三种形状易拉罐拉罐的最优尺寸学院数学与统计学
三种形状易拉罐拉罐的最优尺寸学院数学与统计学[20191209141718]
摘 要
本文首先是从生产经营者的角度出发，节约易拉罐的生产材料来节约成本。然后按照一般研究问题的思路和方法，开始对易拉罐模型的数据进行测量、分析、总结。根据三种主要形状分别建模：一：正圆柱体状的模型，二：上部圆台下部圆柱体组合的模型，三：上部半球和下部圆柱体组合的模型。然后利用微积分，Lingo11软件对模型进行数据分析、数据总结，最后给出模型的最优方案。
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关键字:节约成本易拉罐模型Lingo11软件数据分析。
目录
1.引言 1
1.1问题提出的背景和意义 1
1.2研究易拉罐模型的思路和方法 1
2.模型的测量分析 2
2.1问题的分析 2
2.2模型的基本假设 3
3.模型的建立求解 4
3.1对第一种模型建模，即是规则正圆柱体的易拉罐 4
3.1.1模型的假设 4
3.1.4结果分析 6
3.2.3模型建立 7
3.2.4数据结果分析 8
3.3对第三种模型求解，即上部是半球，下面是正圆柱体的组合模型 8
3.3.1模型假设 8
3.3.2符号说明 8
3.3.3模型建立 9
3.3.4数据结果分析 9
4.毕业设计的体会与总结 12
附录3.2 13
1引言
1.1问题提出的背景和意义
在实际生活中，我们随处都可以见到各种不同商标的易拉罐。并且不同商标的易拉罐的形状和尺寸大致相同，从人的视觉的角度来说，看样这种易拉罐的设计并不是偶然的，应该是某种独特的设计。从生产者的角度来说，这种模型设计首先肯定考虑到了节约生产材料，这样节约了生产成本，同时还应该考虑到了实际生活中便于运输和外观美的因素，这种易拉罐模型设计具有很高的实际意义，值得我们去深入了解学习这种模型，分析这种易拉罐模型和对易拉罐模型提出优化处理。
1.2研究易拉罐模型的思路和方法
如果要研究易拉罐模型，首先要联系到我们的日常生活，通过现实中对易拉罐数据的测量，既要考虑到节约材料，又要考虑到运输和外形，利用数学建模的有关知识，利用Lingo11软件求解模型，得出科学的依据，有利于分析模型，便于优化处理。
本文是按照以下4个步骤进行：
第一步：收集不同商标的易拉罐，分析不同模型的特征
第二部：对通用模型的进行相关数据的测量（如直径、高度、厚度等）
第三部：根据3种不同形状的模型分别建模
第四部：综合对比各个模型，得出最优方案
2模型的测量分析
2.1问题的分析
在设计易拉罐的规格时，生产厂家首先要考虑成本支出问题，即设计合理的形状和尺寸，使得制造易拉罐的用料最少；其次，生产厂家还需要考虑产品的销售情况，那么则涉及到易拉罐的外观和使用的便利问题。因此，从生产厂家的角度来说，应该对这些方面进行深入研究。如何设定规格，使得易拉罐的用料最省，同时外形较为美观，且使用方便，这是一个优化问题。
易拉罐的设计主要是根据易拉罐的外形和尺寸2个标准，我们首先取 毫升的饮料罐进行测量。用游标卡尺测量罐高和直径，用螺旋测微仪测量厚度。采用多次测量求平均值的方法对真值进行估计，得出10组待测物理量的比较准确的测量结果，允许有一定的误差。
物理量 总高 圆柱高 圆柱外底面直径 圆台内 直径 弧高 圆台高 壁厚 圆台 厚度
结果 123.36 102.56 66.0 2 56.34 9．44 12.82 0.13 0.30
对此，我们简化模型。
对第一种形状：假设易拉罐是正圆柱体，如下图所示：
要求饮料罐内体积一定时, 求使易拉罐用料最省的直径和高之比。在进行易拉罐的形状和尺寸的最优化设计时，出于经济的角度考虑，生产厂家应该首先成本支出问题，即从用料最省方面制定罐的规格，因此，假设此问题是基于用料最省来研究的。
对第二种模型：研究对象简化为上部是一个正圆台，下部是一个正圆柱体的模型，如图3所示
图3
在用料最省方面进行易拉罐的形状和尺寸的最优化设计，是一个条件极值的优化问题，目标函数是求所用材料体积的最小值；根据规定的易拉罐的容量，设定其容积不变（ 毫升）为约束条件，即要在容积一定的条件下,求出使得所用材料的体积最小各个参数的值。
对第三种模型：是自己的一个想法，即上部是一个半球，下部是一个正圆柱体的模型。
2.2模型的基本假设
1、 问题的研究对象是饮料量为355毫升的易拉罐；
2、 易拉罐的材质是均匀的；
3、根据测量结果分析得到，假设易拉罐盖面/低面的厚度是侧面的2倍。
4、允许测量有一定的误差。
3模型的建立求解
3.1对第一种模型建模，即是规则正圆柱体的易拉罐
3.1.1模型的假设：
（1）忽略接口问题，把易拉罐形状假设成规则的正圆柱体
（2）符合基本的假设条件
3.1.2符号说明：
：圆柱体上/下面的半径
: 圆柱体上/下面的直径
：正圆柱体的高
：圆柱体的容积
:所需材料的体积
：侧面的厚度
：上/下面的厚度
3.1.3建立模型
根据分析可以知道，所需材料的体积共有三个部分：上、下盖面的体积与侧面的体积。
即所需材料体积
（*）
约束条件为：
综上，要使所需材料最少，建立如下模型：
使得
由 得到 代入（*）得到
用积分方法对模型求解
令
求解得到
当 时，
当 时，
所以 是 的极小值，并且也没有其它极值点，
所以 是 的最小值点。
易拉罐的直径
高h
3.1.4结果分析：
当正圆柱体易拉罐体积 一定时，它的高 与直径 比值是2:1的时候，是所需材料最少的。即正圆柱体的高与直径之比为2:1的时候是最优设计。这也是市面上最常见最符合的外形和尺寸了。
3.2对第二种模型求解，即是上部圆台，下部是正圆柱体的组合模型。
3.2.1模型假设
（1）符合基本假设的条件
（2）忽略接口处的不规则形状，假设为规则形状的正圆台和正圆柱体
3.2.2符号说明：
：圆台上部的半径（盖面半径）
：圆柱体的半径
：圆台的高
：圆柱体的高
：侧面的厚度（圆台侧面和圆柱侧面）
：圆台上部和圆柱下部的厚度
：所需圆台材料的体积
：所需圆柱材料的体积
：所需材料的总体积
：易拉罐容积
3.2.3模型建立
计算的思路是易拉罐壁外的体积减去易拉罐壁内的体积，然后得到所需材料的体积 ， 包含2部分：圆台材料的体积 和圆柱材料的体积 。
圆台所需材料
圆柱所需材
所需材料的总体积
约束条件为：
综上，要使需要材料的体积最少，
建立模型：
3.2.4数据结果分析
利用Lingo11软件计算得出（见附录3.2）：单位：mm
前提条件： =0.13, =355000
实验结果： ， ，
最优解为
从数据上看 。即上部圆台的半径与下部正圆柱体是相同的，就说明了，得到的模型依然是圆柱体，说明在体积一定，易拉罐盖面与侧面厚度一定比值的情况下，正圆柱体的易拉罐模型要比圆台与正圆柱体结合的易拉罐模型节省材料，也就是说生产成本更低，同时从这个数据上也可以验证第一种模型，圆柱体高就是 与 之和121.84459，而正圆柱体的直径是2 为 60.92230，正好比值约为2，也验证了我们第一个模型的结论。即正圆柱的高是底面直径的2倍时，模型最忧。
3.3对第三种模型求解，即上部是半球，下面是正圆柱体的组合模型。
3.3.1模型假设
（1）忽略接口的不规则，假设上部是规则的半球和正圆柱体
（2）半球的体积是
（3）符合基本假设的条件
3.3.2符号说明
（1） ：半球的半径（也为圆柱的半径）
：圆柱体的高
：侧面的厚度（半球侧面和圆柱侧面）
：圆柱下盖面的厚度
：所需半球材料的体积
：所需圆柱材料的体积
：所需材料的总体积
：易拉罐容积
3.3.3模型建立
计算的思路是分别计算所需半球和正圆柱的材料的体积，所需半球材料的体积 是外径球体积减去内径半球的体积。而 是下盖面所需材料的体积和侧面所需材料的体积（无上盖面）。所需材料总体积 是由 和 的和。
约束条件为：
综上，要使需要材料的体积最少，
建立模型：
使得
3.3.4数据结果分析：
利用Lingo11软件计算得出（附录3.3.1）：（单位mm）
前提条件： =0.13， =355000
实验结果： ，
最优解：
这个测量数据比之前的正圆柱体模型要小，可能由于之前的假设半球面的厚度是 ，而之前正圆柱体包括正圆台的盖面的厚度都是2 ，使得计算的结果要比之前的偏小。
为此我们假设半球面厚度为2 ，其他条件都不变，方法是一样的，再次进行计算，
约束条件为：
综上，要使需要材料的体积最少，
建立模型：
使得
数据结果分析：
利用Lingo11软件计算得出（见附录3.3.2）：（单位mm）
前提条件： =0.13， =355000
实验结果： ，
最优解：
这个数据是这个模型的最优解，这个模型也是自己的一个想法，也是一个假设，这个测量数据比之前的正圆柱体模型 要大一点，也相差不大，可能有点误差，几种模型想对比，无论是从节省材料，节约成本的角度，还是从外形运输包括使用方面，是正圆柱体模型最好，这个也跟我们日常生活常见到的易拉罐相吻合。
4.毕业设计的体会与总结
通过这次的毕业设计，让我对数学建模有了更深刻的体会，其实许多的模型在现实生活中有着各种各样的运用，我们只要细心去观察，花充足的时间和精力去认真的研究，我们就可以从生活的小细节中去发现好多我们所不知道的奇妙的事情，试想现实中的易拉罐为何基本是这个模型，这种模型肯定考虑到了节省生产材料，节约成本，同时考虑到了运输和美观。这次的建模，首先发现生活中常见的易拉罐外形差不多，然后通过真实数据的测量，然后根据测量的数据做合理模型分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型总结。利用Lingo软件解决问题，让我们的模型有了科学依据。
此次的设计，在金老师细心的指导下，以生活中常见的易拉罐模型，结合实际的生活，运用数学建模，计算机软件，求解问题，再与现实生活中的作对比，从小的问题着手，按照正常的逻辑思路去解决问题，得到了充分的锻炼，收获很多。
附录3.2
min=3.14*m*h1*(R+r+m)+2*3.14*m*m*(R+r)+2*3.14*m*m*m+2*3.14*m*m*m+2*3.14*m*(R*R+R*r+r*r)/3+2*3.14*m*R*R+2*3.14*m*R*h+3.14*(4*m*m*R+m*m*h+2*m*m*m);
m=0.13;
v=355000;
v=3.14*R*R*h+3.14*h1*(R*R+R*r+r*r)/3;
摘 要
本文首先是从生产经营者的角度出发，节约易拉罐的生产材料来节约成本。然后按照一般研究问题的思路和方法，开始对易拉罐模型的数据进行测量、分析、总结。根据三种主要形状分别建模：一：正圆柱体状的模型，二：上部圆台下部圆柱体组合的模型，三：上部半球和下部圆柱体组合的模型。然后利用微积分，Lingo11软件对模型进行数据分析、数据总结，最后给出模型的最优方案。
查看完整论文请+Q: 351916072
关键字:节约成本易拉罐模型Lingo11软件数据分析。
目录
1.引言 1
1.1问题提出的背景和意义 1
1.2研究易拉罐模型的思路和方法 1
2.模型的测量分析 2
2.1问题的分析 2
2.2模型的基本假设 3
3.模型的建立求解 4
3.1对第一种模型建模，即是规则正圆柱体的易拉罐 4
3.1.1模型的假设 4
3.1.4结果分析 6
3.2.3模型建立 7
3.2.4数据结果分析 8
3.3对第三种模型求解，即上部是半球，下面是正圆柱体的组合模型 8
3.3.1模型假设 8
3.3.2符号说明 8
3.3.3模型建立 9
3.3.4数据结果分析 9
4.毕业设计的体会与总结 12
附录3.2 13
1引言
1.1问题提出的背景和意义
在实际生活中，我们随处都可以见到各种不同商标的易拉罐。并且不同商标的易拉罐的形状和尺寸大致相同，从人的视觉的角度来说，看样这种易拉罐的设计并不是偶然的，应该是某种独特的设计。从生产者的角度来说，这种模型设计首先肯定考虑到了节约生产材料，这样节约了生产成本，同时还应该考虑到了实际生活中便于运输和外观美的因素，这种易拉罐模型设计具有很高的实际意义，值得我们去深入了解学习这种模型，分析这种易拉罐模型和对易拉罐模型提出优化处理。
1.2研究易拉罐模型的思路和方法
如果要研究易拉罐模型，首先要联系到我们的日常生活，通过现实中对易拉罐数据的测量，既要考虑到节约材料，又要考虑到运输和外形，利用数学建模的有关知识，利用Lingo11软件求解模型，得出科学的依据，有利于分析模型，便于优化处理。
本文是按照以下4个步骤进行：
第一步：收集不同商标的易拉罐，分析不同模型的特征
第二部：对通用模型的进行相关数据的测量（如直径、高度、厚度等）
第三部：根据3种不同形状的模型分别建模
第四部：综合对比各个模型，得出最优方案
2模型的测量分析
2.1问题的分析
在设计易拉罐的规格时，生产厂家首先要考虑成本支出问题，即设计合理的形状和尺寸，使得制造易拉罐的用料最少；其次，生产厂家还需要考虑产品的销售情况，那么则涉及到易拉罐的外观和使用的便利问题。因此，从生产厂家的角度来说，应该对这些方面进行深入研究。如何设定规格，使得易拉罐的用料最省，同时外形较为美观，且使用方便，这是一个优化问题。
易拉罐的设计主要是根据易拉罐的外形和尺寸2个标准，我们首先取 毫升的饮料罐进行测量。用游标卡尺测量罐高和直径，用螺旋测微仪测量厚度。采用多次测量求平均值的方法对真值进行估计，得出10组待测物理量的比较准确的测量结果，允许有一定的误差。
物理量 总高 圆柱高 圆柱外底面直径 圆台内 直径 弧高 圆台高 壁厚 圆台 厚度
结果 123.36 102.56 66.0 2 56.34 9．44 12.82 0.13 0.30
对此，我们简化模型。
对第一种形状：假设易拉罐是正圆柱体，如下图所示：
要求饮料罐内体积一定时, 求使易拉罐用料最省的直径和高之比。在进行易拉罐的形状和尺寸的最优化设计时，出于经济的角度考虑，生产厂家应该首先成本支出问题，即从用料最省方面制定罐的规格，因此，假设此问题是基于用料最省来研究的。
对第二种模型：研究对象简化为上部是一个正圆台，下部是一个正圆柱体的模型，如图3所示
图3
在用料最省方面进行易拉罐的形状和尺寸的最优化设计，是一个条件极值的优化问题，目标函数是求所用材料体积的最小值；根据规定的易拉罐的容量，设定其容积不变（ 毫升）为约束条件，即要在容积一定的条件下,求出使得所用材料的体积最小各个参数的值。
对第三种模型：是自己的一个想法，即上部是一个半球，下部是一个正圆柱体的模型。
2.2模型的基本假设
1、 问题的研究对象是饮料量为355毫升的易拉罐；
2、 易拉罐的材质是均匀的；
3、根据测量结果分析得到，假设易拉罐盖面/低面的厚度是侧面的2倍。
4、允许测量有一定的误差。
3模型的建立求解
3.1对第一种模型建模，即是规则正圆柱体的易拉罐
3.1.1模型的假设：
（1）忽略接口问题，把易拉罐形状假设成规则的正圆柱体
（2）符合基本的假设条件
3.1.2符号说明：
：圆柱体上/下面的半径
: 圆柱体上/下面的直径
：正圆柱体的高
：圆柱体的容积
:所需材料的体积
：侧面的厚度
：上/下面的厚度
3.1.3建立模型
根据分析可以知道，所需材料的体积共有三个部分：上、下盖面的体积与侧面的体积。
即所需材料体积
（*）
约束条件为：
综上，要使所需材料最少，建立如下模型：
使得
由 得到 代入（*）得到
用积分方法对模型求解
令
求解得到
当 时，
当 时，
所以 是 的极小值，并且也没有其它极值点，
所以 是 的最小值点。
易拉罐的直径
高h
3.1.4结果分析：
当正圆柱体易拉罐体积 一定时，它的高 与直径 比值是2:1的时候，是所需材料最少的。即正圆柱体的高与直径之比为2:1的时候是最优设计。这也是市面上最常见最符合的外形和尺寸了。
3.2对第二种模型求解，即是上部圆台，下部是正圆柱体的组合模型。
3.2.1模型假设
（1）符合基本假设的条件
（2）忽略接口处的不规则形状，假设为规则形状的正圆台和正圆柱体
3.2.2符号说明：
：圆台上部的半径（盖面半径）
：圆柱体的半径
：圆台的高
：圆柱体的高
：侧面的厚度（圆台侧面和圆柱侧面）
：圆台上部和圆柱下部的厚度
：所需圆台材料的体积
：所需圆柱材料的体积
：所需材料的总体积
：易拉罐容积
3.2.3模型建立
计算的思路是易拉罐壁外的体积减去易拉罐壁内的体积，然后得到所需材料的体积 ， 包含2部分：圆台材料的体积 和圆柱材料的体积 。
圆台所需材料
圆柱所需材
所需材料的总体积
约束条件为：
综上，要使需要材料的体积最少，
建立模型：
3.2.4数据结果分析
利用Lingo11软件计算得出（见附录3.2）：单位：mm
前提条件： =0.13, =355000
实验结果： ， ，
最优解为
从数据上看 。即上部圆台的半径与下部正圆柱体是相同的，就说明了，得到的模型依然是圆柱体，说明在体积一定，易拉罐盖面与侧面厚度一定比值的情况下，正圆柱体的易拉罐模型要比圆台与正圆柱体结合的易拉罐模型节省材料，也就是说生产成本更低，同时从这个数据上也可以验证第一种模型，圆柱体高就是 与 之和121.84459，而正圆柱体的直径是2 为 60.92230，正好比值约为2，也验证了我们第一个模型的结论。即正圆柱的高是底面直径的2倍时，模型最忧。
3.3对第三种模型求解，即上部是半球，下面是正圆柱体的组合模型。
3.3.1模型假设
（1）忽略接口的不规则，假设上部是规则的半球和正圆柱体
（2）半球的体积是
（3）符合基本假设的条件
3.3.2符号说明
（1） ：半球的半径（也为圆柱的半径）
：圆柱体的高
：侧面的厚度（半球侧面和圆柱侧面）
：圆柱下盖面的厚度
：所需半球材料的体积
：所需圆柱材料的体积
：所需材料的总体积
：易拉罐容积
3.3.3模型建立
计算的思路是分别计算所需半球和正圆柱的材料的体积，所需半球材料的体积 是外径球体积减去内径半球的体积。而 是下盖面所需材料的体积和侧面所需材料的体积（无上盖面）。所需材料总体积 是由 和 的和。
约束条件为：
综上，要使需要材料的体积最少，
建立模型：
使得
3.3.4数据结果分析：
利用Lingo11软件计算得出（附录3.3.1）：（单位mm）
前提条件： =0.13， =355000
实验结果： ，
最优解：
这个测量数据比之前的正圆柱体模型要小，可能由于之前的假设半球面的厚度是 ，而之前正圆柱体包括正圆台的盖面的厚度都是2 ，使得计算的结果要比之前的偏小。
为此我们假设半球面厚度为2 ，其他条件都不变，方法是一样的，再次进行计算，
约束条件为：
综上，要使需要材料的体积最少，
建立模型：
使得
数据结果分析：
利用Lingo11软件计算得出（见附录3.3.2）：（单位mm）
前提条件： =0.13， =355000
实验结果： ，
最优解：
这个数据是这个模型的最优解，这个模型也是自己的一个想法，也是一个假设，这个测量数据比之前的正圆柱体模型 要大一点，也相差不大，可能有点误差，几种模型想对比，无论是从节省材料，节约成本的角度，还是从外形运输包括使用方面，是正圆柱体模型最好，这个也跟我们日常生活常见到的易拉罐相吻合。
4.毕业设计的体会与总结
通过这次的毕业设计，让我对数学建模有了更深刻的体会，其实许多的模型在现实生活中有着各种各样的运用，我们只要细心去观察，花充足的时间和精力去认真的研究，我们就可以从生活的小细节中去发现好多我们所不知道的奇妙的事情，试想现实中的易拉罐为何基本是这个模型，这种模型肯定考虑到了节省生产材料，节约成本，同时考虑到了运输和美观。这次的建模，首先发现生活中常见的易拉罐外形差不多，然后通过真实数据的测量，然后根据测量的数据做合理模型分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型总结。利用Lingo软件解决问题，让我们的模型有了科学依据。
此次的设计，在金老师细心的指导下，以生活中常见的易拉罐模型，结合实际的生活，运用数学建模，计算机软件，求解问题，再与现实生活中的作对比，从小的问题着手，按照正常的逻辑思路去解决问题，得到了充分的锻炼，收获很多。
附录3.2
min=3.14*m*h1*(R+r+m)+2*3.14*m*m*(R+r)+2*3.14*m*m*m+2*3.14*m*m*m+2*3.14*m*(R*R+R*r+r*r)/3+2*3.14*m*R*R+2*3.14*m*R*h+3.14*(4*m*m*R+m*m*h+2*m*m*m);
m=0.13;
v=355000;
v=3.14*R*R*h+3.14*h1*(R*R+R*r+r*r)/3;
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