泰勒公式及其余项的研究(附件)【字数：3716】
摘 要摘 要函数是数学的基本研究对象，但在研究函数的过程中为了借助比较简单的函数来研究复杂的函数,数学家们想到用多项式来逼近普通函数，于是就产生了泰勒公式.本文一方面主要总结性研究泰勒公式的部分主要结果以及泰勒公式在数学中的部分应用；另一方面侧重于从理论和应用两个角度总结性研究已知的有关泰勒公式余项的相关内容.文中除了介绍了泰勒公式的皮亚诺型余项、拉格朗日型余项、积分型余项和柯西型余项的证明与应用外，还介绍了二元函数的泰勒公式.关键词: 泰勒公式；皮亚诺型余项；拉格朗日型余项；积分型余项
目 录
第一章 绪论 1
1.1泰勒公式的简介 1
第二章 不同类型泰勒公式余项的证明及其应用 3
2.1泰勒公式余项的一般形式的证明 3
2.2拉格朗日型余项 5
2.3带皮亚诺型余项的泰勒公式 7
2.4柯西型余项 10
2.5带积分型余项的泰勒公式 11
第三章 泰勒公式的应用 13
3.1利用泰勒公式证明中值问题 13
3.2泰勒公式与级数 14
3.3泰勒公式与积分不等式和积分等式的关系 15
第四章 二元函数的泰勒公式 17
结 论 19
致 谢 20
参 考 文 献 21
绪论
1.1泰勒公式的简介
泰勒公式在数学运算中有着着非常重要的作用.当遇到一些比较复杂的问题，我们可以利用带有不同余项的泰勒公式简单的解决,所以泰勒公式的综合性研究对数学分析有着重要的意义.泰勒展开有多种类型的余项,因而根据需要，处理不同的问题可以选择不同的余项类型.我们所学过的主要有:带拉格朗日型余项、带皮亚诺型余项、带柯西型余项、以及带积分型余项的泰勒公式.本节主要介绍了泰勒公式的定义以及常见的例子.
定义1.1[1]
泰勒公式可以使用(有限或者无限)若干个连加式(级数)来表示为一个函数,这些个相加的项可以由函数在某一点(或者加上在临近的一个点的次导数)的导数求得.但对于正整数,如果函数在闭区间上阶连续可导,并且在上阶可导.则可任取是一定点,则对任意下式成立:< *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
br /> .
其中，表示函数的阶导数，多项式称为在处的泰勒展开式，表示泰勒公式的余项，是的高阶无穷小.
下面我们列举出几个常用的带余项的泰勒公式展开式:
.
.
.
.
.
不同类型泰勒公式余项的证明及其应用
2.1泰勒公式余项的一般形式的证明
我们首先讨论文献[2]中所给出的泰勒公式余项的一个一般形式.
设在包含点的区间上有阶到阶的导函数,是在区间/内连续的一个任意的函数,并且在I内有不等于零的导数,则可得:
(2.1.1)
文献[2]在证明公式(1)的过程中主要利用了柯西公式.现在文献[3]中采用一种新的方式来证明公式(2.1.1).由于在证明过程中需要用到中值定理,所以我们不妨先给出如下中值定理:
若有在上处处连续，并且在内有导数的函数,则至少存在一点,,使
.
为证明公式(2.1.1),仍先设在包含点的区间上有直到阶导函数, 为上任意一点.令:
若用记与之差,则:
我们在上任取一点,假设,则有
设为在区间上连续的一个任意函数,并且在内至少有一阶非零的导函数,因此可知在上单调.令
(2.1.2)
这里、、取定,故、为常数.由(2.1.2)式可得:
即:
将上式中的替换为变量,考虑辅助函数
可知,在区间内有定义,并且在/内有一阶导函数:
因为,所以在上处处连续,在内有导数,满足中值定理条件,故在中必有点,使得
因为,所以, .对于,我们仍可得到, .总之,在与之间存在点,满足
(2.1.3)
把(2.1.3)式代入(2.1.2)式，得
因为为上任意一点，所以将改为得
其中在与之间.
若把函数换成满足所设条件的任意函数，我们就可得出余项的各种不同的形式.
2.2拉格朗日型余项
本小节主要讨论泰勒公式的另外一种余项形式——拉格朗日型余项.
定理2.2[6] 如果一个函数在上有直至阶的连续导数,在之间有阶的导数,则任意给出的,,至少有一点,使得:
(2.2.1)
证 设辅助函数为
可得证明的(2.2.1)式为
或者
设,则有和在上连续,在内可导.
.
因为和都为,所以根据柯西中值定理，有
在这里,我们称 为泰勒公式,此泰勒公式的余项为
称此为泰勒公式的拉格朗日型余项,所以该泰勒公式称为拉格朗日型泰勒公式.
对于一些数值的近似计算与函数的近似计算式,我们可以使用带拉格朗日型余项的泰勒公式去计算.
目 录
第一章 绪论 1
1.1泰勒公式的简介 1
第二章 不同类型泰勒公式余项的证明及其应用 3
2.1泰勒公式余项的一般形式的证明 3
2.2拉格朗日型余项 5
2.3带皮亚诺型余项的泰勒公式 7
2.4柯西型余项 10
2.5带积分型余项的泰勒公式 11
第三章 泰勒公式的应用 13
3.1利用泰勒公式证明中值问题 13
3.2泰勒公式与级数 14
3.3泰勒公式与积分不等式和积分等式的关系 15
第四章 二元函数的泰勒公式 17
结 论 19
致 谢 20
参 考 文 献 21
绪论
1.1泰勒公式的简介
泰勒公式在数学运算中有着着非常重要的作用.当遇到一些比较复杂的问题，我们可以利用带有不同余项的泰勒公式简单的解决,所以泰勒公式的综合性研究对数学分析有着重要的意义.泰勒展开有多种类型的余项,因而根据需要，处理不同的问题可以选择不同的余项类型.我们所学过的主要有:带拉格朗日型余项、带皮亚诺型余项、带柯西型余项、以及带积分型余项的泰勒公式.本节主要介绍了泰勒公式的定义以及常见的例子.
定义1.1[1]
泰勒公式可以使用(有限或者无限)若干个连加式(级数)来表示为一个函数,这些个相加的项可以由函数在某一点(或者加上在临近的一个点的次导数)的导数求得.但对于正整数,如果函数在闭区间上阶连续可导,并且在上阶可导.则可任取是一定点,则对任意下式成立:< *好棒文|www.hbsrm.com +Q: ￥351916072￥
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其中，表示函数的阶导数，多项式称为在处的泰勒展开式，表示泰勒公式的余项，是的高阶无穷小.
下面我们列举出几个常用的带余项的泰勒公式展开式:
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不同类型泰勒公式余项的证明及其应用
2.1泰勒公式余项的一般形式的证明
我们首先讨论文献[2]中所给出的泰勒公式余项的一个一般形式.
设在包含点的区间上有阶到阶的导函数,是在区间/内连续的一个任意的函数,并且在I内有不等于零的导数,则可得:
(2.1.1)
文献[2]在证明公式(1)的过程中主要利用了柯西公式.现在文献[3]中采用一种新的方式来证明公式(2.1.1).由于在证明过程中需要用到中值定理,所以我们不妨先给出如下中值定理:
若有在上处处连续，并且在内有导数的函数,则至少存在一点,,使
.
为证明公式(2.1.1),仍先设在包含点的区间上有直到阶导函数, 为上任意一点.令:
若用记与之差,则:
我们在上任取一点,假设,则有
设为在区间上连续的一个任意函数,并且在内至少有一阶非零的导函数,因此可知在上单调.令
(2.1.2)
这里、、取定,故、为常数.由(2.1.2)式可得:
即:
将上式中的替换为变量,考虑辅助函数
可知,在区间内有定义,并且在/内有一阶导函数:
因为,所以在上处处连续,在内有导数,满足中值定理条件,故在中必有点,使得
因为,所以, .对于,我们仍可得到, .总之,在与之间存在点,满足
(2.1.3)
把(2.1.3)式代入(2.1.2)式，得
因为为上任意一点，所以将改为得
其中在与之间.
若把函数换成满足所设条件的任意函数，我们就可得出余项的各种不同的形式.
2.2拉格朗日型余项
本小节主要讨论泰勒公式的另外一种余项形式——拉格朗日型余项.
定理2.2[6] 如果一个函数在上有直至阶的连续导数,在之间有阶的导数,则任意给出的,,至少有一点,使得:
(2.2.1)
证 设辅助函数为
可得证明的(2.2.1)式为
或者
设,则有和在上连续,在内可导.
.
因为和都为,所以根据柯西中值定理，有
在这里,我们称 为泰勒公式,此泰勒公式的余项为
称此为泰勒公式的拉格朗日型余项,所以该泰勒公式称为拉格朗日型泰勒公式.
对于一些数值的近似计算与函数的近似计算式,我们可以使用带拉格朗日型余项的泰勒公式去计算.
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