函数求最值的方法(附件)【字数：5608】
摘 要摘 要在数学研究中，有一类数学问题，因为其涉及到多方面的数学知识，需要运用多种数学思想去解答，并且解答的方法多种多样，从而拥有很强的综合性，这一类数学问题被称为函数最值问题。求解函数最值在数学的学习中有着很关键的作用，它需要的解题技巧很强，常见的求函数最值的方法有配方法、导数法、判别式法、不等式法等。这些方法在面对不同的题目时，会发挥不同的作用，虽然这些方法各有各的优势，但也不是万能的，本文将就这几种常见的方法进行举例，在分析它们的优势的同时，也对需要注意的地方加以提醒。除了常见的求解一元函数的最值之外，也经常会遇到多元函数的最值问题，本文也将针对二元函数，举例说明二元函数如何求解最值，并针对常见的几种情况，给出求解多元函数最值的技巧和方法。关键词最值；一元函数；多元函数
目 录
第一章 绪论 1
第二章 一元函数求最值的方法 2
2.1 配方法 2
2.2 导数法 3
2.3 判别式法 4
2.4 不等式法 5
2.5 换元法 6
2.6 图像法 7
2.7 反函数法 8
第三章 多元函数求最值的方法 10
3.1 消元法 10
3.2 均值不等式法 11
3.3 导数法 12
第四章 函数最值在实际问题中的应用 14
结论 18
致谢 19
参考文献 20
第一章 绪论
在数学的学习过程中，我们会发现，函数几乎无处不在，它贯穿在整个数学的教学和学习中，由此可见，在数学的组成部分中，函数扮演着很重要的角色。那么我们可以提出这样一个问题，函数的重要组成部分是什么呢？这个问题的答案当然是函数的最值问题。运用函数最值来解决问题，跟大部分其他类型的数学问题一样，都需要根据原问题，建立对应的数学模型，通过借助建立数学模型的过程，我们可以深入透彻地研究原问题的各个条件，并且挖掘出题目中的隐藏条件，从而可以使原问题变得通俗易懂，为后来寻找解题思路和方法打好基础。通过函数最值模型的转化之后，原问题不再那么晦涩难懂，而是变成我们已经能够熟练解决的那类问题。虽然将原问题转化为合适的函数最 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072^
值模型的过程是很复杂的，但是正是在这一遍又一遍的转化过程中，才让我们理清了题目的核心解题思想，从而更够让我们更加快速地找到合适的解题方法。
函数最值问题在函数这一数学领域内扮演着一个很特别的角色，它能被运用在很多不同的实例中，例如生产调配、金融投资和经济核算。正是由于函数最值问题能够解决的问题多种多样，所以这类问题的综合性非常高，解题的思路方法也是各不相同。为了掌握这类问题的解题方法，我们需要充分调用所学到的不同类型的数学知识和技巧，并且需要综合运用这些技巧和知识，选择合理的解题方法。
第二章 一元函数最值的求法
一元函数最值的定义[1]：
一般地，函数的最值分为最大值和最小值：设函数在处的函数值为。
（1）如果对于定义域内任意，不等式都成立，那么叫做函数的最大值，记作。
（2）如果对于定义域内任意，不等式都成立，那么叫做函数的最小值，记作。
一般地，函数的最值有两种特殊情况[2]：
（1）如果函数在上单调递增(递减)，则是在上的最小值(最大值)，是在上的最大值(最小值)。
（2）如果连续函数在区间内有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间上的最大(小)值。
2.1 配方法
当我们最开始接触到函数最值的时候，遇到的第一种解题方法就是配方法。因为配方法的简答易使用，所以这是我们解决函数最值问题时最常用的一种方法。尽管配方法很常用，但它也有使用的局限性，这种方法只能够使用在那些原函数是二次函数的问题中，当然，如果原函数可以通过适当的变化转化成二次函数，那么也可以使用配方法[3]。
为什么配方法能够运用于二次函数呢？为了方便解答这个问题，首先我们需要对二次函数的一个性质有个初步的了解。二次函数（为常数且）其性质中有：
（1）若，当时，有最小值；
（2）若，当时，有最大值。
在了解了以上的二次函数的基础性质后，我们可以知道，配方法就是将原函数转化为二次函数的顶点式，并利用这一二次函数的性质来解决相关问题的。
例. 的三个内角为、、，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值。
解：，
，
，
当即时，取得最大值。
2.2 导数法
设函数在上连续，在上可导，则在的最大(小)值就是在的极值与和中的最大(小)值。
导数法往往运用在那些需要求三次或者三次以上的函数的最值，或者利用其它方法难以求解的函数最值问题上。一般来说，导数法是最简单的求函数最值的方法，正是因为它的简答，所以我们应该充分掌握它的解题步骤。
利用导数法求函数最值的一般步骤如下[4]：
（1）根据题意找到函数的定义域；
（2）求出函数的导数；
（3）求出函数在定义域的驻点(一阶导数为零的点)；
（4）研究函数在驻点附近的函数单调性，并求出函数的极值点；
（5）将极值点处的函数值与定义域闭区间端点处的函数值比较大小，得出最值。
例. 求函数，的最大值和最小值。
解：求导得，
令，方程无解，
因为，
目 录
第一章 绪论 1
第二章 一元函数求最值的方法 2
2.1 配方法 2
2.2 导数法 3
2.3 判别式法 4
2.4 不等式法 5
2.5 换元法 6
2.6 图像法 7
2.7 反函数法 8
第三章 多元函数求最值的方法 10
3.1 消元法 10
3.2 均值不等式法 11
3.3 导数法 12
第四章 函数最值在实际问题中的应用 14
结论 18
致谢 19
参考文献 20
第一章 绪论
在数学的学习过程中，我们会发现，函数几乎无处不在，它贯穿在整个数学的教学和学习中，由此可见，在数学的组成部分中，函数扮演着很重要的角色。那么我们可以提出这样一个问题，函数的重要组成部分是什么呢？这个问题的答案当然是函数的最值问题。运用函数最值来解决问题，跟大部分其他类型的数学问题一样，都需要根据原问题，建立对应的数学模型，通过借助建立数学模型的过程，我们可以深入透彻地研究原问题的各个条件，并且挖掘出题目中的隐藏条件，从而可以使原问题变得通俗易懂，为后来寻找解题思路和方法打好基础。通过函数最值模型的转化之后，原问题不再那么晦涩难懂，而是变成我们已经能够熟练解决的那类问题。虽然将原问题转化为合适的函数最 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072^
值模型的过程是很复杂的，但是正是在这一遍又一遍的转化过程中，才让我们理清了题目的核心解题思想，从而更够让我们更加快速地找到合适的解题方法。
函数最值问题在函数这一数学领域内扮演着一个很特别的角色，它能被运用在很多不同的实例中，例如生产调配、金融投资和经济核算。正是由于函数最值问题能够解决的问题多种多样，所以这类问题的综合性非常高，解题的思路方法也是各不相同。为了掌握这类问题的解题方法，我们需要充分调用所学到的不同类型的数学知识和技巧，并且需要综合运用这些技巧和知识，选择合理的解题方法。
第二章 一元函数最值的求法
一元函数最值的定义[1]：
一般地，函数的最值分为最大值和最小值：设函数在处的函数值为。
（1）如果对于定义域内任意，不等式都成立，那么叫做函数的最大值，记作。
（2）如果对于定义域内任意，不等式都成立，那么叫做函数的最小值，记作。
一般地，函数的最值有两种特殊情况[2]：
（1）如果函数在上单调递增(递减)，则是在上的最小值(最大值)，是在上的最大值(最小值)。
（2）如果连续函数在区间内有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间上的最大(小)值。
2.1 配方法
当我们最开始接触到函数最值的时候，遇到的第一种解题方法就是配方法。因为配方法的简答易使用，所以这是我们解决函数最值问题时最常用的一种方法。尽管配方法很常用，但它也有使用的局限性，这种方法只能够使用在那些原函数是二次函数的问题中，当然，如果原函数可以通过适当的变化转化成二次函数，那么也可以使用配方法[3]。
为什么配方法能够运用于二次函数呢？为了方便解答这个问题，首先我们需要对二次函数的一个性质有个初步的了解。二次函数（为常数且）其性质中有：
（1）若，当时，有最小值；
（2）若，当时，有最大值。
在了解了以上的二次函数的基础性质后，我们可以知道，配方法就是将原函数转化为二次函数的顶点式，并利用这一二次函数的性质来解决相关问题的。
例. 的三个内角为、、，求当为何值时，取得最大值，并求出最大值。
解：，
，
，
当即时，取得最大值。
2.2 导数法
设函数在上连续，在上可导，则在的最大(小)值就是在的极值与和中的最大(小)值。
导数法往往运用在那些需要求三次或者三次以上的函数的最值，或者利用其它方法难以求解的函数最值问题上。一般来说，导数法是最简单的求函数最值的方法，正是因为它的简答，所以我们应该充分掌握它的解题步骤。
利用导数法求函数最值的一般步骤如下[4]：
（1）根据题意找到函数的定义域；
（2）求出函数的导数；
（3）求出函数在定义域的驻点(一阶导数为零的点)；
（4）研究函数在驻点附近的函数单调性，并求出函数的极值点；
（5）将极值点处的函数值与定义域闭区间端点处的函数值比较大小，得出最值。
例. 求函数，的最大值和最小值。
解：求导得，
令，方程无解，
因为，
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