向前迈进一大步。另外，国防科技大学张新建[10]等在再生核理论方面总结前人的研究成果，甘于孤独寂寞，默默在科研第一线做出了很大的努力，取得了丰硕的研究成果。
近20年以来，基于再生核理论的研究已经被广泛应用于控制工程、小波变换、信号处理、小波分析等研究领域中。由此可设想，再生核空间的应用已经深入了众多领域，甚至与我们的生活密不可分，并且具有极广阔的发展前景。
再生核的性质：
为了介绍再生核的性质，我们先来引入在泛函分析中广泛应用的内积空间：
设 为线性空间，在积空间 内定义一个“有序”二元泛函 ,，如果满足下列条件：
(i) 如果对于任意的 ， ，并且 的充要条件是 ;
(ii) 如果对于任意的 ， 都成立;
(iii) 如果对于任意的 和 ， 都成立.
则称该二元泛函 为线性空间 上的内积，并称此内积的线性空间 为内积空间。
注1：设 是内积空间，如果令 ，那么 为 上的范数，因此，内积空间必为赋范空间。
注2：内积 是 和 的二元连续函数，也就是说，如果 ，
那么，
注3：在内积空间 中定义函数 的开方为 的范数， 称为赋范空间。
接着，我们列出有关再生核与本论文有关的性质。
（1） ，对任意的 。
（2）再生核是正定的，也即是，对任意的 ， ， ，总有， 。
（3）共轭对称性。也就是说， 。
1.4 研究目的和意义
奇异摄动问题已经被研究了大半个世纪，经过众多学者的不断努力和探索，可谓成果丰硕。然而，从国内外已出版的相关文献来看，具有转向点的奇摄动问题的有效数值求解方法的研究却很少，而该问题在控制工程等领域中却有很多极其重要的应用。就目前而言，学者们对奇摄动转向点问题的数值方法的讨论是相对较少的，这方面的研究无疑将对以后该领域的研究和其他领域的研究产生深远的铺垫作用。
再生核理论自被提出到现在，已经广泛应用在数值分析、微分方程、概率与统计、数值计算以及其它相关领域。近年来，很多学者基于再生核理论引入了偏微分方程的数值求解方法以及边值问题等，然而这些方法很难直接应用到奇摄动微分方程上，尤其是对于奇异摄动转向点问题，直接应用更加困难。Geng[11]通过对前人求解奇异摄动问题方法的研究，结合渐进展开方法，创造性地提出了一种数值方法用来求解一类线性奇摄动边值微分方程的近似解。然而，这种方法不能用于解决奇摄动转向点问题。本论文的主要目标就是针对具有边界层奇异摄动转向点问题，我们引出一种解决这种问题并基于再生核方法的数值方法。进而对奇异摄动问题更深入的研究和对该理论应用领域的研究。同时也是由于该问题应用如此广泛，吸引了一大批对该问题感兴趣的学者们争相研究，在学术的大舞台上产生更加丰硕的成果。
2 求解边界层的数值方法
首先，针对下面的奇异摄动转向点问题：
(2.1)
不妨假设函数 , 和 是定义在 内充分光滑的，且使得问题(2.1)满足定义域内的唯一解。
依据 的取值，方程(2.1)的解表现出边界层或内部层的特性。当系数 时，称该区域的点为转向点。与非转向点问题相比，具有边界层或内部层的转向点问题处理起来往往更加棘手。这里，我们主要考虑如何解决具有边界层奇摄动转向点问题的情况。
为了解决问题(2.1)，我们不妨做出假设：
(2.2)
通过假设（2.2），问题（2.1）在所有的端点处，分别具有边界层的唯一解。
设 和 ，且 是正数。根据论文[12]，不妨把问题（2.1）中的区间 划分为三个互不重叠的子区间 , 和 分别加以分析。其中，子区间 表示正则区域，而子区间 和 则表示边界层区域。
在正则区域 内，我们常常使用再生核方法解决在 或 的变换边值条件下求方程（2.1）的解。在边界层区域 和 上，本论文结合延伸变量方法和再生核方法来处理在 或 的变换边值条件下问题（2.1）的解。为了获得在所谓的转换点的边值条件，常常使用在这些点上近似解和它的一阶导数的连续性。在解决正则区域和边界层区域问题的前提下，可以结合它们的解得到问题（2.1）在整个区域 的近似解。
设 和 ，其中 和 在随后的一部分将给出。
2.1正则区域问题的解决方法
在正则区域 内来考虑问题(2.1)。
(2.3)
为了解决上述问题，引入一个未知函数
(2.4)
且 ，并且使得 ， 成立。
问题（2.3）在非齐次边界条件下可以等价于创建一个未知函数 使得
(2.5)
成立，且 。
根据文献[13]，对于问题(2.5)， 我们用再生核方法求其近似解，为此，我们来构造一个再生核空间 ，并给出其定义。
定义2.1 是绝对连续的函数，且 的内积和范数[13]分别表示为
和
定理 2.1 满足定义2.1的 为再生核空间，它的再生核表示为
(2.6)
且
定义 2.2 希尔伯特空间 为绝对连续的实值函数， ， 的范数和内积分别表示为 与
定理 2.2 满足定义2.2的 是一个再生核空间，它的再生核可表示为
(2.7)
对于问题(2.5)，显然 满足有界线性算子的定义。我们令 和 ，且 为 的伴随算子。由有界线性算子的性质，根据 的施密特正交化，不难得出 是 的正交系，而且其正交系可表示为
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