正定矩阵的性质及判定方法(附件)【字数：6341】
摘 要摘 要矩阵的正定性在矩阵论中占有非常重要的地位，也是矩阵研究的主要课题，正定矩阵的特殊性质在二次型和欧式空间等方面有着较为广泛的应用，对正定矩阵的性质和判定方法的研究无论在数学领域还是在其他领域都有着重要意义.本文主要研究正定矩阵的基本性质及判定方法，包括实矩阵（实对称矩阵和一般实矩阵）与复矩阵. 由于这两类矩阵具有不同的性质特点，首先对于应用较为广泛的实矩阵的正定性介绍了几种判别方法，如根据定义及性质判定、主子式判定法、标准型判定法、二次型判定法以及降阶判别法等；然后根据复矩阵的具体类型给出了判别其正定性的几个较为典型的方法. 最后介绍了矩阵正定性的几个应用，如不等式的证明、求多元函数的极值及在物理中的应用.关键词正定性；实正定矩阵；复正定矩阵；判定方法
目 录
第一章 绪论 1
1.1 研究背景及意义 1
1.2 正定矩阵的研究现状 1
1.2.1 正定矩阵的研究历程 1
1.2.2 正定矩阵研究的局限性 2
1.3 本文主要内容 2
第二章 实正定矩阵的性质及判定方法 3
2.1 实正定矩阵的定义与性质 3
2.1.1 实对称正定矩阵的性质 4
2.1.2 一般（未必对称）实正定矩阵的性质 5
2.2 实对称矩阵正定性的判定方法 5
2.2.1 根据定义及性质判定 5
2.2.2 标准型判定法 7
2.2.3 主子式判定法 8
2.2.4 二次型判定法 8
2.2.5 降阶判定法 9
2.3 一般（未必对称）实矩阵正定性的判定方法 11
第三章 复正定矩阵的性质及判定方法 13
3.1 复正定矩阵的性质 13
3.2 复正定矩阵的判定方法 15
第四章 矩阵正定性的应用 18
4.1 证明不等式 18
4.2 求多元函数的极值问题 18
4.3 正定矩阵在物理中的应用 20
结语 22
致谢 23
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/> 参考文献 24
第一章 绪论
研究背景及意义
矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，正定矩阵作为一种特殊的矩阵，在矩阵论中占有重要地位.正定矩阵具备的特殊性质使它成为了研究二次型、线性空间以及线性变换等众多问题的有利工具，这些性质也普遍应用到各种领域，例如在经济数学模型、多种统计线性模型等理论中都发挥了重要作用.
矩阵正定性在各领域的广泛运用，使得正定矩阵的研究一直处于热门状态，尤其在矩阵分析上，学者们对正定矩阵的研究推广从未停歇，因此, 研究正定矩阵无论在矩阵理论方面,还是在实际应用方面都意义非凡.
正定矩阵的研究现状
正定矩阵的研究最早出现在Hermite型与二次型中，且近年来实对称正定矩阵和Hermite正定矩阵的研究在物理、几何等学科被普遍应用.但伴随科技地不断发展，为了满足更多学科的需要，大批学者逐渐致力于广义正定矩阵的研究上，在前人的基础上对正定矩阵提出了新的定义和推广，使其能更广泛的应用于各个领域.
1.2.1 正定矩阵的研究历程
作为代数学中的主要研究课题，正定矩阵的研究一直在蓬勃发展，并且已有悠久的发展史. 1850年，希尔维斯特第一次提出正定矩阵的概念. 在此基础上，1970年和1985年，Johnson CR和李炯又分别提出了正定矩阵较为广义的定义.1984年，佟文廷推广了正定矩阵的定义，并给出了这种广义正定矩阵的等价描述.1988年，夏长富给出了实矩阵正定性的新的推广，丰富了正定矩阵的理论，1990年，屠伯埙给出了广义正定矩阵的重新定义，称为亚正定矩阵.近年来，在完善矩阵正定的理论过程中，又有学者提出了准正定矩阵、行正定矩阵的概念.
相比对正定矩阵理论本身的研究，对矩阵方程正定解的研究也逐渐成为热点，这在最优化控制、动态规划的应用中尤为明显.这些努力和尝试为正定矩阵的研究开辟了新方向，对矩阵正定性理论的应用和完善有重要价值.
1.2.2 正定矩阵研究的局限性
正定矩阵的研究已有丰厚成果，且在几何学、物理学、概率论等学科中都发挥了重要作用.但是,正定矩阵的各种定义存在一定的局限性,而实际应用中遇到的矩阵往往不能准确的符合某种标准定义，这就需要我们继续致力于对正定矩阵的推广和研究.随着应用科学的高速发展,我们会不断遇到新的问题，对称正定矩阵早已经不能满足需要,学者们在此基础上对正定矩阵归纳类比，细化研究方向，给出新的推广或定义，根据学科需要从新划分或定义具有某种特性的正定矩阵，来达到解决实际问题的目的.
本文的主要内容
（1）给出实正定矩阵的判别方法及其性质，其中包括实对称矩阵及一般的实矩阵；
（2）归纳总结复正定矩阵的判别方法及性质；
（3）给出几个矩阵正定性的应用实例.
实正定矩阵的性质及判定方法
正定矩阵的研究一直以来都是矩阵分析领域的热门课题，其中实正定矩阵应用更为广泛，本章将主要介绍实正定矩阵的一些性质应用及判别方法.
2.1 实正定矩阵的定义与性质
实矩阵正定性的常规定义如下：
定义2.1.1[1,2] 设，，若对任意的，都有，则称为为实对称正定矩阵.记
，
则仅限于实对称矩阵使用.
较为广义的实正定矩阵定义如下：
定义2.1.2[3] 设，若对任意的，都有，则称阶实矩阵为第一类广义的正定矩阵，又称为亚正定.记
，
显然.
目 录
第一章 绪论 1
1.1 研究背景及意义 1
1.2 正定矩阵的研究现状 1
1.2.1 正定矩阵的研究历程 1
1.2.2 正定矩阵研究的局限性 2
1.3 本文主要内容 2
第二章 实正定矩阵的性质及判定方法 3
2.1 实正定矩阵的定义与性质 3
2.1.1 实对称正定矩阵的性质 4
2.1.2 一般（未必对称）实正定矩阵的性质 5
2.2 实对称矩阵正定性的判定方法 5
2.2.1 根据定义及性质判定 5
2.2.2 标准型判定法 7
2.2.3 主子式判定法 8
2.2.4 二次型判定法 8
2.2.5 降阶判定法 9
2.3 一般（未必对称）实矩阵正定性的判定方法 11
第三章 复正定矩阵的性质及判定方法 13
3.1 复正定矩阵的性质 13
3.2 复正定矩阵的判定方法 15
第四章 矩阵正定性的应用 18
4.1 证明不等式 18
4.2 求多元函数的极值问题 18
4.3 正定矩阵在物理中的应用 20
结语 22
致谢 23
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第一章 绪论
研究背景及意义
矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，正定矩阵作为一种特殊的矩阵，在矩阵论中占有重要地位.正定矩阵具备的特殊性质使它成为了研究二次型、线性空间以及线性变换等众多问题的有利工具，这些性质也普遍应用到各种领域，例如在经济数学模型、多种统计线性模型等理论中都发挥了重要作用.
矩阵正定性在各领域的广泛运用，使得正定矩阵的研究一直处于热门状态，尤其在矩阵分析上，学者们对正定矩阵的研究推广从未停歇，因此, 研究正定矩阵无论在矩阵理论方面,还是在实际应用方面都意义非凡.
正定矩阵的研究现状
正定矩阵的研究最早出现在Hermite型与二次型中，且近年来实对称正定矩阵和Hermite正定矩阵的研究在物理、几何等学科被普遍应用.但伴随科技地不断发展，为了满足更多学科的需要，大批学者逐渐致力于广义正定矩阵的研究上，在前人的基础上对正定矩阵提出了新的定义和推广，使其能更广泛的应用于各个领域.
1.2.1 正定矩阵的研究历程
作为代数学中的主要研究课题，正定矩阵的研究一直在蓬勃发展，并且已有悠久的发展史. 1850年，希尔维斯特第一次提出正定矩阵的概念. 在此基础上，1970年和1985年，Johnson CR和李炯又分别提出了正定矩阵较为广义的定义.1984年，佟文廷推广了正定矩阵的定义，并给出了这种广义正定矩阵的等价描述.1988年，夏长富给出了实矩阵正定性的新的推广，丰富了正定矩阵的理论，1990年，屠伯埙给出了广义正定矩阵的重新定义，称为亚正定矩阵.近年来，在完善矩阵正定的理论过程中，又有学者提出了准正定矩阵、行正定矩阵的概念.
相比对正定矩阵理论本身的研究，对矩阵方程正定解的研究也逐渐成为热点，这在最优化控制、动态规划的应用中尤为明显.这些努力和尝试为正定矩阵的研究开辟了新方向，对矩阵正定性理论的应用和完善有重要价值.
1.2.2 正定矩阵研究的局限性
正定矩阵的研究已有丰厚成果，且在几何学、物理学、概率论等学科中都发挥了重要作用.但是,正定矩阵的各种定义存在一定的局限性,而实际应用中遇到的矩阵往往不能准确的符合某种标准定义，这就需要我们继续致力于对正定矩阵的推广和研究.随着应用科学的高速发展,我们会不断遇到新的问题，对称正定矩阵早已经不能满足需要,学者们在此基础上对正定矩阵归纳类比，细化研究方向，给出新的推广或定义，根据学科需要从新划分或定义具有某种特性的正定矩阵，来达到解决实际问题的目的.
本文的主要内容
（1）给出实正定矩阵的判别方法及其性质，其中包括实对称矩阵及一般的实矩阵；
（2）归纳总结复正定矩阵的判别方法及性质；
（3）给出几个矩阵正定性的应用实例.
实正定矩阵的性质及判定方法
正定矩阵的研究一直以来都是矩阵分析领域的热门课题，其中实正定矩阵应用更为广泛，本章将主要介绍实正定矩阵的一些性质应用及判别方法.
2.1 实正定矩阵的定义与性质
实矩阵正定性的常规定义如下：
定义2.1.1[1,2] 设，，若对任意的，都有，则称为为实对称正定矩阵.记
，
则仅限于实对称矩阵使用.
较为广义的实正定矩阵定义如下：
定义2.1.2[3] 设，若对任意的，都有，则称阶实矩阵为第一类广义的正定矩阵，又称为亚正定.记
，
显然.
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