凸函数的定义性质及应用(附件)【字数：5466】
摘 要摘 要 凸函数在数学上是一类极其重要的函数，其研究历史可以追溯到上世纪初期。人们之所以热衷于研究凸函数，是因为他所具有的独特的良好性质。正是如此，凸函数能在很多场合得到应用。 本文正是在前人所得成果的基础上，对零碎的基础部分知识进行认真的整理,然后从几个角度去说明凸函数的若干种定义，进而去说明凸函数的一些性质。本文分别通过解析性质和线性性质两个方面去阐述凸函数的性质，并对几个定理进行证明。最后通过几个例题，解释说明凸函数在微分学、不等式证明两个方面的应用，在例题的推导运算过程中，我们可以更加深刻的理解凸函数的一些性质,并加深对它们应用的理解。通过这些内容我们能够理解到凸函数的可用范围十分广大，所以我们还需要更多的研究来加深对凸函数的了解。关键词凸函数；定义；性质
目 录
第一章 绪 论1
第二章 凸函数的定义3
第三章 凸函数的性质6
3.1 凸函数的线性性质6
3.2 凸函数的解析性质7
第四章 凸函数的应用15
4.1 不等式的证明15
4.2 微分学中的应用19
结论21
致谢22
参考文献23
第一章 绪 论
1.1研究背景
凸函数是现代数学中函数里的重要一类，早在上世纪初期在Jensen的著作中就已经出现了凸函数的概念。在近百年来数学飞速发展的情况下，凸函数在纯粹数学与应用数学等众多领域中都得到了大量广泛的运用，并且渐渐成长为数学规划等等多个学科的理论基石、强大工具。在凸函数得到充分的发展的情况下，为了在理论层次得到突破并丰富它们在实践中的用途，数学研究者们又提出了广义凸函数等概念，并在数学分析的多个分支上得到了应用，尤其是不等式的证明推导、函数图像制作等方面。正是因为凸函数具有的良好而独特的性质以及在现今研究中的广泛应用，所以我们应该对凸函数的理论进行进一步的研究与探讨.
1.2研究意义
凸函数之所以在数学上作为一个分支去进行研究并具有十分重要地位，是因为它自身所具有的特殊性质。在近百年的研究以来，凸函数的研究过程大抵经历了凸函数定义的研究、凸函数凹凸性的研究以及凹凸性的应用方面的研究这三个 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072#
方面。其中对凹凸性的研究在数学分析的若干个分支都有用处。尤其是在函数图形的制绘、不等式的推导证明等方面，凸函数的研究起到了非常重要的作用。因为凸函数理论的广泛性及其在数学的多个领域得到的广泛应用，所以对凸函数的理论进行进一步的研究和推广就变得十分重要。而且凸函数作为数学分析中一类独特的函数，在课本中缺乏对其性质应用方面的介绍。所以，对凸函数性质的整理工作并对其应用做一些思考，是十分重要的。
1.3国内外研究现状以及提出的问题
凸函数是高等数学中一个很有用的函数类，它的实际应用十分广泛。函数的凹凸性是数学分析中的一个的概念，在学习过程中我们经常可以用到凸函数来研究函数的极值、图像以及不等式等问题。凸函数最早的概念出现在詹森的著述中，随之便在纯粹数学和应用数学的众多领域中得到广泛应用。随后在上世纪五十年代，伴随着数理经济学等数学学科的兴起，凸函数作为数学分析的一个含金量很大的部分逐渐得到了发展。现代对于凸函数的研究更是着眼于凸函数的定义与性质等理论层次的问题，然后将其和实践应用相结合，比如用这套理论知识来主导经济规划等区域，在后来的研究中也提出了拟凸函数和广义凸函数等的定义，也是有很广泛的应用。另外，凸函数在不等式方面的使用，也为不等式的证明与求解领域提出了一个新的思路。在当代数学中，凸函数已经成为数学规划等学科的研究基石和优良工具，在应用的同时得到了极大的发展。因为凸函数拥有的性质和在实际研究中的广泛应用，所以我们需要进一步的在凸函数的性质与应用层次进行分析和研究。
第二章 凸函数的定义
这一章的内容主要是对凸函数的定义进行解释和说明。
定义2.1[1] 记为定义在区间上的函数，我们任取区间上的两点和实数后，如果有以下不等式总是成立：
,
则我们把称为区间上的凸函数。
另：若上式在“”改作“”的时候仍然成立，则称之为区间上的严格凸函数。
定义2.2[2] 记为定义在区间上的函数，我们任取上的三点，如果以下不等式总至少成立一个：
,
,
那么我们可以把称为区间上的凸函数。
另：若上式在“”改作“”的时候仍然成立，则称之为区间上的严格凸函数。
定义2.3 记为定义在区间上的连续函数，我们任取上的两点，如果有以下不等式一直成立：
,
那么我们可以把函数称为区间上的凸函数。
定理2.1 记为区间上的连续函数，如果取上的任意两点，以下不等式恒成立：
,
则我们把称为区间上的凸函数，且在区间内的图形是下凸的。
定义2.4[3] 记为定义在区间里的一个函数，若的切线总是能够存在于曲线以下，那么我们可以称为定义在区间上的凸函数。若在切点以外的所有的点处的切线总是严格维持于曲线的下部，那么我们可以称为定义于区间上的严格凸函数。
定理2.2（判定定理）[45]记为定义在区间上的可导函数，那么递增是是在区间上的凸函数的充要条件。
证明：（充分性）任取区间上的两点，可设且任取，定义,那么或者(1)
目 录
第一章 绪 论1
第二章 凸函数的定义3
第三章 凸函数的性质6
3.1 凸函数的线性性质6
3.2 凸函数的解析性质7
第四章 凸函数的应用15
4.1 不等式的证明15
4.2 微分学中的应用19
结论21
致谢22
参考文献23
第一章 绪 论
1.1研究背景
凸函数是现代数学中函数里的重要一类，早在上世纪初期在Jensen的著作中就已经出现了凸函数的概念。在近百年来数学飞速发展的情况下，凸函数在纯粹数学与应用数学等众多领域中都得到了大量广泛的运用，并且渐渐成长为数学规划等等多个学科的理论基石、强大工具。在凸函数得到充分的发展的情况下，为了在理论层次得到突破并丰富它们在实践中的用途，数学研究者们又提出了广义凸函数等概念，并在数学分析的多个分支上得到了应用，尤其是不等式的证明推导、函数图像制作等方面。正是因为凸函数具有的良好而独特的性质以及在现今研究中的广泛应用，所以我们应该对凸函数的理论进行进一步的研究与探讨.
1.2研究意义
凸函数之所以在数学上作为一个分支去进行研究并具有十分重要地位，是因为它自身所具有的特殊性质。在近百年的研究以来，凸函数的研究过程大抵经历了凸函数定义的研究、凸函数凹凸性的研究以及凹凸性的应用方面的研究这三个 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ^351916072#
方面。其中对凹凸性的研究在数学分析的若干个分支都有用处。尤其是在函数图形的制绘、不等式的推导证明等方面，凸函数的研究起到了非常重要的作用。因为凸函数理论的广泛性及其在数学的多个领域得到的广泛应用，所以对凸函数的理论进行进一步的研究和推广就变得十分重要。而且凸函数作为数学分析中一类独特的函数，在课本中缺乏对其性质应用方面的介绍。所以，对凸函数性质的整理工作并对其应用做一些思考，是十分重要的。
1.3国内外研究现状以及提出的问题
凸函数是高等数学中一个很有用的函数类，它的实际应用十分广泛。函数的凹凸性是数学分析中的一个的概念，在学习过程中我们经常可以用到凸函数来研究函数的极值、图像以及不等式等问题。凸函数最早的概念出现在詹森的著述中，随之便在纯粹数学和应用数学的众多领域中得到广泛应用。随后在上世纪五十年代，伴随着数理经济学等数学学科的兴起，凸函数作为数学分析的一个含金量很大的部分逐渐得到了发展。现代对于凸函数的研究更是着眼于凸函数的定义与性质等理论层次的问题，然后将其和实践应用相结合，比如用这套理论知识来主导经济规划等区域，在后来的研究中也提出了拟凸函数和广义凸函数等的定义，也是有很广泛的应用。另外，凸函数在不等式方面的使用，也为不等式的证明与求解领域提出了一个新的思路。在当代数学中，凸函数已经成为数学规划等学科的研究基石和优良工具，在应用的同时得到了极大的发展。因为凸函数拥有的性质和在实际研究中的广泛应用，所以我们需要进一步的在凸函数的性质与应用层次进行分析和研究。
第二章 凸函数的定义
这一章的内容主要是对凸函数的定义进行解释和说明。
定义2.1[1] 记为定义在区间上的函数，我们任取区间上的两点和实数后，如果有以下不等式总是成立：
,
则我们把称为区间上的凸函数。
另：若上式在“”改作“”的时候仍然成立，则称之为区间上的严格凸函数。
定义2.2[2] 记为定义在区间上的函数，我们任取上的三点，如果以下不等式总至少成立一个：
,
,
那么我们可以把称为区间上的凸函数。
另：若上式在“”改作“”的时候仍然成立，则称之为区间上的严格凸函数。
定义2.3 记为定义在区间上的连续函数，我们任取上的两点，如果有以下不等式一直成立：
,
那么我们可以把函数称为区间上的凸函数。
定理2.1 记为区间上的连续函数，如果取上的任意两点，以下不等式恒成立：
,
则我们把称为区间上的凸函数，且在区间内的图形是下凸的。
定义2.4[3] 记为定义在区间里的一个函数，若的切线总是能够存在于曲线以下，那么我们可以称为定义在区间上的凸函数。若在切点以外的所有的点处的切线总是严格维持于曲线的下部，那么我们可以称为定义于区间上的严格凸函数。
定理2.2（判定定理）[45]记为定义在区间上的可导函数，那么递增是是在区间上的凸函数的充要条件。
证明：（充分性）任取区间上的两点，可设且任取，定义,那么或者(1)
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