正交变换及相关问题研究(附件)【字数：5943】
摘 要摘 要在数学的学习中，我们常常能用到正交变换这样的一种变换。它在几何、代数和积分等方面有着很多的应用。本文讨论了如何利用正交变换的一些性质方便快速地解决问题。正交变换就是欧氏空间中保持向量内积不变的线性变换。线性变换和欧氏空间的内积都具有线性的性质。怎样借助内积的线性与正定性来推断欧氏空间的变换也具有线性。怎样巧妙地利用内积、长度、距离、夹角、正交等给出欧氏空间中的变换为正交变换的充要条件呢？这便是值得探究的问题。本文就怎样利用正交变换巧妙地理清问题思路，简化解题步骤进行了研究，例如化二次型为标准型这样的高等代数中的问题。本文还研究了在二维或三维一直到维空间中的一些重要的几何性质，以及利用正交变换转换坐标系来简化问题等等。关键词对角化；欧氏空间；二次型；特征矩阵；
目 录
第一章 绪论1
1.1 研究背景1
1.1 本文的主要内容1
第二章 正交变换的定义及判别 2
2.1 定义2
2.2判别2
第三章 正交变换在对角化、二次型上的应用 6
3.1 正交变换与对角化6
3.1.1 矩阵可对角化6
3.1.2 矩阵可对角化的判定6
3.2 正交变换与二次型10
3.2.1 对角化与二次型10
3.2.2 相关定理11
第四章 正交变换的几何意义和一些特殊性质及其应用14
4.1 正交变换的几何意义14
4.2 正交变换的某些性质和应用15
4.2.1 用正交变换判断二次曲面的形状15
4.2.2 用正交变换简化多元函数积分计算18
总结22
致谢23
参考文献24
绪论
1.1 研究背景
随着现代数学的发展，不同学科之间的相互渗透也越来越明显。将代数与数学分析相结合，成了许多问题的解决方法之一。当遇到一个很难解决的实际问题时，我们往往可以构造这个问题的数学模型，将这个问题转化为一个更容易解决的数学问题。这样，我们能轻易地解决很多实际生活中看似很困难的问题。这个过程就叫化归型数学建模。要利用化归型数学建模，首 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
先要找到一个映射，这个映射能合适的将两个问题进行转化。而很多应用中，正交变换就是这个合适的映射。
1.2 本文的主要内容
我们已经学习了很多数学变换，例如正交变换仿射变换、仿射变换等等。这些变换在许多数学学科中有着非常广泛的应用。而正交变换在高等代数、数学分析等学科中都有着很重要的作用。
本文主要研究了正交变换的几个应用。包括利用正交变换转换方程式与矩阵，化为标准型，更通过转化方程式来简化多远函数积分的计算。同时，还探讨了正交变换的几何意义，并利用它一些几何性质转换坐标系，快速判断二维方程式的形状。还利用正交变换简化多元函数积分的计算。找到了线性代数与欧氏空间，微积分的切入点，使积分解题变得更加简单。
正交变换的定义及判别
2.1 定义
在解析几何中，我们已经有了正交变换的概念。正交变换就是保持点与点之间距离不变的变换。
而在一般的欧氏空间中，如果欧氏空间有线性变换，且保持向量的内积不变，即对任意的，都有
。
则称线性变换为正交变换。
2.2 判别
若是欧氏空间上的一个变换，且对任意，均有，则是否是正交变换？
由正交变换的定义可知，要是正交变换，则必须满足（1)是线性变换;(2)保持任意向量的内积不变。并且(1)和(2)是互相独立的。
引理1：如果对任意，均有，其中为一实数,变换是的线性变换，当时。是的正交变换。证明：
即得，则是的正交变换。
引理2：变换是的正交变换的充要条件是：对于任意，有
。
定理1：变换是的正交变换的充要条件是：对于任意，有
且。
证明：必要性：显然。即证。
充分性：对任意，存在，使得。于是由条件可知
目 录
第一章 绪论1
1.1 研究背景1
1.1 本文的主要内容1
第二章 正交变换的定义及判别 2
2.1 定义2
2.2判别2
第三章 正交变换在对角化、二次型上的应用 6
3.1 正交变换与对角化6
3.1.1 矩阵可对角化6
3.1.2 矩阵可对角化的判定6
3.2 正交变换与二次型10
3.2.1 对角化与二次型10
3.2.2 相关定理11
第四章 正交变换的几何意义和一些特殊性质及其应用14
4.1 正交变换的几何意义14
4.2 正交变换的某些性质和应用15
4.2.1 用正交变换判断二次曲面的形状15
4.2.2 用正交变换简化多元函数积分计算18
总结22
致谢23
参考文献24
绪论
1.1 研究背景
随着现代数学的发展，不同学科之间的相互渗透也越来越明显。将代数与数学分析相结合，成了许多问题的解决方法之一。当遇到一个很难解决的实际问题时，我们往往可以构造这个问题的数学模型，将这个问题转化为一个更容易解决的数学问题。这样，我们能轻易地解决很多实际生活中看似很困难的问题。这个过程就叫化归型数学建模。要利用化归型数学建模，首 *好棒文|www.hbsrm.com +Q: *351916072*
先要找到一个映射，这个映射能合适的将两个问题进行转化。而很多应用中，正交变换就是这个合适的映射。
1.2 本文的主要内容
我们已经学习了很多数学变换，例如正交变换仿射变换、仿射变换等等。这些变换在许多数学学科中有着非常广泛的应用。而正交变换在高等代数、数学分析等学科中都有着很重要的作用。
本文主要研究了正交变换的几个应用。包括利用正交变换转换方程式与矩阵，化为标准型，更通过转化方程式来简化多远函数积分的计算。同时，还探讨了正交变换的几何意义，并利用它一些几何性质转换坐标系，快速判断二维方程式的形状。还利用正交变换简化多元函数积分的计算。找到了线性代数与欧氏空间，微积分的切入点，使积分解题变得更加简单。
正交变换的定义及判别
2.1 定义
在解析几何中，我们已经有了正交变换的概念。正交变换就是保持点与点之间距离不变的变换。
而在一般的欧氏空间中，如果欧氏空间有线性变换，且保持向量的内积不变，即对任意的，都有
。
则称线性变换为正交变换。
2.2 判别
若是欧氏空间上的一个变换，且对任意，均有，则是否是正交变换？
由正交变换的定义可知，要是正交变换，则必须满足（1)是线性变换;(2)保持任意向量的内积不变。并且(1)和(2)是互相独立的。
引理1：如果对任意，均有，其中为一实数,变换是的线性变换，当时。是的正交变换。证明：
即得，则是的正交变换。
引理2：变换是的正交变换的充要条件是：对于任意，有
。
定理1：变换是的正交变换的充要条件是：对于任意，有
且。
证明：必要性：显然。即证。
充分性：对任意，存在，使得。于是由条件可知
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